党选举 马樑海

（①桂林电子科技大学电子工程与自动化学院，广西 桂林 541004；②广西智能综合自动化高校重点实验室，广西 桂林 541004）

近年来，协作机器人在高端制造、医疗服务、防灾抗疫等领域广泛应用，这对协作机器人的执行精度提出了更高要求。但作为柔性关节核心部件的谐波减速器在动力传动过程中，由于柔轮受载变形时的弹性变形能量损失，故而柔轮与刚轮齿合时产生摩擦损失，这一固有的机械结构特性致使柔性关节在运动过程中不可避免地出现复杂迟滞特性，严重影响协作机器人的位置执行精度[1-2]。因此，为了满足高精度控制要求，对关节中谐波减速器的迟滞特性进行建模尤为重要。

柔性关节迟滞特性一般指输出力矩与扭转角（输入轴与输出轴夹角）的关系，具有多值对应、强非线性和非对称的特点。针对迟滞特性的建模方法中，除传统的物理模型如Preisach模型[3]、PI模型[4]和Maxwell模型[5]，非线性微分模型如Bouc-Wen模型[6]和Duhem模型[7]，近年来出现具有较高全局优化能力和泛化能力的智能迟滞模型，典型的有采用神经网络或最小二乘支持向量机（LSSVM）的迟滞建模方法[8-10]等。

智能建模方法中的LSSVM是结合统计学习知识与结构风险最小化理论的一种机器学习算法。与一般的神经网络对比，LSSVM具有较高的建模速度和泛化能力，常应用于迟滞建模。文献[11]借助LSSVM对气动肌肉的位移和气压迟滞关系进行建模研究。文献[12]和[13]基于LSSVM理论对压电作动器进行建模和控制研究。文献[9]利用基于非线性自回归模型结构的LSSVM对构成驱动器的智能复合材料实现迟滞建模与控制。但无论是LSSVM还是基于非线性自回归模型结构的LSSVM迟滞模型，都用于迟滞特性表现为对称性、正逆程弱非线性特性的压电陶瓷或气动肌肉等对象的建模，不适用于协作机器人柔性关节所表现出的正逆程强非线性、非对称的复杂迟滞特性建模。

而加权最小二乘支持向量机（WLSSVM）通过引入加权规则改善LSSVM的抗干扰性能和建模精度欠佳的问题[14]，使之能更好地适用于柔性关节的复杂迟滞建模。并且带中间变量的非线性自回归移动平均滑动（NARMAX）模型结构是针对非线性系统的一种输入输出描述，能有效地表征其动态特性，具有较强的预测复杂非线性输出的能力。因此，本文为构建协作机器人柔性关节高精度迟滞模型，结合实际关节实验数据，基于NARMAX结构框架，将PI算子产生的中间变量、输出力矩历史值和扭转角历史值作为模型输入，利用LSSVM模型输出误差信息，在目标优化函数中采用具有自适应调整因子的输出误差信息构成的正则化项，建立改进的WLSSVM迟滞模型。

1 基于 NARMAX 结构的改进 WLSSVM 迟滞模型

1.1 LSSVM 迟滞模型的构建

LSSVM将原本数据空间借助核函数定义的非线性映射，转换到高维特征空间中，使非线性回归问题变成高维特征空间下线性回归问题的求解[11]。在高维空间中构建关节的回归函数如下。

式中： γ为正则化因子； ξk为模型输出与实际输出之间的误差。为求解式（2）的优化问题，构造拉格朗日方程如下

式中： λk表示拉格朗日乘子。为求目标函数的最小值，令式（3）中的变量ω 、b、 ξk及λk偏导数等于0，即

消去式（4）中的 ω 和 ξ，则所求的优化问题转化为如下线性方程组

式 中 ： λ =[λ1,λ2,···,λN]T， Δ θ′=[Δθ1,Δθ2,···,ΔθN]T，E=[1,1,···,1]T，I代表单位矩阵。因此，LSSVM的优化问题由式（2）转化为式（5）线性方程组的求解，该方程组用最小二乘法计算。

为避免上述映射函数与高维特征内积φ(x)Tφ(xk)的求解，根据Mercer条件，存在映射函数 φ和核函数K，使得

式中：选取高斯径向核函数， σ为核函数宽度，‖·‖代表欧氏距离。因此，得到协作机器人柔性关节的LSSVM迟滞模型表达式为

LSSVM迟滞模型的输入向量选取如下，为

式中：τJ(k-1)和τJ(k-2)表示k-1和k-2时刻实际测得关节力矩， Δ θ(k-1)和 Δ θ(k-2)表示k-1和k-2时刻实际测得关节扭转角。选取合适核函数参数及正则化参数后，利用LSSVM得到模型的预测输出扭转角 Δ θ′(k)，如图1所示为LSSVM迟滞模型结构图。

图1 LSSVM 迟滞模型结构图

通过协作机器人关节实验所采集的数据对LSSVM迟滞模型进行验证。如图2所示为模型预测输出与误差，其中，图2a实线表示关节实际扭转角输出，点画线表示LSSVM迟滞模型预测输出，图2b虚线表示预测误差。结果表明，LSSVM迟滞模型在预测复杂非线性特性的能力不足，具体表现为关节往返切换运动过程中的预测误差较大。

1.2 改进 WLSSVM 迟滞模型的构建

1.2.1 基于 PI迟滞算子的中间变量

由图2可知，针对协作机器人关节的强非线性、非对称的复杂迟滞特性，LSSVM迟滞模型的预测能力不足。为此，基于NARMAX模型结构特点，在引入输出力矩和扭转角历史值的基础上，采用PI迟滞算子产生中间变量，将关节迟滞特性的多值映射关系转化为一对一映射。PI迟滞算子的数学表达式

图2 LSSVM 迟滞模型预测输出与误差

式中：u(k)表示算子输入，h(k)为算子输出，阈值r取值为10。当k=0时PI迟滞算子初始化为

1.2.2 自适应调整因子kξ的设计

为了提高模型的精度和抗干扰能力，根据LSSVM模型输出与目标值的训练误差构成目标优化函数的正则项。本文设计自适应调整因子kξ，正则项不同的权重，决定数据点对建模过程的影响大小，其优化目标函数为

式（11）中所提出kξ表达式如下。

为了求解式（11）的优化问题，构造拉格朗日方程

为求目标函数的最小值，令式（13）中变量 ω、b、 ξk及 λ*k偏导数等于0。则所求优化问题转化为线性方程组。

1.2.3 模型参数的优化

在建模过程中，需要预先给定正则化因子 γ和核函数宽度 σ。参数选取能有效提升迟滞模型的预测和泛化能力。而SSA作为一种新的智能优化算法，在收敛速度、搜索精度和局部最优值的避免上具有较高的优势[15]，故将SSA用于改进WLSSVM迟滞模型的参数选取。

SSA是受麻雀群体捕食行为启发而提出的优化算法，其运算过程由发现者、追随者及预警者组成。具有良好适应度值的发现者负责引导麻雀群觅食，其位置更新公式为

式中：j=1,2,···,d为当前维度；t为当前迭代次数；tmax为最大迭代次数；表示t+ 1次迭代下第i只麻雀在第j维的位置； α ∈(0,1]表示随机数；Q表示服从正态分布的随机数；L为 1 ×d且元素均为1的矩阵；R2∈[0,1]为预警值；ST∈[0.5,1]为安全值。

追随者比发现者的适应度值低，需根据发现者的位置来进行捕食，其位置更新公式为

式中：XPt+1表示第t+ 1次迭代时发现者的最优位置；Xwtorst为当前全局最差位置；A+=AT(AAT)-1且A是元素随机为1或 - 1的 1 ×d维矩阵，n为麻雀总数。

当意识到危险时，预警者会做出反捕食行为，其位置更新公式为

SSA同时优化模型参数 γ和 σ步骤如下：

（1）参数设置及种群初始化，具体为初始参数 γ和 σ，麻雀总数n，最大迭代次数tmax，预警值R2，发现者和预警者数量。

（2）以训练和验证均方误差为适应度函数，计算每只麻雀适应度值fi并排序，得出全局最优和最差适应度值fg和fw。

（3）利用式（16）~（18）更新发现者、追随者及预警者新位置及对应适应度值，如果适应度值优于前次，则更新。

（4）重复步骤（3）的更新过程直到最大迭代次数，最优解为所有迭代中适应度值最低的那只麻雀，输出对应最优参数 γ和 σ。

通过上述步骤优化后获得模型参数取值为γ=2.73， σ =5。

综上，改进WLSSVM迟滞模型的输入向量选取如下

式中：τJ(k-1)和τJ(k-2)表示k-1和k-2时刻实际测得输出力矩； Δ θ(k-1)和 Δ θ(k-2)表示k-1和k-2时刻实际测得关节扭转角；h(k-1)和h(k-2)表示k-1和k-2时刻PI迟滞算子的输出。利用SSA获取最优核函数参数及正则化参数后，通过改进WLSSVM，得到预测输出扭转角 Δ θ′(k)，如图3所示为改进WLSSVM迟滞模型结构图。

图3 改进 WLSSVM 迟滞模型结构图

2 迟滞模型的建模与验证实验

本文搭建协作机器人柔性关节迟滞特性实验平台，通过实验得到输出力矩与扭转角的关节数据。以最大绝对误差（MAE）和均方根误差（RMSE）作为模型精度的评判指标，分别比较LSSVM迟滞模型、在 IEEE-ASME T MECH期刊中文献[16]所提NARMAX迟滞模型和改进WLSSVM迟滞模型的建模与验证效果。

2.1 关节数据的采集

实验平台由FRANKA协作机器人、控制器和工作站PC组成。工作站PC需为配置实时内核的Ubuntu环境，并装有Libfranka库。在Visual Studio Code中利用C++编程访问FCI，使FRANKA协作机器人指定关节按给定位置信号做双边正弦衰减运动，同步采集扭转角与输出力矩的数据。

实验过程如下，给定关节位置信号qd为

式中：A为 关节运动幅度，（°）；T为关节一个回环运动的时间，s；时间常数τ取为0.02，关节运动回环设为6个，采样频率设为10 ms。

为充分验证所提模型的性能，采集不同幅度和周期下的关节实时数据，取值分别为：①A=π/6,T=4s； ②A=π/6,T= 6s； ③A=π/8,T= 4s ；④A=π/7,T= 5s。将所采集数据分别用于改进WLSSVM迟滞模型和对比迟滞模型的建模与验证。

2.2 建模与验证结果

将A=π/6,T= 4s时的关节数据作为模型训练数据。如图4所示为建模输出迟滞图，如图5所示为建模输出和误差时域图。分析图5可知，LSSVM迟滞模型、NARMAX迟滞模型和改进WLSSVM迟滞模型的建模MAE分别为 0.004 53°、0.003 48°和0.001 87°， 对 应 的 建 模RMSE分 别 为 0.001 81、0.001 20和0.000 45。所提模型比LSSVM迟滞模型的建模MAE降低2.4倍，建模RMSE降低4.0倍，比NARMAX迟滞模型的建模MAE降低1.9倍，建模RMSE降低2.7倍。

图4 建模输出迟滞图

图5 建模输出和误差时域图

将A=π/6,T= 6s时的关节数据用作模型第一组验证数据，其验证输出迟滞关系如图6所示，时域下的验证输出和误差如图7所示。分析图7可知，LSSVM迟滞模型、NARMAX迟滞模型和改进WLSSVM迟滞模型验证MAE分别为 0.003 24°、0.003 13°和0.001 39°，对应验证RMSE分别为0.001 06、0.001 11 和0.000 41。所提模型比LSSVM迟滞模型和NARMAX迟滞模型的验证MAE均降低2.3倍，而验证RMSE分别降低2.6倍和2.7倍。

图6 第一组验证数据输出迟滞图

图7 第一组验证数据输出和误差时域图

将A=π/8,T= 4s时的关节数据用作模型第二组验证数据，如图8所示为验证输出迟滞图，如图9所示为验证输出和误差时域图。分析图9可得，LSSVM迟滞模型、NARMAX迟滞模型和改进WLSSVM迟滞模型验证MAE分别为 0.003 32°、0.003 12°和0.001 65°，对应验证RMSE分别为0.001 32、0.001 14和0.000 41。所提模型比LSSVM 迟滞模型和NARMAX迟滞模型的验证MAE分别降低2.0倍和1.9倍，而验证RMSE分别降低3.2倍和2.8倍。

图8 第二组验证数据输出迟滞图

将A=π/7,T= 5s时的关节数据用作模型第三组验证数据，得到验证输出迟滞曲线如图10所示，时域下验证输出和误差对比如图11所示。分析图11可得，LSSVM迟滞模型、NARMAX迟滞模型和改进WLSSVM迟滞模型的验证MAE分别为0.003 31°、0.003 22°和0.001 74°，对应验证RMSE分别为0.001 14、0.001 10和0.000 40。所提模型比LSSVM 迟滞模型和NARMAX迟滞模型的验证MAE均降低1.9倍，而验证RMSE分别降低2.9倍和2.8倍。

图10 第三组验证数据输出迟滞图

图11 第三组验证数据输出和误差时域图

不同周期和幅度下的模型验证结果对比如表1所示。可知，相较于LSSVM迟滞模型，所提模型的验证MAE最多降低2.3倍，验证RMSE最多降低3.2倍。相较于NARMAX迟滞模型，所提模型的验证MAE最多降低2.3倍，验证RMSE最多降低2.8倍。综上，改进WLSSVM迟滞模型的模型精度和泛化能力均优于LSSVM迟滞模型和NARMAX迟滞模型。

表1 不同周期和幅度下的模型验证结果对比

3 结语

针对由谐波减速器构成协作机器人柔性关节所表现出的多值对应、强非线性和非对称性的复杂迟滞特性问题，提出基于NARMAX结构的改进WLSSVM迟滞模型。利用PI算子所产生的中间变量、输出力矩历史值和扭转角历史值作为模型输入，解决多值映射问题。在优化目标函数的正则化项中引入自适应调整因子，使模型可以有效预测非对称和强非线性特性。结果表明，相较对比模型，所提迟滞模型具有较优的验证精度。