北京市第十二中学高中部(100071) 刘刚

1 试题呈现

(1)求椭圆C的方程;

(2) 设过点D(1,0) 的动直线l交椭圆C于E、F两点(点E在x轴上方),M、N分别为直线A1E、A2F与y轴的交点,求的值.

图1

试题考查了椭圆的标准方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系以及定值问题,考查了直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养,检验了学生分析问题与解决问题的能力.试题构思巧妙、内涵丰富,是一道具有研究性学习价值的好题.

2 解法探究

点评解法3 借助椭圆的参数方程并运用三角公式求解,体现了思维的发散性.

点评解法4 运用二次曲线系方程求解,具体为:设直线AB,CD的方程分别为lAB(x,y)=0,lCD(x,y)=0,直线AC,BD的方程分别为lAC(x,y)=0,lBD(x,y)=0,则过A,B,C,D四点的二次曲线系方程可以写成lAB(x,y)lCD(x,y)+λlAC(x,y)lBD(x,y)=0(λ为参数),然后化成一般式方程再与已知曲线方程进行系数比较求解,体现了创新性.

图2

点评由于椭圆与圆经过坐标伸缩变换可以相互得到,因此椭圆中的性质往往在圆中也成立,因此解法5 将椭圆问题转化为圆问题处理,体现了过程的简洁性,揭示了问题的本质.

3 推广探究

对试题一般化,有:

性质1已知椭圆C:=1(a >b >0) 的左、右顶点分别为A1、A2,定点D在x轴上(不与A1、A2重合),过D的动直线l交椭圆C于E、F两点(点E在x轴上方),M、N分别为直线A1E、A2F与y轴的交点,则

如果与x轴垂直的定直线和直线A1E、A2F相交,会有怎样的结论呢? 经过探究,得到:

性质2如图3,已知椭圆C:=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A1、A2,定点D在x轴上(不与A1、A2重合),定直线L与x轴垂直,垂足为P,过D的动直线l交椭圆C于E、F两点,M、N分别为直线A1E、A2F与L的交点,则

图3

由于x轴、y轴是椭圆中一对特殊共轭直……