□ 顾志能 倪森鹤

图形的运动，又称图形的变换，小学阶段主要涉及平移、旋转、轴对称、放大（缩小）等知识，前三者是全等变换，后者是相似变换。

关于轴对称知识，教材体系很清晰，但学生对此的认识却并不清楚。比如在六年级总复习时，倘若问学生“我们学过哪些图形运动的知识”，学生往往会说“有平移和旋转”，而不太会讲到轴对称和放大（缩小）。不把放大（缩小）看成图形运动的方式，尚可理解，因为相似变换与人们日常对“运动”的认识存在一些差异。但是，与平移、旋转一样，同是全等变换的轴对称，学生也没把它看作是图形运动的方式，这个现象值得我们深思。

事实上，不仅学生如此，有些教师对轴对称知识也认识模糊。曾多次遇到教师的表达存在疑义——“轴对称，就是画出一幅图形的另一半”，这跟运动有什么关系？平移、旋转是在运动，但轴对称哪里有运动呢？还有教师存在这样的误解——在判断一个图形是否为轴对称图形时，都是采用“对折、重合”的方式，所以“对折”就是轴对称中的运动。

轴对称中的运动，究竟是怎么回事？师生为什么会产生认识上的模糊？在小学阶段怎样教好这块知识？本文尝试围绕这三个问题进行阐述。

一、轴对称知识的数学本质

现实世界中，物体发生运动和变化，是常见的现象。从数学的角度看，物体的运动和变化，都可以抽象为图形的变换。在几何学中，我们把几何图形按照某种法则或规律变成另一个几何图形的过程叫作图形变换。［1］

如规定平面上任意一点P，如果P与其对应点P＇所连线段PP＇被给定直线l垂直平分，这样的变换就叫作轴对称变换，也叫轴反射变换［2］（如图1），简称轴对称或轴反射。

图1

不同的法则会产生不同的变换，如平移变换、旋转变换、相似变换等。限于篇幅，本文不细述各种法则，读者可自行查阅相关资料。

图形是点的集合，任意一个图形的变换，本质上都是点的变换（或者说点集的映射）。如图2所示，△ABC轴对称变换为△A＇B＇C＇，实际上就是所有的点同时进行轴对称变换。点的变换，在数学上被称之为“运动”，因此“图形的变换”也被叫作“图形的运动”。

图2

从上文可知，轴对称与平移、旋转一样，都是图形变换（运动）的方式，虽然方式不同，但其内在本质相同——都是点的变换（运动）。

若站在生活经验的角度来看待这三种运动，常会让人感到有些“差异”。因为一个图形进行平移、旋转，它们都是在一个平面内运动（滑动、转动），这样的现象在生活中比较常见，比较符合人们对运动的常规理解。而轴对称似乎不是在一个平面上运动，如果非得要找寻生活经验作支撑，那就需要人们改变思维方式，把看待运动的视野从平面拓展到立体，才能找到对应的实例——将整个图形翻折过来（即沿着对称轴在空间内翻转180°）。所以，从生活经验和学习心理的角度来看，轴对称相比平移、旋转，要略抽象和复杂一些，由此开展的学习自然也会曲折一些。

二、师生认识模糊的原因

（一）较多的相关数学名词产生干扰

师生认识上的模糊，跟轴对称知识中相关数学名词比较多、容易混淆有关系。

上文中已经说到了好几个数学名词：轴对称、轴对称变换、轴对称运动。事实上，我们还经常听到对称轴、轴对称图形、两个图形成轴对称等数学名词。这里，有必要把几个数学名词再理一理。

轴对称是轴对称变换（轴对称运动）的简称，表达的是一种特定的运动法则。这个词语如果换作更具动词特征的“反射”，也许会更有利于人们理解和表达。事实上，在数学的专业领域，较多采用的是“反射”这个词语，参见各种作图软件中的操作菜单。

而轴对称图形，它是指若关于一个图形，存在这样一条直线，使这个图形上的每个点关于这条直线的对称点仍是这个图形上的点，则称这个图形关于这条直线对称，或称这个图形是轴对称图形［3］。这个说法比较抽象，简单地说，此处的“轴对称”三个字，是一个定语，用其刻画了这个图形的性质（特征）。如长方形、等腰三角形等，都具有“轴对称”的特征，所以都叫作轴对称图形。（注意：从定义可见，轴对称图形一般是指一个图形。但是，当两个图形有轴对称关系时，如果把它们合起来看成一个整体的话，这个图形也是一个轴对称图形［4］，如图2中两个三角形组成的图形。）

从上一段话中也可以看到，两个图形成轴对称，无非就是在表达两个图形之间存在着的一种位置关系——轴对称的关系。

因此，笔者猜测，部分师生没有认识到轴对称是一种运动方式，这与现实中人们常常把轴对称图形和轴对称变换都简单地称为“轴对称”有关。可以假想，描述这个知识时，人们若规定这种变换一律叫“反射变换”，简称“反射”（即把作为动词的“轴对称”说法忽略），而形成的图形叫作“轴对称图形”，混淆也许就可以避免。

（二）教材的内容编排带来影响

当前的教材编排，遵循了《义务教育数学课程标准（2011年版）》的课程内容，第一学段是“感受轴对称现象”“通过观察、操作，初步认识轴对称图形”，第二学段则是“进一步认识轴对称图形……能在方格纸上补全一个简单的轴对称图形”。这样的编排思路，导致小学生把轴对称与平移、旋转“差别对待”。

如果分析教材的编排，我们可以清晰地看到这种“差别”是如何产生的。

以人教版教材为例。图形运动相关知识第一次出现是在二年级下册，单元名称就叫“图形的运动（一）”。整个单元有4个例题，分别教学轴对称（如图3）、平移（如图4）、旋转、轴对称的运用。

图3

图4

仔细观察教材，可发现轴对称的引入情境，是“静态存在”的一幅图，而平移的引入情境，则是“动态发生”的一件事。轴对称的例题，其教学的重点是轴对称图形的特征（对折后左右能完全重合），而平移的例题则让学生感受一个图形经运动后可得到另一个图形。因此，学生学习后，并不理解“轴对称就是图形的运动”。

到了四年级下册，教材安排了“图形的运动（二）”，内容是再次教学轴对称和平移（旋转相对复杂，编在了五年级下册）。图5是轴对称的例1，教材直接给出了一个轴对称图形，让学生“看一看，数一数，发现了什么”。例题如此设计，不是从运动的角度揭示这个轴对称图形的形成，而是让学生通过探究发现轴对称图形的性质——对称点的连线与对称轴垂直，到对称轴的距离相等。紧接着的例2（如图6）要求补全一个轴对称图形，学生运用从例1中获得的经验，借助观察、数格子、找点、连线，补全图形，此过程实质上就是性质的运用。

图5

图6

所以，通过例1、例2的学习，可以发现轴对称就是研究一个图形的性质（或是利用性质画出一个图形的另一半），这是学生学习轴对称知识的最大感受，至于其中的“运动”特性，学生应该是没有感觉的。

紧接着来看平移例题（图略），其素材和教学实施，能让学生切实地感受到图形在运动，运动到其他位置，得到一个同样的图形。旋转的教学与其相似，限于篇幅，本文不再赘述。

北师大版、苏教版等教材的编排体系及例题形式总体与人教版教材类似。

综上所述，按当前的教材编排体系实施教学，学生虽然经历两轮学习，但并不能获得“轴对称就是图形的运动方式”的认知，这与学习平移、旋转后形成的清晰认知是完全不一样的。正因为如此，到了六年级“图形的运动”总复习时，很多学生不认为轴对称是图形的运动方式。同时这三个知识点教学时形式的不一致，也使有些教师不知不觉间模糊了认识。

三、轴对称知识的教学思考

根据上面的分析，在目前的教材编排体系下，小学阶段教学轴对称知识，若想让学生较好地认识到“轴对称就是图形的运动方式”，教师可以从认识的提升和教学的改进两方面入手。

首先，教师要准确把握轴对称知识的数学本质——运动，“轴对称就是图形在运动，实际上就是点在运动”。只有教师具备了这样的认识，那么无论是审视教材中的例题和习题，还是设计教学的内容和方法，或是进行教学中的语言表达和引领，才会凸显这个本质。

其次，教师要利用现有的教材资源，在内容上作巧妙的处理，在教法上作大胆探索，让轴对称知识的教学能够体现其运动属性，并引导学生体验和理解，实现认知的提升。根据笔者的实践和思考，可以从三个教学节点上进行尝试。

（一）初次教学时，引入“翻折”，渗透运动

各套教材都是从生活中的轴对称现象引入，让学生初步感知这些图形的特点，然后再正式开展例题教学。以人教版教材为例，例题让学生开展“对折→画→剪→打开”的操作活动（如图7），得到一个轴对称图形。借助操作和观察，引导学生感知轴对称图形的特点，认识对称轴。

图7

应该说，这个学习素材是极有内涵的——直观地说明了半个图形运动后就可变成一个轴对称图形。但是，很多教师在教学时，都没有领会剪纸活动中的这个内涵，他们把教学的重点放在了剪纸后对图形特征的研究上（强调“对折、重合”），甚至有的教师觉得剪纸活动缺乏思维含量而直接弃用。这些做法，都会使学生错失“轴对称就是图形的运动方式”的认识机会。

可以对原有例题教学进行改进，具体实施如下：

在剪纸活动后，先展示“打开——半个图变整个图”的过程，明确告知学生这就是对图形进行“翻折”，相当于原来的图形运动到了另一边。

再让学生借助类似的学习材料，反复进行翻折，进一步加深对轴对称图形的认识。翻折之前想象，翻折之后观察（还可借助多媒体），充分体验通过不同的翻折可得到不同的轴对称图形。

教学经如上改进后，学生不仅能较好地体验轴对称图形的运动属性，而且能深刻地认识到轴对称图形的特征及其原理（翻折与对折正好是相反的动作）。

另外，后续的练习中，不要都是凭借观察或借助“对折、重合”来判断一个图形是否为轴对称图形，可以适当增加有关翻折的练习，以进一步强化运动的思想。如北师大版教材的一道习题就很有意思（如图8）。

图8

在这里特别要说明：“翻折”这个名词，运动特征明显，学生也容易理解和表达，教学轴对称知识时，直接采用这个名词来表达轴对称运动。事实上，很多专家早就有此呼吁。［5］

（二）再次教学时，强调“找点”，凸显本质

如果说轴对称的初次教学，是让学生直观感知图形的运动，那么再次教学时，就应该从直观过渡到抽象，引导学生基于数学的本质去认识轴对称运动。

人教版教材四年级下册的例1、2，是先教学轴对称图形的性质，再利用掌握的性质画出另一半。这个编排顺序和要求不妨变化一下——通过翻折（想象、操作）找出另一半，在探究过程中得出性质。原来的例题可进行如下改变：

这个图形沿着对称轴翻折（如图9），你能想象出A、B、C、D四个点分别会变到哪个位置吗？请在图上标出4个点变化后的位置，并补全整个轴对称图形。

图9

这一过程，既链接了之前的学习经验（翻折），又无痕地渗透了图形的运动就是点的运动这个数学本质。教师要做的，就是在反馈时，借助实物操作或多媒体演示，让学生说清楚并理解这些点会变到哪个位置，知道怎么想。（注意：图中的点并不全是格点，这更有利于学生思考）经过这样的学习，学生就能切实地体会到，一个图形要进行轴对称变化，只要找到各个关键点运动后的位置，然后把点连线即可得到它的另一半。如此，知识的本质得以凸显，方法的联系得以建立。

在此基础上，引导学生进一步关注运动前后的点，“看一看，数一数，你发现了什么”，轴对称图形的性质自然得出。

这种思路，在北师大版教材五年级上册的例题（如图10）中有一定体现。笔者建议对这个例题进行两点改进：一是在半幅图上可用字母标注出几个点，二是提示语可改为“先想象一下翻折的过程”。

图10

经过如上教学后，学生理解了轴对称运动的本质，找到了找点与翻折之间的关联，基于此再去熟练技能（各种画出轴对称图形另一半的练习），甚至探索对称轴是斜线的情况，那就能高屋建瓴地认识图形的运动了。

当然，如果二年级未教学过“翻折”，那么在四年级教学本课时，课始可先通过设计情境简单补一下这个知识（四年级学生很容易理解和接受），然后按上述思路展开教学，效果也是很好的。

（三）综合练习时，引导“建联”，灵活运用

学完轴对称、平移、旋转三个知识之后，各套教材都设置了综合运用这三个知识的内容。若仔细阅读教材，会发现目前的编排中，对三个知识是“区别对待”的——讲运动方式时只要求用平移和旋转，而不提轴对称。如北师大版教材六年级下册中的一道例题（如图11），很明显，要求说说怎么通过平移或旋转将图片运动到指定位置。

图11

教材的编排，再次错失了引导学生认识轴对称是图形运动方式的机会。这当然是有原因的——一是图中的七巧板若做轴对称运动，会涉及“两个图形成轴对称”，这超出了课程标准的要求；二是之前的教学没有涉及轴对称的运动本质，此时提这样的要求，显然不合逻辑。

那么，如果在这样的题中加入轴对称的要求，六年级学生能否进行学习呢？教学的效果又会怎样呢？

笔者曾经改造了北师大版教材中的一个素材（如图12），开发了一节效果不错的练习课。

图12

首先，将供学生操作的卡片全部双面印刷——两面图案相同。其次，任务还是“打乱的图形如何才能实现还原”，但对具体方法没有限定。结果，当有学生想到运用轴对称的方法之后（如图中打乱后处在左边的图形，经过两次翻折后也可实现还原），翻折（轴对称）就成为了课中学生主动追求、非常喜欢的一种方法。尤其是对称轴的个性化设定，使得变化过程得以创新出奇。整节课，不断变化打乱的图形及位置，逐步提升还原的要求（尽可能少的步骤），促使学生灵活地运用三种方法进行解决，在加深对三种运动认识的同时，较好地发展了空间观念、创新意识。

从知识学习的角度而言，上这样一节课是非常必要的，因为它可让即将毕业的小学生从联系的视角、整体的视角，实现对轴对称、平移和旋转的深度把握——都是图形的运动，都是全等的变换，只不过变换形式不同而已。内在关联一旦建立，知识就能整体建构并灵活运用。

四、进一步的分析与期待

行文至此，也许有读者已经发现了本文所论及的师生认识模糊、教学改进建议等，追根溯源，都指向同一个原因——教材编排所遵循的数学课程标准没有要求小学阶段教学轴对称知识要揭示其运动属性。

为什么不对学生提出这样的学习要求？笔者揣测，因为从理论上讲，轴对称刻画的是两个图形之间的对称变换关系，也就是只有在一个图形变换成另一个图形时（即两个图形成轴对称），才能直观地显现出运动特性，并适合研究其性质。而这样的内容，是要在初中阶段才学习的，小学生不具备这样的思维水平和能力，因此小学阶段只安排了学习轴对称图形。

但从笔者的教学经验和实证研究来看，上述想法也许过于理性了。

如图13 所示，是笔者设计的一张调查问卷。这4道题目中，第④题就是初中才教的两个图形成轴对称（该内容小学里不教，教材上也没出现过）。对两所学校338 名按当前教材学习过轴对称知识的五年级学生进行测试，该题的正确率为99.1%。

图13

小学里没教过，但学生却几乎都会，可见，两个图形成轴对称（当然是简单的情况），对学生而言，并不是很难理解的知识。读者更可马上想到，倘若学生知道了轴对称就是翻折，学会了翻折的方法，那么对他们而言，翻折半个图形还是翻折一个图形，沿着图形上的边翻折还是沿着图形外的边翻折，难道还是什么难事吗？更何况，小学生探究翻折时还有方格纸作为支撑（这才是与初中的区别——初中学习时脱离了方格纸）。

由此可见，小学生只能学习轴对称图形，无法认识轴对称运动，这样的想法是值得探讨的，数学课程标准在这个内容上的要求或许也可以再衡量。因为很明显，只有课程标准做出调整，那么本文所讲的问题才能真正得到解决，否则，无论怎样的教学尝试，都是缺乏“底气”的。遗憾的是，在《义务教育数学课程标准（2022 年版）》中关于轴对称知识的内容，只在编排体系上做了微调，但从目标表述来看，教学要求跟之前是相似的。

课程标准短期内已不可能更改，所以我们只能希望各套教材的编写者能够意识到本文所述问题的现实性，在不违背课程标准要求的前提下，通过教材编写的优化和创新，巧妙地渗透轴对称知识的运动属性，让教师意识到所教知识的内涵，让学生能感悟所学知识的原理。事实上，我们做的三个课例，均是在使用当前教材的背景下进行教学的，其对教材的创新处理和对教学素材、手段及过程的精心设计，经实践证明均是可行的——教师能教，学生可学。从这个意义上来说，本文表达的观点和介绍的课例，也许能给接下去各套教材的编写提供一些可用的思路和资源。

综上，若要让小学的轴对称知识彰显运动本色，既需要教师提升本体性知识，改进教学的过程与方法，也需要上级部门在课程目标设置、教学内容编制等方面进行优化。唯有上下一心，共同探索，才能让学生更好地学习轴对称知识，让这个内容绽放出其特有的育人价值。