【摘 要】 近年来，高考数学命题越来越重视开放性试题的加入——因其具有发散性、探索性、多样性等特点，更有利于考查学生的数学理解能力、探究能力、逻辑思维和批判思维.本文对近三年高考数学试题中的开放性试题进行统计分析，发现试题涉及条件开放、结论开放、条件和结论同时开放等类型，了解其教育价值，尝试提出开放性试题的编制策略，并将其渗透到日常数学教学中.

【关键词】 高考数学；开放性试题；教学启示

20世纪80年代“数学开放题”传入我国，戴再平等学者开始对其进行研究，提出“开放题是指那些答案不唯一，并在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索的问题”.2020年发行的《中国高考评价体系》主要由“一核、四层、四翼”组成，它是新时代高考内容改革和命题工作的理论支撑和实践指南.开放性试题的条件可变性、方法多样性、结论开放性等特点，使其解决过程更有利于检验出学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力，在高考数学试卷中引入、设置开放性试题符合考试内容改革的要求.本文试图对近三年高考数学试题中的开放性试题进行统计分析，以期帮助中学数学老师对开放性试题有更全面的认识，同时也为中学数学老师如何编制开放性试题，并将其渗透到日常数学教学中提供参考.

1 近三年高考数学试题中的开放性试题统计分析2020年的高考有13套数学试卷，2021年和2022年的高考均有10套数学试卷（含全国甲、乙文理卷，新高考Ⅰ、Ⅱ卷，北京卷，天津卷，上海卷，浙江卷）.三年共有33套试卷，其中的开放性试题共计18道（有1道在新高考Ⅰ、Ⅱ卷中均出现，有2道在文理卷中均出现），主要分布在全国卷、新高考卷、北京卷.本文将开放性试题划分为条件开放、结论开放、条件与结论均开放三大类型（开放性试题解题策略在数学中非常常见，这里不再统计），依此对2020—2022年高考数学开放性试题的题型、考查知识点、分值、题量等进行统计整理，见表1、图1、图2、图3、图4.

从以上的图、表中可以看出近三年高考数学开放性试题主要特点有：

（1）从试卷角度来看，高考数学开放性试题一般出现在全国卷、新高考卷、北京卷中，且在北京卷中连续三年都出现了.

（2）从题型角度来看，高考数学开放性试题一般是以填空题、解答题的形式出现，且填空题所占比重越来越大.

（3）从开放类型来看，条件开放型一般出现在解答题中（这里的条件开放是半开放状态，让考生在备选条件中选择后继续回答问题，且最终答案唯一）；结论开放型一般出现在填空题中（答案不唯一，写出一个即可）；条件、结论均开放型可能出现在填空题中，也可能出现在解答题中（选择不同的备选条件，导致产生不同的答案）.

（4）从考点分布来看，2020年高考数学开放性试题集中考查了三角函数与解三角形.在随后的两年里，陆陆续续的开始考查函数、导数、数列、圆锥曲线、立体几何等知识点，可以看出高考数学开放性试题的考查内容逐渐丰富起来.

2 2022年高考数学中的开放性试题赏析

2022年的全国卷、新高考卷、北京卷中都出现了数学开放性试题.以开放性试题的开放类型为切入点，结合考查的知识点，对2022年的高考数学开放性试题进一步赏析，并从学生的角度思考，探讨开放性试题的价值.

2.1 条件开放型的高考数学试题

例1 （2022年北京卷第17题）如图5，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，AB=BC=2，M，N分别为A1B1，AC的中点.

（Ⅰ）求证：MN∥平面BCC1B1；

（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值.

条件①：AB⊥MN；条件②：BM=MN.

赏析 本题为解答题，分值14分，以常规的三棱柱为背景，但在设问上稍做改变，在第（Ⅱ）问中，给出了两个备选条件供考生选择，进而完成解答，但殊途同归，最终求出的正弦值相同，所以这是一道条件开放性试题.

第（Ⅰ）问考查直线与平面平行的判定（可利用线线平行线面平行），第（Ⅱ）問考查线面角，由于条件开放，考生需要在给出的两个条件中选出一个作为已知，以确定侧面的形状，这里也考查了学生思维的严谨性.在解答第（Ⅱ）问时，可以首先证明在三棱柱ABC-A1B1C1中BC，BA，BB1两两垂直，故分别以BC，BA，BB1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，用向量表示线段；再求出平面BMN的一个法向量n;

最后通过计算线面角的向量公式

sinθ=cos〈n，AB〉=n·AB|n|·|AB|来求出解.解答过程中发现，选择条件①证明BC、BA、BB1两两垂直比较容易，选择条件②证明起来比较复杂.

教育价值探视 条件开放型的试题——仅条件开放，不论学生选择哪个备选条件继续作答，都会发现殊途同归，最终的结论明确唯一，所以这种条件自选、结论唯一的开放性试题也可以称为“殊途同归题”.该类型试题的备选条件之间具有等价关系，有利于培养学生的数学选择能力，培养学生分析和解决问题的能力，提高学生的批判性思维，面向所有学生，自行筛选出适合自己的那个条件继续解答.

2.2 结论开放型的高考数学试题

例2 （2022年全国甲卷文第15题）记双曲线

C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的离心率为e，写出满足条件“直线

y=2x与C无公共点”的e的一个值 .

例3 （2022年新高考Ⅰ卷第14题）写出与圆x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一条直线的方程 .

例4 （2022年北京卷第14题）设函数f（x）=-ax+1，x<a，

（x-2）2，x≥a，

若f（x）存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 .

赏析 这3题都是“举例”填空题，分值5分，例2是以双曲线的离心率为载体设置的试题，例3主要考查直线与圆的位置关系，例4是通过含参的动区间分段函数来设计的.可以看出考查的知识点精细，条件明确，结论多样，都是结论开放性试题.

教育价值探视 结论开放型的试题——条件明确，结论不唯一，增强了试题的灵活性.学生可以根据自己的思维写出一个符合题意的答案，有利于不同水平的学生都能发挥出自己的数学能力，不同的答案对应着不同的思维方案，可以很好地考查学生思维的灵活性.

2.3 条件、结论均开放型的高考数学试题

例5 （2022年全国乙卷文第15题理第14题）过四点

（0，0），（4，0），（-1，1），（4，2）中的三点的一个圆的方程为 .

赏析 本题是以圆的方程为载体的条件自选、结论多样的填空题，分值5分，要求学生在已给出的四点（不在同一条直线上的点）中选择其中三点去确定一个具体的圆，共有四种不同的选择，不同的选择导致得到不同的答案，学生写出一个符合题意的答案即可.例6 （2022年新高考Ⅱ卷第21题）设双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点为

F（2，0），渐近线方程为y=±3x.

（1）求C的方程；

（2）经过F的直线与C的渐近线分别交于A，B两点，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为-3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M，从下面三个条件①②③中选择两个条件，证明另一个条件成立：①M在AB上；②PQ∥AB；③|AM|=|BM|.

赏析 本题为解答题，分值12分，以双曲线为背景，第（1）问比较常规且简单，求双曲线C的方程；第（2）问是条件不足、缺少结论的开放性试题，要求考生在三个备选中选择两个作为条件，另一个作为结论，并证明其成立.共有三种不同的组合，不同的选择有不同的解题思路，解答的难度也不尽相同.

教育价值探视 条件、结论均开放型的试题——条件自选，结论多样，它既有着条件开放型的优势、又有结论开放型的优势，从条件的角度来看，根据试卷提供的备选，选择出来的条件具有相互独立性，导致结论不同，这不仅培养学生的批判性思维，还有利于培养学生进行优选的能力；从结论的角度来看，结论多样，学生可根据自己的数学水平及思维特点进行选择，体现了试题的人文关怀，考查了学生构建数学问题的能力、思维的灵活性.

3 数学开放性试题编制策略

数学开放性试题一般是由数学封闭题改编形成的，常规的封闭题条件恰当、答案固定，根据不同开放类型的数学开放性试题具有不同的特点，可以有以下三种不同的开放性试题编制策略：

3.1 条件开放型——“条件等价”策略

条件开放型试题条件开放、答案固定，如2022年北京卷第17题.

从“条件”入手，在编制条件开放型试题时，先抽出题目中的一个条件，然后寻找与之等价的条件，最后将这几个等价条件都呈现在题目中供学生选择，不论学生选择条件①，还是选择条件②（或者选择条件③）都能解出此题，且从不同条件出发最终得到的答案唯一，当然选择不同的条件会出现不同的解题切入点.

例7 已知数列{an}是等差数列，且公差d>0，前n项和为Sn，数列{bn}满足b1=1，b2=13，（an-1）bn+1=nbn，从下面的条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件，求：（1）数列{an}的通项公式；（2）数列{bn-1}的前n项和Tn.

条件①a2-b1=2d；条件②2（a1+a6）=a15；条件③S9=36a1.

3.2 结论开放型——“数学本质”策略

结论开放型试题条件固定，答案多样，如2022年新高考Ⅰ卷第14题.

从“知识点”入手，在编制结论开放型试题时，可以考虑以该知识点为载体得出的答案是否唯一，例如，考查“函數”相关知识点——函数的基本性质、含参函数的参数取值范围，往往符合条件的答案多样.

例8 若函数f（x）=sin（wx+π6）（0<w<12）在区间（π，2π）内有最值，则w的一个取值为 .

3.3 条件、结论均开放型——“知识系统化”策略

条件、结论均开放型试题条件不明确，答案不唯一，如2022年新高考Ⅱ卷第21题.

从“知识系统化”入手，在编制条件、结论均开放型的试题时，搜寻同一知识背景下的多个题目，它们之间的条件有部分相同、部分不同，结论也不同——不同的选择导致解题策略不同、解题难度不同.尝试将多个题目合并成一题，考查与该知识有关的题型、解题策略.例如“解三角形”相关知识点有正弦、余弦定理及其推论，三角形面积公式、常用角；题型有用正弦、余弦定理判断三角形的形状，求角、求边、求三角形面积等.

例9 在△ABC中，a+b=2c，3sinA=2sinB，再从下面条件①、条件②中选择一个作为已知条件，求：（1）a的值；（2）△ABC的面积.

条件①ab=24；条件②csinC=574.

4 教学启示

如何恰当地在日常数学教学中引入开放性试题呢？下面笔者从新授课、习题课两种不同的课型进行探讨.

4.1 在新授课中引入开放性试题数学新授课教学环节一般分为“导入—讲解新课—巩固练习—课堂小结—布置作业”.

导入环节，适当情况下可以采用“开放性问题导入”，例如在人教A版数学必修第一册“1.1集合的概念”新授课中，采用结论开放性问题导入：“在小学和初中，我们已经接触过了一些集合，你能举出一些例子吗”.巩固练习环节，例如在人教A版数学必修第二册“8.2立体图形的直观图”新授课中，通过改编封闭题，使之变身为“结论开放性问题”：“在立体图形6-11中，有相同三视图的两个立体图形是 .”（写出一组即可）（原题只有一组，改编后有两组：图6与图8、图7与图9）

4.2 在习题课中引入开放性试题

以问题为导向的习题课教学模式一般为“创设情景→尝试引导→自主解决→反馈梳理”.

创设一个成功的问题情景，更容易激发学生的探究兴趣. 以相关知识为背景，设计开放性试题，通过问题驱动学生多角度思考、讨论，让学生在解决问题的过程中，掌握知识技能，积累解题经验.例如在人教A版数学选择性必修第一册“2.5直线与圆、圆与圆的位置关系”习题课上，设计一道条件、结论均开放型的问题：已知圆C1：x2+y2+6x-7=0，从下面条件中选择一条直线、一个圆，判断直线与圆C1、圆与圆C1的位置关系，如果相切，求出切点；如果相交，求所截得的弦长.（不同的选择，结论不同）

条件①y=2x-2；条件②y+x+10=0；条件③y=4；条件④x2+y2-4x-6y+12=0；条件⑤x2+y2-4x+3=0；条件⑥x2+y2-2x+4y-4=0.纵观高考数学试题，我们可以看到近三年全国卷、新高考卷、北京卷中都有开放性试题的身影，在新的高考命题理念下，教师要及时更新教学观念，改变教学方式，学会编制数学开放性试题，让学生在日常数学教学中得到练习，获得解题经验，以便适应高考改革.

参考文献

［1］戴再平.开放题——数学教学的新模式［M］.上海：上海教育出版社，2002.

［2］任子朝，赵轩，翟嘉祺，徐奉先.高考开放题命制的理论和技术研究［J］.数学通报，2021，60（07）：37-41.

［3］任子朝，赵轩.数学考试中的结构不良问题研究［J］.数学通报，2020，59（02）：1-3.

［4］黄维静，陈建华.高考数学开放性试题解析——以2021年高考题为例［J］.高中數学教与学，2021（23）：1-4.

作者简介 马慧慧（1997—），女，安徽亳州人，硕士；主要研究中学数学教学.