周治伟，李景峰

（华东电子科技研究所，安徽 合肥 230031）

0 引 言

随着相控阵天线在雷达侦察、卫星通信等领域中的广泛应用，在轨动态按需覆盖成为可能[1,2]。而根据所需方向图求解阵列天线激励幅度和相位值的过程称为阵列综合。阵列天线波束综合是一个十分困难的非线性优化问题，虽然有许多经典的优化方法可以借用，但是这些方法都是针对某一类特定问题而提出的，例如的切比雪夫、泰勒分布，而对于复杂或任意的目标方向图（比如国土或局部热点覆盖），经典方法无法求解[3]。

近年来，采用进化迭代算法（如差分算法、模拟退火、遗传算法等）和智能群体优化算法（如粒子群算法、布谷鸟搜索算法等）进行阵列天线方向图综合成为研究热点，但是这类方向图综合计算容易陷入局部最优，很难找到全局最优解，且对于星载应用的大型相控阵列，所需的优化迭代计算量很大，实时优化将非常困难，很难满足在轨波束赋形的实时性需求[4-8]。

Woodward-Lawson采样法是用于线阵综合赋形波束的主要方法。1948年，Woodward和Lawson引入了一系列正交波束，每个波束的加权值等于所要求的方向图在对应采样点处的幅度[9]。由于计算简单，完全可以满足在轨实时更新赋形的需求。本文对Woodward-Lawson采样法进行了深入研究，并推广到二维阵列进行波束赋形。

1 一维Woodward-Lawson采样法

1.1 基本原理

类似于信号处理理论中的抽样定理，Woodward-Lawson采样法综合的基本原理是将方向图用一组正交基函数来叠加表示，各基函数的系数等于所要求的方向图在对应抽样点上的幅度，正交基系数的有限项之和为源的总激励，基函数的有限项之和为综合的方向图函数，因此目标方向图可以通过优化正交基系数得到。

为了便于理解，在线阵方向图综合的Woodward-Lawson采样法中，将阵元电流分解为幅度均匀、相位线性递变的若干组空间谐波之和。每组空间谐波产生一个波束指向一定方向（空间抽样点）的方向图。这个方向图函数即为抽样基函数。由于基函数的特殊性质，综合波形过程中，某基函数的顶点（最大值点）对应于目标方向图抽样点，而其第一零点对应于相邻基函数的顶点，满足这个条件的情况下，则可认为任意2个不同抽样点的基函数是两两正交的。同时，基函数的零点位置在正弦空间是等距排列的，使每一个基函数在特定的一个采样点上的值，刚好等于目标方向图在该点的值（称之为该基函数的谐振点），而在其他采样点上的值为零，即基函数与谐振点一一对应。

这样在每个单元位置上，重叠着的M个子阵单元合成的电流幅相即是综合阵的馈电幅相。这样综合出的线阵方向图在M个采样点上的值刚好等于样本函数在该点的值，这样的点越多，综合的方向图越逼近样本函数。

1.2 应用分析

Woodward-Lawson采样法中抽样点的个数与位置由阵长L及波长λ决定。由于均匀直线天线阵的阵因子有较高的副瓣电平，同时又受到抽样点位置与个数的严格限制，能调整的参数仅仅是空间谐波的相对幅度，因此使综合得到的方向图往往不能满足要求。尤其在平顶方向图综合中，主瓣区波动幅度较大（2～3 dB），副瓣电平较高（-15～20 dB）且难以控制。

Woodward-Lawson采样法的缺点实质上是基函数的性质决定的，基函数的副瓣电平较高（-13.3 dB），第一副瓣电平等于M个谐波的副瓣峰值的叠加，考虑到谐波的副瓣峰值叠时时交错反向的，因此，对于平顶波束赋形，如果目标方向图区域内为采样点个数为P，且不考虑赋形区域的边沿，则综合得到的第一副瓣电平为

对于任意的基函数的第一、二、三、四、五、六副瓣峰值分别为-13.3 dB、-17.8 dB、-20.8 dB、-22.99 dB、-24.7 dB、-26.2 dB。如图1所示，对3个谐波进行叠加，则SLLtotal=SLL1-SLL2+SLL3，所以综合后第一副瓣为-15.49 dB（注意这里不能用dB值直接相加，要将电平值转化为绝对幅度值，加减后再取dB值）；类似地，对4个谐波进行叠加，综合后第一副瓣为-19.3 dB；对5个谐波进行叠加，综合后第一副瓣为-15.6 dB；对6个谐波进行叠加，综合后第一副瓣为-18.64 dB。因此，可得出有价值的规律如下文所述。

（1）取偶数采样点比奇数采样点可获得更低的副瓣（低3 dB左右）。

（2）副瓣电平仅与采样点选取有关，增加阵元不能降低副瓣电平，增加采样点不但不能降低副瓣电平，反而使其升高。副瓣电平的极限值为4个谐波叠加的结果，为-19.3 dB。

如果考虑赋形区域的边沿，将处于边沿的谐波幅度设为1/2，结果也值得讨论。图2为3个谐波叠加的情形，综合方向图的第一副瓣电平为SLLtotal=SLL1/2-SLL2+SLL3/2，将此式推广可得任意P个采样谐波叠加第一副瓣电平表达式为

需要注意的是，第1个和第P个采样谐波相对幅度为1/2。3个谐波综合后第一副瓣为-31.7 dB，4个谐波综合后第一副瓣为-28.8 dB。由此可见对边沿处理过的情况，选择奇数采样可以得到30 dB的副瓣电平。

综上所述，Woodward-Lawson采样法的旁瓣问题可通过采样点的选择和边沿的处理得到较好的解决。但是，Woodward-Lawson采样法一个更为明显的缺点是，其综合得到的电流分布只在阵列中部少数阵元的电流幅度较大，而阵列两段多数单元的电流幅度很小，这使得阵列的口径效率低，所以阵列方向性系数和增益也较低。

2 改进的Woodward-Lawson采样法

为了克服Woodward-Lawson采样法的缺点，可采用低副瓣的口径场（Chebyshev-Dolph分布或Taylor分布）作为子阵谐波，而抽样点的个数、位置及空间谐波的相对幅度均可灵活调整，使综合的方向图更为理想即在主瓣区内更加平滑、副瓣区内电平更低[10]。

如果对线阵方向图进行综合，可取若干组空间谐波，它们的阵因子对应各自的空间抽样点。各次空间谐波的电流之和即为天线阵阵元的激励电流，各子阵阵因子之和即为天线的总方向图。如空间抽样点数为M，则有M组空间电流谐波，它们构成的总阵因子为

从综合的角度，令Im≈|Sd(m)|（这里只是近似值，精确值参见文献[11]），这样与Woodward-Lawson采样法相比，求激励电流只需要再加一个采样口径场电流in。但是，由于采用低副瓣口径阵因子作为采样函数，可以忽略正交条件的限制，因此改进后采样点的位置和个数以及间隔的选取可以更加灵活，综合得到的方向图除了与抽样点的个数、位置及空间谐波的相对幅度有关外，还与天线阵的电长度及子阵的加权情况有关。一般地，低副瓣阵因子可以选取Chebyshev-Dolph分布或者Taylor分布等。为了使用Chebyshev-Dolph分布阵因子作为推广为面阵的采样函数，首先要得到均匀栅格平面阵的Chebyshev-Dolph分布，而对于目前的严格分析，只有当阵列采用不可分离型分布，且x、y方向上的阵元数量要相同[12]。

尽管改进后的Woodward-Lawson采样法可使综合的方向图得到改善（赋形区波动减小、副瓣电平降低），但是付出的代价是，增加了激励电流的动态变化范围（Dynamic Range Ratio，DRR），激励电流在阵列的两端或者外侧变得很小，这大大降低了天线的口面效率，同时在工程实现上增加了对馈电网络的设计难度。

3 Woodward-Lawson采样法的二维推广

接下来讨论对于均匀线阵如何向均匀面阵转换的问题。如果一个矩形均匀面阵满足可分离型分布，即如果 平面阵 的分布 按列为，按 行为，则

可以证明，矩形栅格均匀面阵阵因子为垂直方向一维线阵阵因子和水平方向一维线阵阵因子的乘积，这也印证了方向图乘积定理。那么同样适用于Woodward-Lawson采样法，基函数为，采样点为(u,v)二维空间的采样。可以证明，基函数在合适的采样点同样满足图1所示正交关系，只是各个基函数扩展到了在二维(u,v)空间相叠加。如图3所示，要综合一个圆形波束，则需要的采样点可以如图3中黑点所示位置确定。这样的点对应于旁瓣的零点位置。

二维Woodward-Lawson采样法的基本流程如下文所述。

（1）根据均匀矩形栅格尺寸确定采样间隔，根据阵元数目确定奇数采样或者偶数采样。

（2）根据目标方向图的形状和大小，确定采样点（图3）。

（3）根据下式计算各阵元电流

式中：（xm,yn）是阵元位置；K、S为整数（这里取奇数采样方式）；Aks为采样点(uk,vs)的采样幅值。

对于三角形栅格，如果排布的整个阵面为矩形，可分解2个交错的均匀矩形阵面，则二维Woodward-Lawson采样法同样适用，只是将分解的2个阵面分别进行计算，且关于采样点设置和边缘采样值的设置同样服从一维线阵的情况。

4 结 论

经典的Woodward-Lawson采样法缺点是综合方向图副瓣较高，展宽主瓣波动较大，即对目标方向图逼近度不够；改进的Woodward-Lawson采样法可以对目标方向图进行较好逼近，但是得到的激励DDR较大，导致较大的阵面增益损失。因此，要选择合适的基函数，在方向图逼近和阵面效率等因素下进行权衡和折中。将Woodward-Lawson采样法从一维线阵推广到二维阵列进行波束赋形，其处理流程简单、计算量较小，适于进行星载相控阵的在轨快速赋形应用。