孔繁晶

（徐州高等师范学校）

概率是研究随机现象规律的数学分支，为人们从不确定的角度认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中明确指出，要通过概率学习重点培养学生分析随机现象的能力，提升其数学抽象、数学建模、逻辑推理和数据分析等素养.但是，作为数学课程四大主题中唯一一个不确定性主题，概率与其他确定性数学主题在组织形式、思想方法和研究路径上存在着显著的差异.细数将其引入中学课程的二十多年，教材内容经历了多次调整和重构，这些都为一线教学增加了难度，当然也带来了挑战.随着新版高中数学教材的使用和高考改革的推行，概率部分无论是课程架构、教学内容还是评价标准、考核要求都发生了很多变化，故其再一次引起了广大教育工作者的重点关注.

综观基础教育阶段可以发现，概率学习并非一蹴而就，而是跨越小学、初中、高中三个学段，学习周期较长.这就要求高中教师不仅要关注高中学段的概率教学，还需要以发展的眼光对各学段的概率内容进行统筹研究.高中数学教师要着重思考以下几个问题：同一主题的学习内容为什么要在不同学段反复出现？不同学段概率学习的内容和目标又有哪些差异？如何实现概率学习的跨学段衔接与超越？

一、各学段概率教学内容对比

1.小学阶段概率教学内容分析

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》第一次将概率内容纳入小学课程，分布在第一学段（1～3年级）和第二学段（4～6年级），之后充分考虑学生的认知水平，经过调整与修订，确定将其编写在第二学段（4～6年级）.《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出，统计与概率的教学目标为体验随机事件和事件发生的等可能性.至此奠定了概率作为小学数学课程四大领域之一的重要地位.

以苏教版《义务教育教科书·数学》为例，小学阶段的“概率”经历了引入、后置，更加明晰其呈现形式及内容方向，即基于生活体验，引导学生依据直觉理解概率的意义，并不急于给出概率的定义；侧重对可能性大小的感知和定性描述，并不急于将可能性赋以数值.具体如表1所示.

表1 小学阶段的“概率”

2.初中阶段概率教学内容分析

以苏科版《义务教育教科书·数学》为例，初中阶段正式给出概率定义，称其为刻画随机事件发生的可能性大小的量.《标准》指出，第三学段概率的学习目标为进一步认识随机现象，计算一些简单事件的概率.较之小学阶段，初中阶段依然重视生活体验，并从统计角度定义概率，即通过大量重复试验，用频率来估计概率；而后，在研究了试验的两个共同特征的基础上引入概率的计算公式，进一步将概率问题数学化、抽象化，并将研究由感性认识推向理性思考，初步建立学生的随机观念，但并不明确区分统计定义和古典定义.具体如表2所示.

表2 初中阶段的“概率”

3.高中阶段概率教学内容分析

苏教版《普通高中教科书·数学》中概率内容调整幅度较大，引入了样本空间、用集合语言刻画随机事件，从统计定义和古典定义两个角度对随机事件发生的可能性进行量化，并类比函数研究思路，开展“概念—关系—运算—应用”的研究.必修阶段的概率内容可以看作初中概率内容的深化，选择性必修阶段的概率内容则是在此基础上进一步构建概率模型，引入随机变量来研究随机现象的统计规律，引导学生将随机现象数学化，进而解决实际问题，并为高等数学中“概率论与数理统计”的学习做铺垫.具体如表3所示.

表3 高中阶段的“概率”

二、“概率”特质分析

概率和统计并称，是中小学数学课程四大主题中唯一一个研究不确定性问题的主题.而在主题内部，概率在三个学段中的跨度和侧重较之统计更为复杂.因此，进行教材中概率的特质分析成为开展教学的必要前提.

1.明本质——不确定性

从研究对象上看，概率的研究对象是随机现象.所谓随机现象指的是在一定条件下，某种结果可能发生，也可能不发生，事先不能确定出现哪种结果的现象.从研究内容上看，从小学至中学，概率的统计定义是概率研究的一条主线，即用频率估计概率，显然样本的获得具有随机性，而依据样本获取频率采用的是不完全归纳法，依然蕴含不确定性.从研究思想上看，教材通过大量实例帮助学生多角度、多层次体验随机性，后又将随机性数量化，在这个过程中形成随机思想.由此可见，概率的不确定性是多方位的呈现，亦是概率的本质特征.

2.重编排——螺旋上升

概率是数学课程中为数不多的贯穿三个学段的内容，但在三个学段中，概率内容的编排绝非简单重复，而是依照学生的认知规律，遵循螺旋上升的原则进行编写的.现行教材中，小学阶段并没有过早地引入概率，而是关注学生可能性的直觉经验积累，侧重于对概率大小的感知和定性描述；初中阶段是在定性认识的基础之上初步发展学生对随机分布的理解，建立概率模型，并逐步进行数量化；高中阶段则是从已具备的经验中寻找新的学习起点，基于学生认知水平的提升和抽象思维的相对成熟，将概率的研究思路进行重组，通过引入样本空间，利用集合语言，类比函数学习路径构建概率研究框架，并将内容延续——随机变量及典型分布的理解与应用，为高等数学相关内容的学习做铺垫.

3.引思路——应用导向

概率论作为一门重要学科，从生活中的赌博问题起源并发展，经历古典定义、统计定义，直至公理化体系的建立都体现着其极强的实用性特点.中小学概率更是一以贯之地贯彻这一思路，从启蒙渗透到直觉积累，从感性认识到理性抽象，均通过各种具体实例分析逐步实现，最终再回到利用建立的随机观念和随机思想应用概率工具解决实际问题.在这个过程中，抛硬币、摸球、掷骰子等成为典型的概率模型，于各个学段一用再用，却又从不同角度深化研究.从最初的感性体验可能性，逐步走向概率古典定义、统计定义并且将其数量化，进而引入随机变量讨论分布列，等等.可见，应用是概率问题提出的依托，是概率体系构建的载体，更是理论转化实践的回归.

三、高中概率教学策略

基于以上分析，笔者结合日常教学与研究，针对高中概率教学提出以下几点策略.

1.找准进阶点，切勿简单重复

依据上述分析不难发现，三个学段的概率学习在逻辑主线上保持高度一致，即发展学生随机观念是概率教学的核心.围绕这一核心，从定性到定量，从感性到理性，虽是螺旋上升，但也一脉相承.因此，下一学段的教材必将承接上一学段的知识梳理，并进一步深化.例如，高中必修部分的概率内容，虽然存在引入样本空间、利用集合语言刻画随机事件、删除几何概型等变化，但随机现象、概率的统计定义、古典定义及计算、事件的关系等重要概念在小学和初中阶段均有或明或暗的踪迹可循，而诸如抛硬币、掷骰子、摸球等常见实例也是多次出现.由此可见，其实学生已经积累了一定的认识.因此，建议教师不必将相关内容作为新知识进行重复教学，而是要明确学生的认知起点，重点关注衔接，找准学习进阶点，做出契合学生已有知识与能力的预判，并以此为基础进行教学设计，不必过度重复，避免教学中的浪费.

2.关注应用性，切勿脱离实际

概率是极具实用价值的数学分支，与生产、生活息息相关，这是概率的特征，亦是中小学概率教学的导向.因此，建议教师在组织教学时，要树立正确的应用意识，本着从生活中来到生活中去的原则，以用引学，以学促用.例如，了解抛硬币、彩票中奖、疾病治愈、种子发芽，引出概率的统计定义；研究摸球、掷骰子，归纳随机事件概率计算公式并使用；分析赌博、比赛胜算，学习数学期望；调查新生儿性别问题，发现事件独立性、互斥及相关的概率计算公式；等等.总之，善于发掘生活中的实际案例，去解释、践行概率原理，可以使原本难以理解的现象变得通俗易懂，使原本看似玄妙的问题变得有理有据.当然，实例的选取与加工，亦要一方面尊重实际，一方面遵循学生的认知水平.第一，不可一味求新、求变，经典的案例不必学生过多分散心思，更加有助于学生集中精力解决问题；第二，不可滥造或是过度加工，脱离了实际的虚假情境，往往适得其反，成为概率教学中的绊脚石.

3.慎用新技术，切勿偏离本质

大数据时代的到来为人类带来了很多颠覆性的变革，当然也包括教育理念及教育手段的变化.概率与统计虽然同属于不确定性数学领域，但又有着显著差别.统计的对象是数据，数据分析是其核心.为了适应现代社会的发展，提升数据分析的效率，鼓励教师和学生借助计算器、计算机和某些统计软件进行数据收集、整理及分析，从中探索统计的一般规律合情、合理且高效.受此影响，近年来概率教学中也引入了许多信息技术手段，其中包括计算机模拟试验、大宗数据处理和分布图绘制等.这些新技术让概率学习有了更为直观、便捷的可能，深受师生喜爱.例如，对抛硬币、掷骰子、蒲丰投针这些耗时、耗力的重复性试验，现在可以用计算机模拟进行，其优势在于可以在较短的时间内完成数量庞大的随机试验，并收集、处理数据，不可否认教学活动会变得更加生动、直观.但概率作为统计发展的理论基础，其研究对象是随机现象.究其本质，计算机模拟试验依靠的是计算机算法产生的伪随机数，并非真正的随机.因此，在使用新技术时，教师应该首先明确概率的本质属性和技术的局限性，在此基础上合理使用，并且面对心智已经相对成熟、知识视野已经相对丰富的高中学生，建议进行适当解释：计算机模拟试验实际上并不是真正的随机，但是因为生成周期较长，伪随机数同样具备了极高的不确定性，可以相当于统计意义上的随机.如此从根源上消除可能出现的学习隐患，在数学和哲学层面最大限度地保护学生的认知，使得教学更加严谨.故笔者认为，技术革新的价值始终在于更好地服务于教学本质的呈现，教育工作者在令人炫目的技术面前更应该保持清醒头脑，深挖数学本质，以新技术为教学保驾护航，而不可困于技术之中.