福建省厦门市同安区官浔小学 高 晨

一、几何直观的含义

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确将几何直观归属于学生的核心素养，指出：“几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯。”几何直观有助于把握问题的本质，明晰思维路径。因此，加强对学生几何直观的培养有助于促进学生的深度学习以及素养的落地。那么，什么是几何直观？

（一）直观

直观包括感性直观与理性直观。感性直观涉及知觉，与逻辑思维的联系较少；理性直观需要进行理性分析，因此与逻辑思维密切联系。

在小学数学的教学中，既需要培养学生的感性直观，也要培养学生的理性直观，在感性直观与理性直观的相互作用下为学生几何直观的培养奠定基础。

（二）数学直观

数学直观包括代数直观、几何直观、统计直观，但是只有几何直观好理解、看得见、摸得着。史宁中教授认为：数学的结论是“看”出来的，而不是“证”出来的。会看就是数学直观，而会看不是教师教出来的，而是学生悟出来的，是思维经验的积累，因此在教学中应当重视学生的数学直观。数学直观是几何直观的基础，培养学生的数学直观需要为学生的经验积累创设一定的活动，让学生在活动中积累思维经验，为几何直观的培养提供强有力的支撑。

（三）几何直观

几何直观是指借助于见到的（或想象出来的）几何图形的形象关系，对数学的研究对象（空间形式和数量关系）进行直接感知、整体把握的能力。

几何直观除了包含一定的感性直观和理性直观外，还包括对于数学直观应当具备的思维经验积累，在直观与数学直观的基础上运用一定的图表等进行分析和解决问题。

通过上述关于直观、数学直观与几何直观的辨析可得：直观和数学直观是几何直观素养的基础；几何直观素养的培养需要建立在感性直观与理性直观的基础上，结合数学直观中积累的思维经验，运用图表等直观方法进行分析和解决问题。

二、几何直观的价值

为什么要培养几何直观呢？史宁中教授认为：教育只需要关心三件重要事情，一是理解事物的本质，二是启发解决问题的思路，三是直接推断问题的结论。几何直观能够帮助学生更好地理解知识的本质，解决了第一件事情；几何直观能够帮助学生构建一定的问题解决模型，解决了第二件事情；几何直观能帮助学生通过理解知识本质，运用问题模型从而灵活选择不同方法或多种方法来解决问题，解决了第三件事情。因此，可以说培养几何直观能从源头上解决这三件重要的事情。

（一）有助于理解知识的本质

数学知识存在着一定的抽象性，学生对于知识理解的困惑点往往不是在于知识本身，而是在于对知识产生过程的理解。借助几何直观能将抽象的数学知识以一种更直观的方式进行呈现，学生能更好地理解知识的产生过程，更好地理解知识的本质。

（二）有助于发展创新意识和思维

数学研究的对象是数量关系和空间形式，数的学习往往离不开形。学生通过将数与形结合，能够挖掘文字素材中所蕴含的数学信息，将复杂的文字信息转化成直观、明了的图形信息，并且能够借助这些信息进行深入探究，在探究过程中产生不同的思考，从而发展创新意识与思维。

（三）有助于构建一定的问题解决模型

问题解决模型与策略需要学生经历一个不断“积累—修正—运用”的过程。学生通过借助几何直观解决问题，在问题的“积累—修正—运用”过程中形成了一定基本活动经验和思维模型，当再次遇到类似问题，学生便能够提取已有的问题解决模型来处理复杂问题，使得问题解决更得心应手。

三、几何直观的培养策略

数学是一门较为抽象的学科，小学生的年龄特点决定着其理解和分析问题的能力较低。因此，教师在教学过程中，应充分了解学生的认知发展水平以及年龄特点，借助几何直观帮助学生进行描述和分析问题，从而解决问题。如何培养学生的几何直观呢？本文将结合不同案例，在数与代数、图形与几何、统计与概率等问题解决中进行具体阐述。

（一）在数与代数中培养几何直观

对于算理、数量关系和算式之间关系的理解是小学数与代数中的重要组成部分，但在实际教学中往往为了保证学生计算的熟练度而过多强调算法，弱化算理，对于数量关系的教学则过于抽象，造成学生对数量关系的学习存在障碍。那么，在课堂上该如何借助几何直观进行有效教学呢？

1.借助几何直观，理解计算道理

数学计算看似零散，实则是一张错综复杂的网，其本质是要厘清计算的道理。通过几何直观，学生能在繁杂的数字中寻找道理，在“道理”的帮助下掌握算法，发展运算能力。

2.借助几何直观，厘清数量关系

数量关系是数与代数中难以理解的部分，通过数形结合的方式可以有效促进数量关系和图形的转化，帮助学生将抽象的数量关系直观化，有助于学生厘清数量关系，解决问题。

首先，在操作中感知数量关系。数学学科螺旋上升和学生渐进思维的特点告诉我们：教师在教学时应抓住“核心”，设计逐层递进的实践操作活动，夯实学生的数学思考，实现纵向数学化过程。在数学教学中，操作能有效连接数学知识，学生能在具体操作后感知数学。因此，教学中应合理引导学生借助操作，直观感知数量关系。

其次，在画图中建立数量关系。借助画图能直观地表示题意，帮助学生将复杂、抽象的问题表示出来，便于学生建立起清晰的数量关系，从而有效促进学生解决问题。

又如“乘加、乘减”一课，要解决“2名教师和30名学生能坐得下客车吗？”这一问题。课本出示客车的座位图，图中前面每排4个座位，后面每排5个座位，由于座位不再是简单的“每排几列，有几排”这一模型，学生无法直接列简单的乘法算式进行解决，因此解决该题遇到了困难。教师可以巧妙借助课本中提供的直观图形，在画图中帮助学生理解解决该题的本质也是“乘法”，这样学生更能建立起客车座位之间的数量关系。

3.借助几何直观，发现算式关系

算式的理解本就抽象，算式间的关系就更难理解。借助几何直观教学计算能更好地帮助学生发现算式关系，为学生提供多样的思路，提升学生的思维能力。

例如在教学“乘法分配律”时，教师出示图1，要求学生用综合算式列式解决。学生给出的答案有“2×5+4×5”和“（2+4）×5”两种，并结合图形进行了说明。第一种是将白色和黑色分开算，然后再加起来；第二种先求行数，再用行和列相乘得出总数。教师此时提问：“两个结果相同吗？为什么？”通过结合图形说理，最终师生总结得到：两个算式虽然表现不同，但意义一样，都是表示6个5相加。在该课教学中，教师借助几何直观引导学生结合已有知识经验解决问题，并在解决问题过程中发现了算式之间的关系。

图1

（二）在图形与几何中培养几何直观

几何直观和图形与几何领域联系最为密切。图形与几何中除了要求学生能掌握计算图形长度、面积、体积等内容外，更重要的是让学生知道这些计算公式的推导过程，让学生知其然且知其所以然，并在推导过程中感悟思想、习得方法。

1.借助操作，助力推导过程

图形面积、体积等的推导需要建立在学生理解的基础上，该过程较为复杂，单从纯数字方面来理解对于学生有一定的难度，需要借助直观操作来进行。

图2

又如在“三角形的内角和”一课中，以复杂抽象的逻辑推理方式来探究三角形的内角和对于小学生来说有一定的难度。在教学中教师引导学生将三角形的三个角进行拼、折、剪等活动，通过几何直观探究三角形的内角和，将抽象的问题转化为直观的问题来解决，促进了学生对内角和的理解与推导。

2.借助画图，呈现多样方法

无论是数与代数或是图形与几何都十分重视方法的多样化，借助几何直观能够呈现多样的方法，帮助学生拓宽思路，促进学生思维的发展。

例如，把一个正方体割成大小两个长方体，其中小长方体的表面积比大长方体的表面积少20cm2，已知原来的正方体棱长是5cm，求小长方体的表面积。

该题若只通过题目而不结合几何直观来思考会十分抽象，并且会将思维局限在一定范围内。但当结合直观图形（图3）思考，学生给出了以下两种解法。

图3

从两种解法可以看出，方法一借助几何直观更快速地解决了问题，方法二则是在图形的帮助下联想到了“和差”，从而解决问题。可以看出，在借助几何直观的情况下，不但可以帮助学生快速解决问题，而且能够呈现方法的多样化，开放学生的思维，有效促进学生思维的发展。

（三）在统计与概率中培养几何直观

统计的核心是数据，数形不分家，因此在统计与概率中培养几何直观也应当引起重视。

1.借助直观，感悟数据意识

数据意识的培养除了借助单一的数据外，图形的结合也是不错的选择。

例如在教学“折线统计图”时，教师通过提供多组数据，让学生将数据整理成表格和条形统计图后，由此引出折线统计图，引导学生在条形统计图和折线统计图的对比中感受二者之间的相同点和不同点，让学生懂得根据实际情况选择不同的统计图。在这个过程中，结合数据和直观的统计图，学生能更清楚地了解到对应的数据，明确针对不同的要求可以选择不同的统计图这一想法，更好地感悟数据意识。

2.借助操作，体会统计思想

直观的操作可以帮助学生将抽象的统计数据进行直观处理，帮助学生更好地理解统计思想。

例如在教学“平均数”一课时，教师通过一场比赛来进行教学，将学生分成两支队伍，其中5名男生一队，4名女生一队。此时教师提问：“哪一队能赢呢？为什么？”学生认为男生队人多不公平，教师再次追问：“有没有更好的办法判断？”并引导学生借助直观图解决。学生通过摆圆形片感受到了“当人数不相同时，可以用平均数解决”以及用“移多补少”可以更好地理解平均数。在该过程中，教师引导学生结合直观图来理解“平均数”，从而帮助学生更好地体会统计思想。

（四）在问题解决中培养几何直观

在问题解决中，借助直观图能有效帮助学生分析问题，厘清数量间的对应关系，从而发散学生的思维，培养思考能力，促进解题策略多样性。

1.借助画图，抽象问题模型

几何直观能帮助学生将烦琐文字中的数学问题抽象出来，将问题简单化，让学生能针对抽象出的问题进行思考，降低问题解决的难度。

例如在“植树问题”一课中，教师出示问题：“要在100m小路的一边每隔5m栽一棵树（两端都栽），共需多少棵树？”一开始，学生对问题的理解是抽象的，并不能准确用算式进行表示。而教师通过引导学生用画图的方式先研究20m、30m、50m时，学生能够从图中非常直观地总结出“棵数=间隔数+1”，紧接着学生同样借助直观图探究两端都不栽和一端栽的情况，并最终总结出规律。在该过程中，通过借助简单的线段图，帮助学生抽象出问题，使得问题清晰化、简单化，学生能够借助问题模型更好地解决问题。

2.借助画图，巧解实际问题

几何直观的运用除了能帮助学生快速解决问题，还能够帮助学生提高问题解决的灵活性。

图4

又如在“相遇问题”中，教师出示问题：“客车和货车分别从甲乙两地相向而行，客车走了1h后货车才出发，又经过5.5h两车相遇。已知客车速度为55km/h，货车速度为45km/h，求甲乙两地间的距离。”在该题中，学生无法单纯借助文字解决问题，而通过将文字中的信息用线段进行描述后，可以帮助学生将问题与实际生活进行联系，避免理解偏差，从而抽象出问题模型，解决问题。

3.借助画图，构建思维框架

问题解决需要一定的思维框架，借助几何直观能够帮助学生更好地构建思维框架，帮助学生有效、轻松地解决问题。

综上所述，几何直观能够帮助我们将抽象的文字转化成直观的问题进行呈现，可以促进问题可视化。而对于几何直观的运用和培养，不应该只局限于图形与几何，也应存在于数与代数、统计与概率、问题解决等。除此之外，几何直观的培养不该只是放在某个时刻，而应该贯穿于整个教学过程中，通过不断地、反复地渗透和磨合，最终转化为学生的核心素养，促进学生的深度学习。