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从一道高考题变式谈指对混合式的五种处理思路

2022-11-18李志娜

中学数学杂志 2022年7期
关键词:增函数同构对数

李志娜

(河北省邯郸市第一中学 056002)

邯郸市2022届高三质检考试的压轴导数题,是一道指对混合的不等式恒成立问题.题目如下:

已知函数f(x)=aex-1-x.

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)若f(x)+x-1≥lnx-lna恒成立,求实数a的取值范围.

可以看出,此题第(2)题与2020年山东高考试卷的第21题基本相同.此题可从不同角度解决,有多种思路和方法,略去第(1)问,现将第(2)问的5种思路整理分析如下.

1 含参分类讨论

3.2 齐次化构造函数

点评这类构造将多元变量利用齐次式变成单一变量,再构造函数进行解决,可以减少多变量带来的麻烦.

4 结语

新高考背景下函数的运用依然广泛,对于构造函数,需要打破原题中的思维束缚,灵活地运用构造法,找准最能反映考题结构特点的函数,以便使问题得到快速的解决.这就要求学生在平时的学习中要善于积累,大胆尝试,将“构造”摆心间,这样面对复杂的压轴题时才能做到“不畏浮云遮望眼”.

当a=1时,g(x)≥g(1)=0,故a=1符合题意.

当0

综上所述,a的取值范围是[1,+∞).

方法2(必要性探路+换主元) 令g(1)=a- 1+lna≥0,得a≥1.令t(a)=aex-1+ lna-lnx-1,因为ex-1>0,所以t(a)为[1,+∞)上的增函数,故只须证明a=1时,g(x)=ex-1-lnx-1≥0.因为ex-1≥x,lnx≤x-1,所以g(x)≥0.

上述思路是处理不等式恒成立问题的常见思路,但由于指对数同时出现,使得构造的含参函数最值经常会出现隐零点的问题,计算量和思维量都较大.

2 同构法

方法3(和型同构1) 由于aex-1-1≥ lnx-lna恒成立,即eln aex-1≥lnx-lna+1,所以ex+ln a-1+x+lna-1≥eln x+lnx.因为y=et+t为增函数,所以x+lna-1≥lnx恒成立.

或ex+ln a-1+ln ex+ln a-1≥x+lnx,利用y= lnt+t的单调性,转化为ex+ln a-1≥x恒成立,即x+lna-1-lnx≥0,由常见不等式x-1≥ lnx易得a的范围.

上述思路需要学生能够从指对数同时出现的式子中,观察并构造出同构,即同为和型或积型.这种思路对学生处理代数式的变形能力要求比较高.

3 反函数法

4 放缩法

方法8(放缩法1) 因为x>0,a>0,所以 ex≥x+1,ex-1≥x,故aex-1≥ax(当x=1时取等号).又因为lnx≤x-1(当x=1时取等号),所以aex-1-lnx+lna-1≥ax-x+1+lna-1=(a-1)x+lna.

①a=1时,ex-1-lnx-1≥x-x+1+ ln 1-1=0,此时不等式恒成立;

②a>1时,aex-1-lnx+lna-1≥(a-1)x+lna,因为x>0,a>1,所以(a-1)x+ lna>0,即不等式恒成立;

③0

所以,a≥1.

方法9(放缩法2) 将aex-1-lnx+lna-1≥0变为ex+ln a-1-lnx+lna-1≥0.因为ex+ln a-1≥x+lna(当x+lna=1时取等号),lnx-lna+1≤x-lna(当x=1时取等号),所以ex+ln a-1-lnx+ lna-1≥x+lna-(x-lna)=2lna.令2lna≥0,得a≥1.以下同方法8的③.

采用指数和对数式同时放缩是非常大胆的尝试,也有可能放缩过度.可以鼓励学生只对指数或对数放缩.另外,放缩后参数范围是否保持不变,如aex-1-lnx+lna-1≥0恒成立与ax-lnx+ lna-1≥0恒成立,理论上是否等价?不等价又如何处理?可进一步思考.

5 凹凸转换法

②当0

所以,a≥1.

①令lna≥-lna,则由f(x)min≥g(x)max,故a≥1(此范围可能偏小);

②当00,即不等式不成立.

所以,a≥1.

6 结语

本题为指、对混合的不等式恒成立问题,解题思路非常广泛,用所有处理指对混合式的方法基本都可以解决,可见此题非常经典,擅长各种方法的学生都可以上手一试.

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