杨瑞科 李福军 武福平 卢芳 魏兵 周晔

1)(西安电子科技大学物理学院,西安 710071)

2)(中国航空工业集团公司,雷华电子技术研究所,无锡 214063)

量子通信是当前国内外研究的前沿热点领域,具有理想的信息安全性.为了使干旱和沙漠化地区的量子系统能够几乎全天候的工作,必须开展沙尘湍流大气对自由空间量子信号传输衰减及对通信性能影响的研究.应用米氏散射理论、多重散射模拟方法和大气湍流理论,研究了不同能见度的沙尘湍流大气信道中光波传输的衰减,及多重散射和湍流对衰减的影响,表明随能见度的降低多重散射影响增大,随着距离的增加湍流效应逐渐加强.基于量子幅值阻尼信道模型,分析了不同能见度沙尘湍流大气中的多重散射和湍流对量子信道容量、保真度、误码率的影响.结果表明,随着能见度降低,多重散射效应增强,使衰减和误码率有所减小,而信道容量、保真度和安全密钥率的边界有所增加.沙尘大气中湍流的存在,又会使衰减和误码率增大,而信道容量、保真度和安全密钥率会减小.由此可见,沙尘大气能见度较低时的多重散射和湍流对通信性能的影响不可忽略,在实际应用中应根据能见度和湍流强度自适应地调节量子通信相关参数,以提高量子通信的概率和可靠性.

1 引言

量子通信是量子论和信息论相结合的近年来新兴的前沿领域,其与传统通信方式相比具有更佳的保密性和安全性,及潜在的广泛应用.量子通信具有基于光纤的量子通信和基于自由空间传输的量子通信.2007年,中国科学技术大学-清华大学联合研究小组在室外环境搭建了一条传输路径为16 km的自由空间量子信道,为实现远距离量子保密通信提供实验依据[1].2008 年欧洲的研究团队进行了星-地量子通信研究,从地面向高度1485 km的低轨道卫星发出弱光脉冲,再由卫星上的角反射器反射光脉冲至地面接收机,这一技术开创了星-地量子卫星通信的先河[2].2010年,潘建伟团队[3]实现了自由空间16 km的量子隐形传态实验.2016年8 月全球首颗量子通信卫星“墨子号”成功发射,为建立全球光量子通信网络奠定了坚实基础[4].2020年,潘建伟团队[5]等利用墨子号量子科学卫星,通过基于纠缠的量子密钥分发(quantum key distribution,QKD)协议,在国际上首次实现无中继千公里级的量子保密通信.

自由空间量子通信,不可避免地受各种大气环境因素,如:雾霾、云雾、雨、雪、湍流、沙尘等的影响[6−15].为了提高量子通信性能,必须对这些大气因素产生的影响进行深入研究.聂敏等[7,8]研究了雨雪对自由空间量子通信的影响,为量子通信在降雨、雪环境下有效性和可靠性的分析提供基础.他们基于近地面大气湍流的Tunick 模型,研究了近地面大气湍流对自由空间量子通信的影响[9].张秀再等[10,11]研究了雾和黑碳气溶胶对自由空间量子通信性能的影响.聂敏等[12,13]研究了气溶胶粒子和大气相对湿度对量子通信性能的影响,并研究了中纬度地区背景下的偶发E 层对量子通信的影响.这些研究为量子通信的应用给出了理论分析依据.刘涛等[14]对在不同天气情况下不同波长光量子信号传输时的安全密钥率等进行了分析,为自由空间量子通信系统的设计提供依据.Roux[15]推导了纠缠双光子态通过大气湍流时的轨道角动量退相干一阶微分方程,可用于描述纠缠光子在大气湍流中纠缠的衰减.Vasylyev等[16]推导了大气透射率的概率分布,包括光束漂移、光束形变和光束展宽效应,建立了适用于弱、中、强湍流大气的椭圆光束近似模型.Stefano[17]指出自由空间量子通信的研究需要量子信息理论、光学和湍流理论作为工具,而自由空间链路可限制密钥分布和纠缠分布的最终速率,指出大气对量子系统的影响受衍射、大气消光、湍流、瞄准误差和背景噪声的影响;研究了大气湍流对自由空间量子通信极限边界和安全密钥率的影响,为量子通信信道建模提供理论依据.

然而,对于占世界陆地近三分之一的干旱沙漠化、风沙化和半干旱地区,携带沙尘的湍流大气成为影响光通信的关键因素.在沙尘天气环境下,常伴有一定强度的湍流,而湍流大气中常常携带沙尘.目前,沙尘湍流大气对毫米波、红外辐射、激光等的传输和通信性能影响的研究已开展了一些[18−20],然而,对量子通信性能影响的研究报道较少,目前,以沙尘大气和湍流大气单独对量子通信性能影响的研究呈现[21],而考虑粒子多重散射时的湍流沙尘大气或携带沙尘的湍流大气中沙尘粒子和湍流共同对量子通信性能影响的研究目前对于我们还未见到.

沙尘粒子散射和吸收可引起光波信号传输衰减,湍流会导致光波波束的扩展、漂移和闪烁等效应.沙尘大气由于具有一定强度的对流,在引起光量子信号衰减的同时会伴随有一定强度的湍流效应.因此,为了促使光通信,尤其是光量子通信的几乎全地域和全天候应用,必需开展更接近实际情况的沙尘湍流大气对自由空间量子通信信号传输及性能影响的研究.本文根据Mie 散射理论和大气湍流理论对沙尘湍流大气中光波传输衰减进行研究,随大气能见度的降低多重散射效应明显增强,应用蒙特卡洛(Monte Carlo,MC)方法模拟分析考虑多重散射效应的沙尘湍流大气中光传输衰减.基于多重散射和湍流效应光传输的研究及量子通信的基本原理,开展沙尘湍流大气对自由空间量子通信性能影响的研究.

2 沙尘湍流大气光链路衰减

2.1 基于Mie 理论的沙尘大气衰减

自由空间大气介质会对光量子信号传输及通信性能产生较大的影响.在沙尘湍流大气中,对于量子态的传输,其中漂浮的沙尘粒子会导致光量子能量的吸收和散射;沙尘大气能见度越小,粒子浓度就越高,光能量衰减越大.由于沙尘大气常会伴随一定强度的湍流,而大小尺度的湍流对光的衍射和折射会使光束发生扩展和漂移等,有时会导致通信链路的中断.因此,对于沙尘大气中量子通信的研究,需要同时考虑沙尘和湍流效应引起的传播衰减对通信性能的影响.

沙尘天气一般可分为浮尘,具有一定对流强度的扬尘和扬沙,及强对流的沙尘暴天气.对于干旱和半干旱地区常易发生的扬沙尘大气,其大气携带的沙尘粒子尺度一般在0.1—200 μm的范围内,其尺度分布谱可用对数正态分布函数[18]来描述:

其中N0是单位体积中粒子数;µ和σ为l nD的均值和标准差;D为粒子直径.对于扬沙天气µ=–7.68,σ=0.89.扬沙大气中的沙尘粒子由于在空气中飞行摩擦,其形状是接近于球状的无规则体,多个粒子在各个方向散射的统计可等效于球形粒子的散射.那么,应用Mie 粒子散射理论,沙尘粒子尺度分布谱,光波在扬沙天气中传输的衰减系数为

式中,Qt为沙尘粒子的消光因子;λ为波长;m是沙尘介质的复折射率;α的单位是1/km.由于沙尘大气中N0一般难于测量和确定,可借用常用的大气能见度Vb来转换[19],即

其中大气能见度Vb以km为单位;p(D)为粒子尺度分布概率.

2.2 考虑多重散射的沙尘湍流大气链路衰减

基于Mie 理论计算光波在沙尘大气中的衰减适用于沙尘所占空间体积比较小的情况[22],随着大气能见度减小,沙尘粒子浓度增加,光子在传输过程中可能会与多个粒子发生碰撞而发生多次散射现象,这时,就需要考虑光波的多重散射效应.

沙尘大气中粒子的多重散射可用MC 方法模拟.MC 模拟的基本思想是一种以概率统计理论为指导的离散统计算法,随着随机数样本的增多,模拟结果就更接近于实际物理现象.MC 方法的核心是把光辐射看成由很多光子组成的光子束,因此,光波的传输问题就转化为光子的传输问题.可用计算机产生随机数及吸收和散射理论来描述每个光子在沙尘大气中的传输过程,通过对光子的散射方向和行经路径进行随机抽样,实现对光子的跟踪.光子生存权重则随着在沙尘大气中的散射次数增大而减小,直到权重小于阈值、或光子离开所考察的沙尘大气、或到达接收界面为止.通过对大量的光子进行跟踪,统计到达接收界面的光子数和权重来统计估计透过率或衰减率.

根据MC 方法的基本原理和思想,将MC 方法跟踪沙尘大气中光子的传播状态和路径的步骤主要归纳为以下几步[23]:

1)根据光波波长、沙尘粒子折射率,应用Mie 散射理论计算沙尘粒子的吸收截面σa、散射截面σs、消光截面σt以及不对称因子g等参数;

2)考察设定模拟的光子总数Nt,每个光子的初始位置(x,y,z)、发射方向(µx,µy,µz),µx,µy,µz为光子发射方向矢量在三个坐标轴的投影且,θx,θy和θz是光子发射方向与x,y和z轴的夹角,如图1 所示.

图1 光子位置和方向坐标图Fig.1.Coordinate diagram of photon position and direction.

3)对于能见度为Vb的沙尘大气,光子与沙尘粒子相遇,使其散射后的随机游动距离为S=−ln(ξ)/Ca,ξ为在0和1 之间的随机数,Ca为粒子的吸收系数.光子散射的方向,需根据粒子散射不对称因子确定的散射相位函数HG(Henyey-Greenstein)来确定俯仰角θ和方位角ϕ.

4)散射后光子位置和传播方向的更新,新位置为(x′,y′,z′),新方向为

其中µs表示 cosθ′;光子的生命强度变为Wn+1=Wnω,ω=Cs/Ct表示沙尘粒子的反照率,n表示光子发生的第n次散射,若碰撞后光子的强度W大于光子临界生存概率Wth,则继续跟踪该光子,并更新其位置为(x,y,z);否则该光子消亡,不需再跟踪,转入跟踪下一个光子.

5)对多次散射后的光子位置和方向持续更新,直到该光子到达接收平面或光子的生存概率小于Wth,或者光子移出所考察范围.统计所有到达接收面的及光子的W大于Wth的光子数.

6)通过MC 方法可得到在考虑多重散射时光量子在沙尘湍流大气中传输的透射率Tm.

假设沙尘信道的传输距离为d,光子i的初始能量为E,在经历了第n次散射后的能量为Ei,n,距离发射点的位置为di,n,光子的传播方向为θi,n,则根据Beer-Lambert 定律,光子i到达接收面时的能量为Ei,nexp[−Ct(d −di,n)/cos(θi,n)],其中Ct表示沙尘大气的衰减系数,基于Mie 散射计算,则光波通过沙尘大气的透射率可为

Pi,n为第i个光子n次散射后到达接收面的概率.

2.3 沙尘湍流大气光链路衰减分析

对于沙尘湍流大气,在波长λ=1.55 μm,中度强度湍流时,根据Mie 散射理论和MC 模拟及大气湍流理论,应用(6)式和(7)式进行计算,得到沙尘大气在有无湍流情况下,考虑单次、多重散射时的链路衰减(dB)的结果如图2所示.结果表明有湍流影响时的衰减稍大于不考虑湍流时的沙尘大气引起的衰减;考虑多重散射的衰减稍小于单次散射时的衰减;能见度越低,对流越强,它们之间的差别越大.而对于一般沙尘大气能见度都较低,且具有一定强度的对流,因此,进一步研究时需考虑多重散射和湍流的影响.

图2 考虑多重散射的沙尘湍流大气链路衰减随能见度与距离的变化(a)单次散射无湍流链路衰减;(b)单次散射有湍流链路衰减;(c)多重散射无湍流链路衰减;(d)多重散射有湍流链路衰减Fig.2.Variation of the attenuation on sand and dust turbulent atmospheric link with visibility and distance considering multiple scattering:(a)Attenuation with single scattering without turbulent;(b)attenuation with single scattering and turbulent;(c)attenuation with multiple scattering without turbulent;(d)attenuation with multiple scattering and turbulent.

3 沙尘湍流大气对自由空间量子通信性能影响分析

在自由空间大气信道中,由于大气对流使得其温度、压力、密度、水汽和气溶胶含量等不断起伏和变化.而对于沙尘湍流大气环境下的自由空间光通信信道,不仅有由大气温度、压力和密度不均匀和随机起伏引起的湍流,而且还有大气携带的沙尘粒子对光子的吸收和散射,及其多重散射效应.因此,基于沙尘湍流大气中光束多重散射的研究,分析其对自由空间量子通信性能的影响.

实际上量子系统不可能完全封闭,不可避免地与环境发生作用,产生量子态消相干,从而对量子态与信息的传递带来一定程度的影响,称为量子噪声[24].幅值阻尼信道是一个双能级原子激发态的自发衰变的简化模型,是一类重要的噪声信道,它可以描述能量从量子系统中失去的效应-能量耗散,且大量存在于真实量子比特系统中.沙尘湍流大气光通信信道满足幅值阻尼信道的特性.因此,基于该信道理论来研究沙尘湍流大气对量子通信容量的影响.

自由空间量子通信中,承载通信信息的是光量子的量子态,信息的传输就是量子态在量子信道中的传送.信息的状态与性质需要通过不同的测度来获得,表征自由空间量子通信信道性能的主要参量:在量子信道中可由冯诺依曼熵推出每秒能够无错误传输的最大信息量的信道容量[25];描述经过量子信道作用的量子态变化或对比两个量子态的异同的量子保真度;及由于信道传输损耗等原因,使得发送的部分光子不能得到有效的计数的量子误码率.为了分析沙尘湍流大气对量子通信的影响,就需要分析其对这些主要指标参量产生的影响.

3.1 沙尘湍流大气中量子通信信道容量分析

对于沙尘湍流大气中的量子通信,环境量子态和信号光量子态的复合系统经受联合幺正演化,量子态由于与环境的相互作用,而引起其量子相干性发生退化,即消相干现象.沙尘湍流大气量子通信信道容量分析可基于幅值阻尼信道来研究.幅值阻尼信道是自发幅值引起消相干的信道,其运算算子[26]表示为

式中,|k〉,〈m|分别表示沙尘湍流大气环境与量子湮灭算子的本征态;η为沙尘湍流环境下丢失一个光子的概率,可表示为η=1−T′,单次散射时多重散射时.对于一个单光子比特状态,定义量子系统的初始密度矩阵为

式中,∗表示复数共轭,量子系统经过幅值阻尼信道后,初始密度矩阵状态变为[27]

式中,$是一个映射,表示量子系统与环境作用后演化成的形式.

对于信源量子系统{pi,ρi},它表示量子系统处于ρi状态时的概率为pi,且=1,i表示系统处于第i个状态,i=1,2.若输入字符ρ1=|0〉〈0|,ρ2=|1〉〈1|,在扬沙大气和湍流环境下,初始量子态的演化过程为

式中,λi是ρ的固有本征值.受沙尘湍流大气的影响,幅值阻尼信道的信道容量为

根据(14)式对沙尘湍流大气信道中量子通信的容量进行计算,结果如图3 所示.相对于仅考虑沙尘大气单次散射时的信道容量,考虑多重散射后其容量有所增加,而考虑大气湍流的影响,又会使容量有所减小.因此,沙尘湍流大气链路信道容量与衰减的结果有同样的规律,即:沙尘大气的容量大于沙尘湍流大气的容量,考虑多重散射和湍流效应时的容量稍大于单次散射的容量.大气能见度的变化对容量有较大的影响,当能见度减小时,信道容量会有较大的下降.

图3 沙尘湍流大气下的信道容量与能见度与传输距离的关系(a)单次散射无湍流容量;(b)单次散射有湍流容量;(c)多重散射无湍流容量;(d)多重散射有湍流容量Fig.3.Variation of the channel capacity on sand and dust turbulent atmospheric with visibility and distance:(a)Capacity with single scattering without turbulent;(b)capacity with single scattering and turbulent;(c)capacity with multiple scattering without turbulent;(d)capacity with multiple scattering and turbulent.

3.2 沙尘湍流大气中量子通信信道保真度分析

保真度是描述信号在量子信道传输后的状态与初始状态相似程度的物理量.对于两个混合态密度矩阵ρ1和ρ2,它们的保真度定义为F=

扬沙湍流大气破坏量子态的相干性,导致量子比特发生错误,受扬沙湍流大气的影响,量子信号经信道传输的保真度为[25]

得出保真度:

其中p1表示信源取ρ的概率,应用(17)式得保真度随能见度和传输距离变化的结果如图4 所示.从结果看出在沙尘湍流大气下的保真度略小于沙尘大气下的保真度,多重散射的保真度稍大于单次散射的保真度,低能见度的沙尘湍流大气会使保真度产生较大的减小.

图4 沙尘湍流大气下保真度与能见度、传输距离的关系(a)单次散射无湍流保真度;(b)单次散射有湍流保真度;(c)多重散射无湍流保真度;(d)多重散射有湍流保真度Fig.4.Variation of the fidelity on sand and dust turbulent atmospheric with visibility and distance:(a)Fidelity with single scattering without turbulent;(b)fidelity with single scattering and turbulent;(c)fidelity with multiple scattering without turbulent;(d)fidelity with multiple scattering and turbulent.

3.3 沙尘湍流大气的量子误码率

光量子在沙尘湍流环境传输时,因光量子衰变会产生误码.量子误码率定义为接收到的误码比特数与总比特数的比率Qb=Re/Rs,式中Qb为由沙尘湍流大气引起的误码率,Re=βnaexp(−4βna)+βnaexp(β)是接收到的误码量子比特数,Rs=FsRr(1−exp(−µTPacqTappηdetFmea))为经过数据筛选的量子比特数[28],由此得

式中,na为接收方所探测到的光子计数;na=nb/2+nd;nb为背景噪声引起的光子计数[29]可取 10−3;探测器暗计数nd=10−6(铟镓砷雪崩二极管在1 ns 时间间隔内的常规水平);T为沙尘湍流大气量子信道透射率;Rr为发射机脉冲重复率;测量因子Fmea(接收机在进行量子测量时引入)用于表征原始密钥,在BB84 协议中[30]通常取Fmea=1,Rr=0.5,µ表示每个脉冲平均光子数,在采用基于泊松分布的单光子脉冲光源时,为了避免空脉冲的问题,因此令µ=1,筛选因子Fs(通信双方在进行数据筛选时引入)用于表征筛选密钥,由于暗计数并不总是带来误码,暗计数带来正码和误码的概率均为1/2[31],因此Fs=0.5.此外由于光具有波粒二象性,在光束传输横截面上捕获光子时,只能出现两种情况,捕获到一个光子或是什么也捕获不到,因此单光子捕获概率Pacq=0.5,这里忽略系统装置传输率即Tapp=1,并设单光子探测器的量子效率β=65%(铟镓砷雪崩二极管在1.55 µm 波段的量子效率在30%—70%之间[32]).经过计算,得到下图的结果,图中,横坐标表示传输距离,纵坐标表示信号的误码率,由图5 可知,在能见度较低的情况下沙尘湍流大气下的误码率几乎与沙尘大气下的误码率重合;由此可知,沙尘湍流大气会对误码率传输产生较大的影响.

图5 沙尘湍流大气下的误码率与能见度与传输距离的关系(a)单次散射无湍流误码率;(b)单次散射有湍流误码率;(c)多重散射无湍流误码率;(d)多重散射有湍流误码率Fig.5.Variation of the BER on sand and dust turbulent atmospheric with visibility and distance:(a)BER with single scattering without turbulent;(b)BER with single scattering and turbulent;(c)BER with multiple scattering without turbulent;(d)BER with multiple scattering and turbulent.

3.4 沙尘湍流大气下安全密钥率上界影响分析

在自由空间量子通信系统中,还可以用安全密钥率来衡量其系统性能.通过建立发射端和接收端可以共享的最大密钥位的上界和下界,来研究自由空间量子通信的传输边界.当忽略衍射、瞄准误差和热噪声的影响,当在沙尘湍流大气中时,单次散射和多重散射的最大安全密钥率的上界可以表示为[17]

式中,ηeff表示在接收端光纤与探测器量子耦合效率有关的透射率,在实际的探测中ηeff≃0.5.通过仿真计算,可得到如图6的结果,结果表明在沙尘湍流大气下的安全密钥率稍小于沙尘大气下的安全密钥率,多重散射密钥率稍大于单次散射密钥率;沙尘湍流大气会对安全密钥率产生较大的影响.

图6 不同能见度沙尘湍流大气的安全密钥率上界随距离的变化(a)无湍流;(b)有湍流Fig.6.Variation of the upper bound of the security key rate with distance in sand and dust turbulent atmosphere with different visibility:(a)Without turbulence;(b)with turbulence.

4 结论

应用MC 模拟研究了考虑多重散射的沙尘湍流大气中光波传播的衰减,基于量子幅值阻尼信道模型,研究沙尘湍流大气对自由空间量子通信性能的影响,分析了沙尘湍流大气量子信道中的信道容量、保真度、误码率随能见度和距离的变化.结果表明,随着沙尘湍流大气能见度的降低,光波衰减增大,其对自由空间量子通信性能的影响增大.随着能见度降低,多重散射效应增强,使衰减和误码率有所减小,而信道容量、保真度和安全密钥率的边界有所增加.沙尘大气中湍流的存在,又会使衰减和误码率增大,而是信道容量、保真度和安全密钥率会减小.因此,对于沙尘湍流大气环境中的量子通信,除了大气损耗、沙尘粒子吸收和散射引起的衰减必需考虑外,其多重散射及湍流效应也会对通信性能产生显著的影响,必须予以重视,需要根据沙尘大气的能见度和湍流的强弱,适当调整相关参数,以减小沙尘湍流大气对量子通信的影响.该研究对于沙尘湍流大气环境中的量子信道传输、量子通信协议和系统设计具有重要的意义.