266700 山东省平度市第九中学 张 杰 姜尚鹏

276000 临沂大学数学与统计学院 薛 兵

2020年山东省实行了新高考，试卷中的导数题作为倒数第二道大题难住了不少学生，究其原因在于面对这种求参数取值范围的问题，一旦不能分离参数，或直接求导时找不到分类标准，学生就无从下手.笔者对这道题进行深入研究，发现入手方法多样.

1 试题分析

(2020全国新高考Ⅰ卷-21) 已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范围.

命题立意分析：本题考查导数几何意义,利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力、分类讨论思想和等价转化思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，所占分值为12分.

审题及解题分析：(1)先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得出结果.(2)条件给出f(x)≥1，即研究f(x)的最值问题.先讨论特殊情况即当01时的取值范围.

(2)①当0

③当a>1时，f(x)=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥1.

综上所述，a的取值范围为a≥1.

2 其他解法

因为小问(1)比较简单，所以只对小问(2)的解法进行探讨.

2.1 隐零点法

解法1:①当0

综上所述，a的取值范围为a≥1.

评注：官方正解中通过对a的取值范围进行放缩，转化成上文讨论的情况，这样的解决方法是较难想到的，借助隐零点的方法解题是大部分普通层次的学生较易想到的方法，这种思路入手容易，通过隐零点满足的等式代换解决问题即可.

2.2 放缩法

解法2(利用切线放缩法，先不……