201306 上海市临港实验中学 王 辉

“和点、线段、弧甚至三角形(这些可称为‘基本元’)不同，在几何问题的分析中，组成一个几何问题图形中最简单、最重要、最基本的但又是具有特定性质的图形称为基本图形”[1].我们平时所说的平行A字型(如图1所示)、平行8字型(如图2所示)、交错A字型(如图3所示)、交错8字型(如图4所示)等都是基本图形.为使表述更简洁，不妨将它们称为“基本型”.笔者以偶然得到的一个命题的解法为例，以“基本型”为视角,对其解题思路展开探究.

图1图2

图3图4

在笔者的一次听课中，有位教师在课堂上给出了这样一道例题.

如图5，已知DE∥BC，AO，DF相交于点C，∠EAB=∠BCF.

图5

(1)求证:四边形ABCD是平行四边形.

(2)若∠OBC=∠FDO，OB=OD.求证:四边形ABCD是菱形.

笔者发现小问(2)有多余的条件.经课后询问执教教师得知，这是为了降低难度而改编的题目.在执教教师的帮助下笔者得到了原题(下文将呈现)，尝试将小问(2)中的∠OBC=∠FDO条件去掉，很容易得到结论.当尝试去掉条件OB=OD时，笔者对是否可以证明得到结论产生了疑惑，故尝试将题目改写成如下命题.

已知：如图6-1，在△ABC中，∠ABE=∠ACE，BD=DC，那么AB=AC.

图6-1

由于题中的两个条件互相独立，彼此不易建立直接的关系，这道题便成了一道难题.为此，用同一法进行证明，将问题转化为熟悉的“基本型”.如图6-2，过B作BG⊥AD交于F并倍长至G，联结AG，CG，EG，通过中位线定理(平行A字型)得出AF∥CG，通过对称全等得到∠ABE=∠AGE=∠ACE.由C，G在AE同侧，依据四点共圆判定定理可证C，G在同一个圆上.如图6-3，由于直线CG和圆只有两个交点G和G′，显然G′不成立，从而可证点C和G重合，从而……