徐开俊，张 榕，杨 泳，徐照宇，赵津晨，林浩冬，肖成坤，曹海波

（1.中国民用航空飞行学院，广汉 618300；2.四川大学华西医院，成都 610000；3.成都天府新区建设投资有限公司，成都 610000）

0 引言

时至今日，随着现代导航系统的不断发展，导航模式也越来越多样化，例如，已经相当完善的SINS系统、无线电导航系统以及精度更高的GPS导航系统等。要提升整个导航系统的性能，有必要将两个或两个以上的导航系统技术加以组合应用，以达到优势互补的目的，这就是组合导航技术。

INS主要提供的导航信息数据有姿态角（包括航向角、俯仰角和横滚角三个量），方位角，东、北、天三个方向上的速度和位置，以及对应方向上的加速度和角速率，利用这些数据信息可对运载体进行准确操控。它具有很好的自主性和动态性能，可以在高频下输出更全面的导航信息，但是其缺点是随着工作时间的增加，误差会持续叠加，长时间运行的情况下精度会下降［1］。GNSS具有精度高、误差不随工作时间增加而增加的优点，但存在输出导航信息不够全面、信号易受干扰等问题。在自主导航系统向以信息融合为基础的组合导航技术发展的今天，其发展趋势是全自主、高精度、高可靠性［2］。从上述对惯性导航系统和全球导航卫星系统的优劣势的分析可以得出，这两种导航系统的优缺点可以达到接近完美的互补，因此GNSS/INS被公认为是最佳的组成组合导航系统的方式。当进行组合导航系统的设计时，特别是导航数据融合处理时，一般都会采用卡尔曼滤波器，即利用卫星导航设备测得的导航数据作为辅助观测，估计组合导航系统的状态变量，得到最优解，从而获得更高精度的导航信息。在导航领域应用最早、最成功的滤波器就是卡尔曼滤波器。

随着组合导航系统的蓬勃发展，越来越多的导航传感器被当作集成控制系统的局部子感应器，对于具有多个子导航系统的组合导航系统，在对组合导航进行综合分析研究时，应该从信息整体融合的观点出发。

本文选择以SINS系统为主、GPS为辅系统的组合方式，研究基于卡尔曼滤波的多源数据信息融合算法，针对传统卡尔曼滤波在长时间工作状态下存在滤波发散的问题，提出一种基于最大相关熵的卡尔曼滤波算法，该算法不仅可以提高滤波精度，且整个系统的鲁棒性也有所提升，并给出了整个滤波融合的仿真结果。

1 卡尔曼滤波基本原理

递归运算和运算效率高是卡尔曼滤波的显著优点［3］，经过滤波后的解是最小均方误差意义上的最优解。一般来说，卡尔曼滤波器的每次更新迭代可以按照以下两个步骤进行：第一步是根据系统状态转移方程及时预测和更新系统状态，与此同时，对状态协方差矩阵进行更新；第二步是更新观测量，在观测量到来以后，必须首先更新状态协方差矩阵，以便通过计算得到卡尔曼增益矩阵，也就是卡尔曼因数，最后系统状态的变量被重新更新，循环往复。这样，得到的最新估计值即为下一时刻的系统新一轮迭代的起始值。总之，卡尔曼滤波器是通过系统状态预测方程和测量方程准确估计系统数据的实时状态。

设系统状态方程和测量方程为

式中，Xk是n维的系统状态变量；Zk是m维的测量向量；F是n阶的状态转移矩阵，G是系统噪声向量的分布矩阵，H是m×n阶的测量矩阵，F、G、H都是已知的系统结构参数；wk是l维的系统噪声向量，vk是m维的量测噪声向量，这两个噪声向量都是高斯白噪声向量序列，均值为零，服从正态分布。满足

在给定状态初始估计及噪声协方差矩阵Q和R之后，按下式进行卡尔曼滤波更新。

对状态变量进行预估计：

对预估计协方差矩阵进行计算：

对卡尔曼增益矩阵进行计算：

更新对状态变量的估计：

计算更新后的估计协方差矩阵：

2 基于最大相关熵的卡尔曼滤波

近几年来，随着信息论的不断发展，人们对于其中的优化准则也越发重视，这种优化准则是直接采用了从数据中所估计的信息论量（如熵）［4］，而不是常用的二阶统计量（如方差、协方差）作为优化成本函数。最大相关熵准则就是来源于信息论领域，它既可以获得误差的方差、协方差等关键信息，还可以对滤波的误差进行计算得到高阶统计量，能够大大改善系统的跟踪性能，提高系统的鲁棒性［5-7］。

2.1 最大相关熵准则（mcc）

考虑随机变量X和Y，两者之间的相关熵定义为

式中，E表示求期望值；p(x,y)表示随机变量X和Y的联合概率密度函数；k(x,y)表示核函数。

由于实际情况中的联合概率密度函数p(x,y)难以获得，一般采用样本的平均值来计算相关熵的估计值：

在上式中使用高斯核［8-10］，因此写成：

2.2 最大相关熵卡尔曼滤波（mcckf）

卡尔曼滤波器的基本方程通常有以下几种推导方式，例如：正交原理法，最小方差无偏估计法，极大后验估计法和加权最小二乘估计法。在加权最小二乘估计［11］中，二次目标函数为

加权矩阵在最小二乘法中R-k1和Pk-|k1-1导致最小方差估计，而引入相关熵后会使用高阶矩，结合最大相关熵和最小二乘法的思想来重新定义一个新的目标函数：

为了将这个目标函数最小化，对进行求导，计算可得：

由式（14）进行数学推导可得：

即

为了得到状态估计，在式（15）的右边对（LkHTR-k1Hx̂k）进行加减运算，并通过推导得出下式：

由上式推导出新的估计量如下：

将这种估计器称为最大相关熵卡尔曼滤波器，它使用相关熵来处理数据信号，并在增益矩阵的计算中使用协方差。

3 仿真与分析

需要建立SINS和GPS的组合导航系统的系统状态方程和量测方程，来实现GPS/INS组合导航系统的卡尔曼滤波器。选择以误差作为系统的被估计量建立模型，根据被给定估计状态和一步预测均方差的初值X̂0与P0，并采用随时间变化的增益子回路和滤波计算回路，可以得到随时间更新的导航参数以及滤波输出。

为了测试基于最大相关熵的卡尔曼滤波的性能，对如下所示的组合导航系统进行仿真。

3.1 状态方程的建立

系统状态变量共有13维，状态方程为

GPS/INS组合导航系统的系统状态变量为

其中，δL，δλ分别表示经度、纬度的误差；δvE，δvN分别是东向、北向移动速度的误差；φE，φN，φU表示东向、北向、天向三个方向上航向姿态角的误差；εrx，εry，εrz表示陀螺仪随机漂移；∇x，∇y，∇z表示加速度计零偏。

式中，F为状态X的系数矩阵；系统噪声为

其中，ωgx，ωgy，ωgz为陀螺漂移白噪声；ωbx，ωby，ωbz为随机漂移马尔可夫过程白噪声；ωax，ωay，ωaz为角速度计零偏一阶马尔可夫白噪声。

3.2 位置速度组合量测方程建立

取INS和GPS输出的速度、位置数据的差值作为滤波器的量测值，即

则组合导航系统的量测方程为

在利用卡尔曼滤波算法进行迭代时，首先要做的就是对所获取的状态变量进行初始化来得到初值，对于系统初值X0，要求与wk和vk互不相关。初始化后可根据卡尔曼滤波进行预期估计，在传统卡尔曼滤波算法迭代过程中，环境观测噪声R是已知的，并且不随时间的变化而变化，由于导航系统的运行状态十分复杂，因此考虑将最大相关熵引入到组合导航系统内部中来求得出全局最优解。通过Matlab软件进行仿真，验证算法的可靠性。

整个滤波仿真参数如下：初始经度L=114°，初始纬度λ=35°；重力加速度g=9.7804 m/s2，加速度计零偏为10-4g；一阶马尔可夫相关时间τs=300 s，采样间隔T=1 s；陀螺漂移取0.1°/h，地球自转角度ωie=15°/h。

仿真结果如图1和图2所示。

从图1和图2可以看出，在非线性系统中传统卡尔曼滤波器的误差随着工作时间的推移逐渐增大，且所表现出的稳定性不够好，相比之下，基于最大相关熵的卡尔曼滤波对位置和速度的估计精度在一定程度上有所提升，东向、北向误差逐渐变大，而经过最大相关熵卡尔曼滤波器数据处理后，速度误差在0.5 m/s附近，精度提升效果显著。图3、图4表明，对于位置的精度提升不是特别明显，但是传统卡尔曼滤波算法随着工作时间的增加已有发散的迹象，而基于最大相关熵的卡尔曼滤波器依旧能够稳定地工作，可以明显看出，新算法能够有效消减环境变化或运行状态所引起的测量噪声发生 的变化，表现出更好的鲁棒性。

4 结语

针对传统卡尔曼滤波在GPS/INS组合导航系统中，由于长时间工作所导致的滤波发散的问题，本文建立了数学模型并进行仿真与分。结果表明，本文所提出的基于最大相关熵的卡尔曼滤波算法在组合导航应用中是一种有效的算法，可以有效消减量测噪声变化所引起的干扰，在一定程度上提高了滤波精度和滤波器的鲁棒性，对后续改进卡尔曼滤波器具有一定的参考价值。