任广聪，马新仿，刘 永，张士诚，邹雨时

（1．中国石油大学（北京）油气资源与探测国家重点实验室，北京 102249；2．中国石油青海油田公司钻采工艺研究院，甘肃 敦煌 736200）

引 言

柴达木盆地基岩气藏是我国内陆最大的基岩储层气藏［1］。基岩储层渗透率低，一般通过水力压裂改造措施投产，提高单井产量［2-3］。基岩地层天然裂缝较为发育，水力裂缝扩展过程中遇天然裂缝后，可能会改变原路径［4-5］，不穿过天然裂缝继续扩展，而是打开天然裂缝从而发生“转向”。天然裂缝能否打开意味着能否形成大规模缝网［6-9］，因此对于压裂改造施工来说，需明确水力裂缝遇天然裂缝后的扩展规律。

针对这一问题，国内外很多学者做了大量的研究，Blanton等［10］提出水力裂缝能否穿过天然裂缝取决于应力条件和裂缝角度；Wang等［11］通过实验发现天然裂缝抗剪切强度越强，水力裂缝和天然裂缝角度越大，水力裂缝越容易穿过天然裂缝；侯冰等［12］通过数值模拟和实验手段研究发现水力裂缝和天然裂缝角度越小，水平应力差越小，缝内净压力越大，天然裂缝越容易打开。付海峰等［13］开展了水力压裂物理模拟实验，研究了天然裂缝和泵注参数对页岩水力压裂裂缝形态的影响，结果表明随着施工排量或压裂液黏度的增大，净压力呈现先增大后减小的规律，裂缝形态先复杂化后又趋于单一化。许文龙等［14］和席一凡等［15］，分别建立二维和三维数值模型，通过数值模拟技术研究了裂缝夹角对天然裂缝起裂的影响。刘顺等［16］通过数值模拟手段研究了水力裂缝与天然裂缝相交后的扩展规律，在不同倾角、间距、应力等条件下的交错延伸规律，认为裂缝间距、倾角的影响程度较大，水平应力差有一定程度的影响，泊松比和杨氏模量的影响不明显。沈永星等［17］建立了页岩储层二维流固耦合水力压裂裂缝相交扩展模型，研究了水平应力差、天然裂缝相交角对裂缝扩展的影响，结果表明最大水平主应力对水力裂缝与天然裂缝相交后的裂缝扩展路径有诱导作用，天然裂缝相交角越大，压裂裂缝长度越短，压裂缝面积越小。

已有的研究一般主要考虑水平应力和裂缝角度的影响，而考虑排量等施工参数的案例较少，缺乏岩石基质自身的力学性质对水力裂缝扩展的影响分析，并且目前的研究一般直接建立有限元数值模型或者通过实验直接观察裂缝扩展行为，缺乏理论的力学计算分析。本研究首先进行天然裂缝与水力裂缝相交受力分析计算，基于二维线弹性力学理论推导天然裂缝打开的力学条件，并使用有限元分析软件建立水力裂缝与天然裂缝相交数值模型，模拟不同施工条件、岩石力学条件下水力裂缝遇天然裂缝后的扩展规律，更直观地反映受力分析的推导结果。

1 天然裂缝起裂影响因素分析

如图1所示，水力裂缝起裂后沿最大水平主应力方向扩展，遇天然裂缝后相交于某点，形成一定的夹角θ，其中θ＜90°。

图1 水力裂缝与天然裂缝相交示意图Fig．1 Intersection of hydraulic crack and natural crack

根据二维线弹性力学理论，相交处的受力情况［18］为：

其中：σn为交点处受到的正应力，MPa；τs为交点处受到的切应力，MPa；σH为最大水平主应力，MPa；σh为最小水平主应力，MPa；θ为两缝形成的夹角（锐角）。

（1）天然裂缝打开

天然裂缝处于闭合状态时，正应力为压实力，较大的剪切应力使裂缝发生剪切破坏［19］，根据有效应力抗剪强度公式，此时有效切应力应大于0，即切应力应大于天然裂缝抗剪切强度，满足

其中：c为天然裂缝的黏聚力，MPa；Kf为天然裂缝的摩擦系数，无因次；p为裂缝内流体压力，MPa。

假设天然裂缝为非黏结，则c＝0，天然裂缝在极限破坏状态时，公式（3）写为

把公式（1）和（2）代入公式（4），则有其中：σ′n为相交点受到的有效正应力，MPa；τ′s为相交点受到的有效切应力，MPa。

整理公式（6）后可得天然裂缝破坏极限状态下缝内流体压力与地应力、夹角的关系，即

（2）天然裂缝不打开

水力裂缝扩展至交点后，若天然裂缝未打开，水力裂缝则沿最大水平主应力方向继续扩展，那么缝内流体压力大于最小水平主应力与岩石基质抗拉强度之和，有效正应力为拉力，通过拉伸破坏岩石基质继续扩展，此时的有效正应力为

则在极限破坏条件下，即有效正应力为0时，则缝内流体压力为

其中，σ0n是岩石基质的抗拉强度，MPa。

一般认为天然裂缝能否打开取决于水力裂缝与天然裂缝的角度、水平应力差，但是通过公式（7）和公式（9）可知，裂缝内的流体压力和基质抗拉强度对天然裂缝打开与否也起到一定的作用。

1．1 水平应力差的影响

根据公式（7）和公式（9），基质发生破坏，水力裂缝继续扩展时所需的缝内流体压力不变，但是天然裂缝打开所需的缝内流体压力随水平应力差的变化而变化。所需流体压力与水平应力差的相关性取决于1-cos2θ-sin2θ／Kf的正负。若其大于0，则天然裂缝打开所需流体压力随水平应力差增大而增大；若其小于0，则天然裂缝打开所需流体压力随水平应力差增大而减小。

假设

则有

天然裂缝摩擦系数是一个常数，所以水平应力差对天然裂缝打开与否的影响取决于公式（11）右边的大小。因此定义函数

根据函数 f（θ）的性质，假设函数 f（θ）＝Kf时对应的角度为θ1，那么当θ＞θ1时，公式（11）恒成立，天然裂缝打开所需流体压力随水平应力差增大而增大；当θ＜θ1时，公式（11）恒不成立，天然裂缝打开所需流体压力随水平应力差增大而减小。

1．2 两缝夹角的影响

根据公式（7）和公式（9），基质发生破坏，水力裂缝继续扩展时所需的缝内流体压力不变，但是天然裂缝打开所需的缝内流体压力随夹角的变化而变化。根据公式（7），水平应力差大于0恒成立，天然裂缝打开所需压力与夹角的关系取决于1-cos2θsin2θ／Kf随θ的变化趋势。因此定义函数

则函数的导数为

根据导数的性质，天然裂缝打开所需压力与夹角的关系取决于g′（θ）的正负。如果g′（θ）＞0恒成立，则g（θ）随θ增大而增大，此时公式（14）变形为

所以两缝夹角对天然裂缝打开与否的影响取决于公式（15）右边的大小。因此定义函数

根据函数h（θ）的性质，假设h（θ）＝Kf时对应的角度为θ2，那么当θ＞θ2时，公式（15）恒成立，即g′（θ）＞0恒成立，g（θ）是单调递增函数，天然裂缝打开所需流体压力随夹角增大而增大；由于夹角为0°时，天然裂缝直接打开，因此，当θ＜θ2时，公式（15）恒不成立，g（θ）是单调递减函数，天然裂缝打开所需流体压力随夹角增大而减小，那么天然裂缝肯定会打开。然后夹角增加至一定值时，天然裂缝不会打开，水力裂缝沿原方向扩展。

1．3 基质抗拉强度的影响

根据公式（7）和公式（9），裂缝沿原方向破裂所需的缝内流体压力随着基质抗拉强度的增大而增大，沿天然裂缝打开所需的缝内流体压力不变。

1．4 注入排量的影响

注入排量对裂缝扩展的影响以缝口压力的形式体现。注入排量越大，水力裂缝到达相交点后，缝内流体压力越大。所以从破裂所需缝内流体压力的角度分析裂缝扩展方向不再适用。可以从法向和切向所受应力与临界应力（抗拉强度和抗剪切强度）的比值大小来判断破裂难易程度和扩展方向，并利用反证法加以证明。

如果缝内流体压力增大有利于天然裂缝打开，假设天然裂缝未打开时缝内流压为p1，打开时缝内流压为p2，则存在关系

其中：σ0n是岩石基质的抗拉强度，MPa；τ0s是天然裂缝的抗剪切强度，MPa。

把公式（5）和公式（6）带入公式（17），有

令p2＝p1＋Δp，并联立公式（18）和公式（19），有

由于水力裂缝处于扩展状态，因此p1＞σh，公式（20）恒成立，则说明公式（17）恒成立，即流体压力越大，越容易打开天然裂缝，这与现场大排量易造复杂缝的认识是一致的。

2 有限元模型建立

使用有限元模拟软件ABAQUS建立水力裂缝扩展与天然裂缝相交的二维模型，预制cohesive单元模拟裂缝破坏和延伸，设置天然裂缝的抗拉强度为0，以区分水力裂缝和天然裂缝。如图2（a）所示，二维模型为边长80 m的正方形，模型中部预置一条水力裂缝贯穿模型，按照一定角度预置一条长度为40 m的天然裂缝，与水力裂缝相交于模型中点。在裂缝周围一定距离内进行网格加密，提高精确度，图2（b）为划分的网格。

图2 水力裂缝与天然裂缝相交模型Fig．2 Intersection model of hydraulic crack and natural crack

基质网格类型为CPE4P，即四节点二维孔隙压力单元；cohesive单元网格类型为COH2D4P，即四节点二维孔隙压力黏结单元。基质网格数量为15 372个，cohesive单元网格数量为240个。

模拟水力压裂时其他施工条件和地质条件保持一致。使用柴达木盆地东坪区块地质和施工参数，渗透率 0．001μm2，孔隙度 0．1，孔隙压力 35 MPa，滤失系数 9．882×10-4m3／min0．5，压裂液黏度 50 mPa·s。

分析水力裂缝遇天然裂缝后的扩展行为，也就是两缝相交于模型中心点后，天然裂缝是否发生破坏。

3 有限元模拟结果

分别模拟不同水平应力差、两缝夹角、基质抗拉强度和排量对裂缝扩展行为的影响。

3．1 水平应力差的影响

讨论水平应力差对水力裂缝扩展的影响时，设置夹角、基质抗拉强度和排量不变。为研究章节1．1中的结论，设置了3组不同的角度，分别为30°、45°和60°。每种夹角条件下，水平应力差从1 MPa增加至15 MPa。基质抗拉强度设置为10 MPa，注入排量为 3 m3／min。

（1）夹角为30°

如图3所示，夹角为30°时，天然裂缝均发生破坏，水力裂缝扩展至交点后，通过打开天然裂缝发生偏转，破坏形式为剪切破坏（绿色为拉伸破坏，红色为剪切破坏）。由于每个应力差条件下天然裂缝均发生破坏，3 MPa至13 MPa条件下省略展示。

图3 夹角30°时不同水平应力差下的裂缝形态Fig．3 Crack morphology under different horizontal stress difference when intersection angle is30°

（2）夹角为45°

如图4所示，夹角为45°，水平应力差小于11 MPa时，天然裂缝发生破坏，破坏方式为剪切破坏；水平应力差达到11 MPa后，天然裂缝未发生破坏，水力裂缝到达交点后继续沿最大水平主应力方向扩展，破坏方式为拉伸破坏。图6（c）和（d）中红色四边形为交点处网格。

图4 夹角45°时不同水平应力差下的裂缝形态Fig．4 Crack morphology under different horizontal stress difference when intersection angle is45°

（3）夹角为60°

如图5所示，夹角为60°时，水平应力差为1 MPa时，天然裂缝发生破坏，破坏方式为剪切破坏；水平应力差达到2 MPa后，天然裂缝未发生破坏，水力裂缝到达交点后继续沿最大水平主应力方向扩展，破坏方式为拉伸破坏。

图5 夹角60°时不同水平应力差下的裂缝形态Fig．5 Crack morphology under different horizontal stress difference when intersection angle is 60°

可以看出，当水力裂缝与天然裂缝夹角达到一定值（本例中为45°）且不变时，随着水平应力差的增大，裂缝扩展方向更趋向于沿原水力裂缝方向扩展，即水平应力差越小，越有利于天然裂缝发生剪切破坏，形成复杂缝网。当夹角小于该值时，天然裂缝在所有应力差条件下都能打开，符合章节1．1得出的规律和结论。

3．2 两缝夹角的影响

讨论水力裂缝与天然裂缝夹角对水力裂缝扩展的影响时，设置水平应力差、基质抗拉强度和排量不变，设置了4组不同的水平应力差，分别为1 MPa、5 MPa、10 MPa、15 MPa。每种水平应力差条件下，分别设置夹角为30°、45°和60°。基质抗拉强度设置为 10 MPa，注入排量为 3 m3／min。

（1）水平应力差为1 MPa

参考前文所述，如图3（a）、图 4（a）、图 5（a）所示，水平应力差为 1 MPa时，夹角为 30°、45°、60°3种情况下，天然裂缝均发生破坏，破坏方式为剪切破坏。根据公式（7），水平应力差为1 MPa时，天然裂缝打开所需的流体压力很小。

（2）水平应力差为5 MPa

如图6所示，水平应力差为5 MPa时，夹角为30°、45°的情况下，天然裂缝发生破坏，破坏方式为剪切破坏；夹角为60°时，天然裂缝未发生破坏，水力裂缝到达交点后继续沿最大水平主应力方向扩展，破坏方式为拉伸破坏。

图6 水平应力差5 MPa时不同夹角下的裂缝形态Fig．6 Crack morphology under different intersection angles when horizontal stress difference is 5 MPa

（3）水平应力差为10 MPa

如图7所示，水平应力差为10 MPa时，夹角为30°、45°的情况下，天然裂缝发生破坏，破坏方式为剪切破坏；夹角为60°时，天然裂缝未发生破坏，水力裂缝到达交点后继续沿最大水平主应力方向扩展，破坏方式为拉伸破坏。

图7 水平应力差10 MPa时不同夹角下的裂缝形态Fig．7 Crack morphology under different intersection angles when horizontal stress difference is 10 MPa

（4）水平应力差为15 MPa

如图8所示，水平应力差为15 MPa时，夹角为30°的情况下，天然裂缝发生破坏，破坏方式为剪切破坏；夹角为45°、60°时，天然裂缝未发生破坏，水力裂缝到达交点后继续沿最大水平主应力方向扩展，破坏方式为拉伸破坏。

图8 水平应力差15 MPa时不同夹角下的裂缝形态Fig．8 Crack morphology under different intersection angleswhen horizontal stress difference is15 MPa

可以看出，当水平应力差不变，随着水力裂缝与天然裂缝形成夹角的增大，裂缝扩展方向更趋向于沿原水力裂缝方向扩展，即夹角越小，越有利于天然裂缝发生剪切破坏，形成复杂缝网，符合章节1．2的结论。另外，两缝夹角达到一定值后，水平应力差越大，天然裂缝打开所需的流体压力越大。比如45°时，水平应力差达到15 MPa后，天然裂缝未打开，这也再次验证了章节1．1的结论。

3．3 基质抗拉强度的影响

讨论基质抗拉强度对水力裂缝扩展的影响时，设置水平应力差、两缝夹角和注入排量不变，设置了两组基质抗拉强度，分别为10 MPa和15 MPa。每种基质抗拉强度下，设置夹角为60°，水平应力差为4 MPa，注入排量为 3 m3／min。

如图9所示，当基质抗拉强度从10 MPa增大到15 MPa时，裂缝相交后继续沿原方向扩展的阻力增大，裂缝更趋向于打开天然裂缝，破坏形式为剪切破坏。因此，基质抗拉强度越大，水力裂缝继续扩展所需流体压力越大，天然裂缝越容易开启。

图9 不同基质抗拉强度下的裂缝形态Fig．9 Crack morphology under different tensile strength ofmatrix

3．4 排量的影响

注入排量越大，水力裂缝到达相交点后，缝内流体压力越大。讨论注入排量对水力裂缝扩展的影响时，设置水平应力差、两缝夹角和基质抗拉强度不变，设置了两组注入排量，分别为3 m3／min和6 m3／min。每种注入排量下，设置夹角为60°，水平应力差为4 MPa，基质抗拉强度为10 MPa。

如图10所示，注入排量从3 m3／min增加到6 m3／min时，裂缝扩展方向更趋向于沿天然裂缝打开，破坏形式为剪切破坏。因此，排量越大，缝内流体压力越大，对天然裂缝和水力裂缝开启都有利，但是更趋向于打开天然裂缝。

图10 不同注入排量下的裂缝形态Fig．10 Crack morphology under different injection rate

4 结 论

（1）水力裂缝遇天然裂缝后能否打开天然裂缝不仅受到水平应力差、两缝夹角的影响，也受到基质抗拉强度和排量的影响。天然裂缝打开的破坏形式为剪切破坏，水力裂缝直接突破天然裂缝的破坏形式为拉伸破坏。

（2）夹角达到临界值时，水平应力差越小，天然裂缝越容易打开；水平应力差越大，水力裂缝越趋向于沿原方向继续扩展。夹角低于临界值时，天然裂缝在任何应力条件下均能打开。

（3）水平应力差不变时，夹角越小，天然裂缝越容易打开；夹角越大，水力裂缝越趋向于沿原方向继续扩展。

（4）基质抗拉强度越大，天然裂缝越容易打开。

（5）排量越大，缝内压力越大，天然裂缝越容易打开，因此大型水力压裂施工需要大排量造复杂缝网。