毛生红，郑小平

(兰州工业学院 基础学科部，甘肃 兰州 730050)

近百年来,关于带电粒子在电磁场中运动的相关研究一直处于时代前沿，并取得了较好的成果。1922年，英国物理学家阿斯顿因发明并利用质谱仪进行相关科学研究取得巨大研究成果而获得了诺贝尔奖。1932年，美国物理学家劳伦斯·奥兰多利用电磁学理论研究出回旋加速器。1976年，斯坦福大学的约翰·莫迪发明了自由电子激光器等。但是对于初入电磁场领域的学生以及物理知识体系薄弱的群体而言，理解该理论仍存在难以逾越的困难。近年来随着信息化技术的发展以及计算机数值模拟功能的提高，这一问题得到了解决。2007年，张亚琴等仿真出带电粒子在均匀稳定的电磁场中的运动[1-2]。2012年，冯成原等利用DTP平台做出了带电粒子在电磁场中的运动动态仿真轨迹[3]。2013年，唐军杰等利用MATLAB绘制了均匀带电圆环电场的三维空间分布图等，都使得原本抽象难懂的电磁学知识变得形象具体化[4-7]。近几年，李燕、杨钧捷等也研究了带电粒子在电磁场中的运动问题，得到了一些相关的成果[8-10]。

尽管相关研究成果丰硕，但对于包罗万象的电磁学理论无疑是沧海一粟。基于此，本文进一步结合MATLAB对电磁场作了可视化研究，利用理论推导和仿真模拟相结合的方法，依托运动电荷和电偶极子，重点研究了不同约束条件下的带电粒子在电磁场中的物理规律，包括作匀速直线运动的电荷电位移通量变化、位移电流变化和磁感应强度变化，以及电偶极子电势分布、振荡偶极子发射的电磁波等。本文将晦涩难懂的电磁学知识进行了直观清晰的反映，以期为与此领域相关的知识理解、技术创新和理论研究奠定基础。

1 理论模型与推导

1.1 运动电荷的磁场

由电磁场理论可知，运动的电荷产生了变化的电场，变化的电场又会产生磁场，电荷运动即有电流存在，电流又会激发磁场。为了探究运动电荷产生的磁场，选取1段长直带电导体为物理模型(如图1所示)，设导体的横截面积为S，单位体积内的电荷数为n，1个带电量为q的运动电荷在导体内以速度v作定向移动。

图1 导体中运动的电荷

则该体积内所带电荷总量为

dQ=qdN=qnSvdt.

其中，体积dV=Svdt内具有的电荷总数为

dN=ndV=nSvdt.

由毕奥-萨伐尔定律，即

得到运动电荷的磁感应强度为

1.2 狭义相对论下磁场中带电粒子的圆周运动

若有一带电荷量为q，静止质量为m0的带电粒子在磁感应强度为B的磁场中作匀速圆周运动。由洛伦兹力提供向心力，有

1.3 作匀速直线运动的电荷产生的电磁场

作匀速直线运动的带电粒子由于电流大小不变，可以看作1根载流直导线，在空间产生环状磁场。其物理模型如图2所示，即空间有一点电荷q从某一点P出发沿PO方向以速度v作匀速直线运动到点O，将PO的距离记为z，以a为半径点O为圆心做圆，使得圆面与速度v垂直。

图2 匀速直线运动的电荷

在圆面上任取一半径为R的圆环，则通过圆环的电通量为

对上式取积分，即

可得到通过圆的电通量为

则位移电流为

1.4 基于振荡电偶极子发射的电磁波

由电动力学基础理论可知，不同时刻振荡电偶极子为pe=p0cosωt，则其在某一时刻t产生的电场强度为

2 可视化结果分析与讨论

2.1 运动电荷磁场可视化结果

图3 运动电荷产生的磁感应强度分布

由图3可以得出:沿着粒子运动的速度方向以及反方向，磁感应强度大小均为零；沿着粒子运动的速度方向的左右两侧，磁感应强度的大小相等，磁感应强度的方向相反；垂直于粒子运动的速度方向，磁感应强度的大小与场点到源点距离的平方成反比；在其他方向上，磁感应强度会受到方向因子sinθ的限制，但磁感应强度的大小仍然与场点到源点距离的平方成反比，且在场点到源点距离相等的情况下，磁感应强度的大小比速度中垂线上的场强要小。

2.2 狭义相对论下磁场中带电粒子作圆周运动可视化结果

图4 作圆周运动带电粒子半径和周期随速度变化曲线

由图4可以得出：在相对论背景下，带电粒子作圆周运动的半径和周期都随粒子运动速度的增加而增加；当带电粒子的速度相对光速较低时，粒子作圆周运动的半径随速度增加而缓慢增加，周期随速度增加而几乎不变；当带电粒子的速度接近光速时，粒子作圆周运动的半径和周期都随速度的增加而急剧增加，且半径和周期的值接近相同。在非相对论背景下，带电粒子作圆周运动的半径与粒子运动速度成正比，而周期与粒子运动的速度无关。

2.3 作匀速直线运动电荷产生电磁场可视化结果

为方便数值仿真，取一参考单位长度为z0，则电位移通量可表示为

利用MATLAB数值仿真功能得出匀速运动的电荷在圆面上产生的电位移通量，如图5所示。

由图5可以得出：当z=0时，由于带电粒子穿过圆面的电场强度的方向发生了变化，因此在该点电位移通量发生了突变；在圆面两侧距离同一圆面相等的位置，通过圆面的电位移通量随着圆面半径的增大而增大；对于一半径固定的圆面，随着离开圆面距离的增加，电位移通量先迅速减小再缓慢减小最后趋于平稳；从图像整体上看，匀速运动的电荷在圆面上产生的电位移通量在圆面两侧呈对称分布，且圆面半径越大，电位移通量变化就越小。

图5 匀速运动电荷在圆面上产生的电位移通量

利用MATLAB得出匀速运动电荷在圆面上产生的位移电流，如图6所示。

图6 匀速运动电荷在圆面上产生的位移电流

由图6可以看出：距离带电粒子越近，位移电流越大，当z=0时，位移电流达到峰值；当z=0且圆面半径与单位距离的比值为1时，位移电流的取值达到最大值；圆面半径越小，位移电流越大；圆面半径与单位距离的比值越小，位移电流变化越显著；随着带电粒子距离的增加位移电流逐渐减小，更有意义的是，当粒子的距离达到一定值时，随着z/z0的增大，圆面半径越小，位移电流反而越大。

运用MATLAB得到如图7所示的匀速运动的电荷在圆的边界上产生的磁感应强度随空间距离的变化曲线。

图7 匀速运动电荷在圆边界面上产生的磁感应强度

由图7可以看出：距离带电粒子越近，磁感应强度的值越大，当z=0时，磁感应强度达到峰值；当z=0且圆面半径与单位距离的比值为1时，磁感应强度的峰值达到最大值；圆面半径越小，磁感应强度越大；圆面半径与单位距离的比值越小，磁感应强度变化越显著；随着带电粒子距离的增加磁感应强度逐渐减小。

2.4 基于振荡电偶极子发射电磁波的可视化结果

利用MATLAB作出电偶极子的电势分布，如图8所示,可以看出：在正电荷周围，电偶极子的电势相对较高，在负电荷周围，电偶极子的电势相对较低；在电偶极子的中垂线上，电势处处为零；空间与中垂面对称的点，电势大小相等，一正一负，相互对称。

图8 电偶极子的电势分布

取时间单位为周期T，距离单位为波长λ，结合MATLAB的仿真模拟功能，振荡偶极子发射的电磁波的电场分量的传播如图9所示。

图9 振荡偶极子发射的电磁波电场分量的传播

图9为动态图形，通过观察可以发现：闭合曲线为电场强度的等值线，等值线从源点中心产生，向四周做类似于水波的扩散运动；电场强度的等值线附近，磁场强度都具有一致的方向；当距离源点较近时，场强相对比较强，当距离源点比较远时，场强相对比较弱；在电偶极子的中垂线上，场强相对比较弱，在沿着电偶极子的极轴方向上，场强相对比较强。

另外，利用MATLAB仿真得到振荡偶极子发射的电磁波的电场强度曲面，如图10所示。

图10 振荡偶极子发射的电磁波电场强度曲面

图10也为动态图形，可以看出：电磁波通过波峰和波谷的相互转化就会源源不断的产生并且发射出去；在中心点周围，电磁波场强的振幅相对较大，因而形成很高的波峰和很低的波谷；在距离中心点较远的地方，电磁波场强的振幅相对较小。由于电场强度和磁场强度是同步变化的，所以磁场强度变化也有相同的规律。

3 结论

1)推导出了运动电荷产生的磁感应强度的理论表达式，并用MATLAB仿真模拟了磁感应强度的分布。结果表明，在运动电荷产生的磁场中，带电粒子的磁感应强度在沿速度方向上为零；垂直于粒子运动的速度方向，磁感应强度的大小与源点到场点距离的平方成反比。

2)通过理论计算得到狭义相对论下带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期的数学表达式，利用MATLAB的仿真模拟功能得出带电粒子在磁场中作圆周运动时半径和周期随速度的变化关系曲线，发现带电粒子做圆周运动的半径和周期都随粒子运动速度的增加而增加。

3)对作匀速直线运动的电荷产生的电磁场进行了理论推导和仿真模拟，得到了其在圆面上产生的电位移通量、位移电流以及在圆的边界上产生的磁感应强度的理论表达式。仿真模拟的结果表明：匀速运动的电荷在圆面上产生的电位移通量在圆面两侧呈对称分布，且圆面半径越大，电位移通量变化就越小；位移电流和磁感应强度的变化规律相同，随着带电粒子与圆面距离的减小而增大，在圆心处达到峰值，距离相同时，随着圆面半径的增大而减小。

4)对振荡电偶极子发射的电磁波仿真模拟结果表明，电偶极子的电势，在其中垂线上处处为零，在中垂面两侧的对称位置大小相等；振荡偶极子发射的电场分量在传播中形成以中垂面对称的等值线分布，等值线附近磁场强度都具有一致的方向；由电场强度曲面图中可以看出电磁波通过波峰和波谷的相互转化就会源源不断的产生并且发射出去，在中心点周围，电磁波场强的振幅相对较大，因而形成很高的波峰和很低的波谷，在距离中心点较远的地方，电磁波场强的振幅相对较小。

本文通过MATLAB的仿真模拟技术得到的可视化结果使带电粒子在电磁场中的运动规律形象化、具体化，有助于人们理解和处理电磁场中带电粒子的运动等相关问题，这对学习和研究微观粒子在电磁场中的输运规律具有一定的指导意义，同时也为研究任意电磁场中粒子的运动奠定了坚实的基础。