杭州学军中学海创园校区(311121) 陶勇胜 徐小芳

解析几何常以压轴题形式出现,对学生的数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养有较高的要求,是学生解题过程中的一个“痛点”.本文从2022 年全国数学理科甲卷第20题说起,对一类圆锥曲线中的定值、定点、定直线问题进行多角度探究,以期优化解决此类问题的思维策略.

真题(2022 年高考甲卷第20 题) 设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3.

(1)求C的方程;

(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α −β取得最大值时,求直线AB的方程.

本题的第(2)与圆锥曲线中的某种定值定点密切相关,值得我们进行多角度探究,藉此优化解决此类问题的思维策略.

1.圆锥曲线的几个定点定值性质

经过对真题的深入探究,我们获得如下性质:

性质1(抛物线的定点定值问题) 设抛物线C:y2=2px(p>0,F(t1,0),D(t2,0)(t2>t1>0)是x轴上的任意点,过F的直线交C于M,N两点.设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.则有:

图1

(1)定点性质:直线AB过定点E(t,0),其中=t·t1(横坐标满足等比性质);

(2)定值性质:如果直线MN和AB斜率都存在,则直线MN和AB斜率之比是定值,且只与点F(t1,0),D(t2,0),E(t,0) 的横坐标有关,即

(3)定直线性质:直线MN和AB的交点T在定直线x=−t2上;

性质 2如图 2,设椭圆C:=1(a>b>0),F(t1,0),D(t2,0)(0<|t1|

图2

证明(1)设直线AB与x轴的交点E(t,0),设直线MN的方程为x=m1y+t1,直线AB的方程为x=m2y+t,直线AN的方程为x=m3y+t2,直线BM的方程为x=m4y+t2,则曲线系方程(m1y −x+t1)(m2y −x+t) +λ(m3y −x+t2)(m4y −x+t2)=0 表示过点M,N,A,B的曲线,整理得到

2.性质的应用

联立直线MF和直线AE的方程,得到x=−2,即交点T在定直线x=−2 上,故将问题转化为已知两个定点F……