唐 烁， 刘 俊， 杨 威

(1.合肥工业大学数学学院，合肥 230601； 2.陆军军事交通学院，天津 300161)

1 引 言

全国大学生数学竞赛是涉及范围广泛、深受大学生喜爱的一项全国性赛事，对培养人才质量有着积极的促进作用，而对竞赛试题的研究与探讨，一方面为培养学生创新意识和能力提供必要的素材，另外一方面对提高学生学习数学的兴趣有着积极的促进作用.这在教学上无疑具有一定的意义和参考价值.

第十一届全国大学生数学竞赛决赛(非数学类，2021年4月)试题的第四题为

为了和后面的内容进行比较，将此试题的参考答案摘录如下：

根据积分中值定理，存在ξ∈(0,1)， 使得ξ(1-ξ)(3-f′(ξ))=0.即f′(ξ)=3.

本文首先给出此题的一般形式，然后再对所讨论的问题作进一步探究.

通过对试题本身的研究，现将该题的一般形式以结论的形式给出.

2 一般形式

结论1设函数f(x)在[a,b]上具有连续导数，若λ，μ为实数且

(1)

(2)

则存在ξ∈(a,b)， 使得f′(ξ)=λ.

由积分中值定理知，存在ξ∈(a,b)， 使得f′(ξ)=λ.

特别地，取a=0,b=1,λ=3,μ=1即可得到前面的试题，因此结论1是原试题的推广.

扬州大学2021年硕士研究生招生考试数学分析试题.

在对所讨论的问题做进一步探究之前，先介绍如下的引理.

引理若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在非负整数m ，使得

则f(x)在(a,b)内至少存在m+1个零点.

此引理的证明可参见[1].

若令φ(x)=f(x)-λx-μ，则有(1)，(2)可得

于是，由引理可知，函数φ(x)在(a,b)内至少存在两个零点ξ1，ξ2，不妨设ξ1<ξ2，即至少有ξ1，ξ2∈(a,b)，使得φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，对φ(x)在[ξ1,ξ2]⊂(a,b)上运用罗尔中值定理知，存在ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(a,b)，使得φ′(ξ)=0，即f′(ξ)=λ.

这样，借助于引理给出了结论1的又一个证明.而且由此证明可启发我们利用引理得出更多类似于结论1的结果.下面仅介绍如下的：

结论2设函数f(x)在[a,b]上具有连续二阶导数，若λ，μ，ν为实数，且

(3)

(4)

(5)

则存在ξ∈(a,b)， 使得f″(ξ)=λ.

于是，由引理可知，函数φ(x)在(a,b)内至少存在三个零点ξ1，ξ2，ξ3，不妨设ξ1<ξ2<ξ3，使得φ(ξ1)=φ(ξ2)=φ(ξ3)=0，对φ(x)反复运用罗尔中值定理知，存在ξ∈(ξ1,ξ3)⊂(a,b)，使得φ″(ξ)=0，即f″(ξ)=λ.

注 若对结论2中的参数λ，μ，ν赋予不同的数值，则可以得到很多关于f″(x)的结论.例如取a=0,b=1,λ=2,μ=ν=0，当函数f(x)在[0,1]上具有连续二阶导数且有

则存在ξ∈(0,1)， 使得f″(ξ)=2.

3 结 论

本文对第十一届全国大学生数学竞赛决赛(非数学类)试题的深入挖掘与探讨，给出了该试题更为一般的形式，当参数取不同值时，得到多种结论.在教学中适当的融入本素材，对培养学生创新意识、创新能力，提高学生学习高等数学的积极性都有着积极的作用.

致谢感谢相关文献的启发.