吴晓彤， 陈 智

(合肥工业大学数学学院，合肥 230601)

1 引 言

李代数是代数学领域一种基本研究对象.李代数不仅在各个数学领域，也在物理等领域得到了广泛而有成效的应用[1].人们在20世纪初期就得到了一些关于李代数的基础知识，比如复单李代数的分类，复单李代数的表示和特征等等.20世纪70年代以后，复单李代数又与单奇点、三维拓扑不变量等领域产生意想不到的联系.与人们对复单李代数的详细研究相对比，有限维幂零李代数及其表示方面文献相对较少[2].著名的Engel定理是有关有限维幂零李代数结构的一个基本定理.

有限幂零群是有限群中一类重要的研究对象.有限群与李环之间存在密切的关系.例如，每一个有限幂零群可以通过其低中心列构造出一个李环[3].本文的主要结果即是从探索有限幂零群与幂零李代数的相似性而得到.受Engel定理的启发，构造出一族有限幂零群，通过它们提出一个判别有限群幂零性的猜测.与无限群相比，有限群具有较完备的表示理论，而无限群的表示有一些较反常的事实[4].

2 主要定理

下面介绍Engel定理及其等价版本.设L是复数域下的一个有限维李代数.

定义1(伴随算子)[5]若x∈L，则y[x，y]是L的自同态，记为ad(x).

定义2中心列L的理想的一组序列

L0=L，L1=[L，L]，L2=[L，L1]， …，Lr=[L，Lr-1]，

称作L的降中心列.如果存在某一个非负整数t，使得Lt=0，则称L为幂零李代数.

定义3在二维线性空间x⊕y上，由[x，y]=x在上面定义了一个李代数结构，记这个李代数为L0.

引理1L0∶[x，y]=x是非幂零的.

定理1(Engel定理)[5]若对任意x∈L，相应的伴随算子ad(x)都是幂零算子，则L是幂零李代数的.

推论1李代数L非幂零的充分必要条件是L包含一个同构于L0∶[x，y]=x的子代数.

证若L含有L0，因为L0是非幂零的，故L也是非幂零的.若L是非幂零的，由定理1，知存在一个y1∈L，使得ad(y1)非幂零.故ad(y1)有非零特征值λ，及相应的特征向量x，即[y1，x]=λx.令y=-λ-1y1，得[x，y]=[-y，x]=x.

定义4[6]设G是一个群.对于任意的x，y∈G，元素[x，y]=xyx-1y-1叫做x与y的换位子.

受李代数L0启发，提出如下L0的“有限群类似对象”.

定义5下面通过对李代数[x，y]=x的模仿提出以下有限群族

希望它们是非幂零的，其中的参数n，q，b都为整数，且满足条件(i)(q，n)=1；(ii)在n中[q]b=[1]，其中[ ]表示n中剩余类.

注 以下解释定义5中两个关于参数n，q，b的条件的由来.第一个条件是由hxh-1x-1=xq-1推出，hxh-1=xq，得到x与xq是共轭的，即x与xq同阶，得到(q，n)=1.第二个条件是由hxh-1=xq推出，h2xh-2=h(xq)h-1=xq2，…，可归纳为hbxh-b=xqb，b∈.又由hbxh-b=x，知x=xqb.最后得出，qb≡1mod(n)，并且其充分必要条件是在n中[q]b=[1].

关于这些群首先可以证明如下引理.

引理2群Nn，q，b的任意元素均可表示为xkhl的形式.

证由定义5，知hxh-1x-1=xq-1，则hxh-1=xq.故对于任意的hjxi∈Nn，q，b，hjxih-j=(xi)qj，则hjxi=xiqjhj.

推论2群Nn，q，b是一个有限群.

证由引理2，知群Nn，q，b的任意元素均可表示为xkhl的形式.又因为xn=1，hb=1，所以xkhl的形式是有限个的，因此群Nn，q，b是一个有限群.

定理2群Nn，q，b包含的元素个数为nb.

Xi1，j1·Xi2，j2=Xi1+i2qj1，j1+j2， 其中，0≤i1，i2≤n-1； 0≤j1，j2≤b-1.

为了方便，记Xn，b=X0，0.

首先，证明集合K是一个群.因为

(Xi1，j1·Xi2，j2)·Xi3，j3=Xi1+i2qj1，j1+j2·Xi3，j3=Xi1+i2qj1+i3qj1+j2，j1+j2+j3，

Xi1，j1·(Xi2，j2·Xi3，j3)=Xi1，j1·Xi2+i3qj2，j2+j3=Xi1+(i2+i3qj2)qj1，j1+j2+j3=Xi1+i2qj1+i3qj1+j2，j1+j2+j3，

因此

Xi1，j1·(Xi2，j2·Xi3，j3)=(Xi1，j1·Xi2，j2)·Xi3,j3，

故集合K满足结合律.因为任意一个Xi，j∈K，都有

Xi，j·X0，0=Xi+0·qj，j+0=Xi，j

和

X0，0·Xi，j=X0+i·q0，j+0=Xi，j，

故其有单位元X0，0.由于(n，q)=1，则存在一个r，使得rq≡1mod(n)，所以

Xi，j·(X-irj，-j)=Xi+(-irj)qj，j+(-j)=Xi(1-(rq)j)，0=Xi(1-rq)(1+rq+…+(rq)j-1)，0=X0，0，

故其有逆元.因此，集合K是一个群.

其次，设映射Φ∶Nn，q，b→K，xX1，0，hX0，1和映射Ψ∶K→Nn，q，b，Xi，jxihj.对于映射Φ，可知(X1，0)2=X2，0，(X1，0)3=X3，0，…，可归纳为(X1，0)a=Xa，0，0≤a≤n-1.同理，(X0，1)c=X0，c，0≤c≤b-1.因此， (X1，0)n=Xn-1，0·X1，0=X0，0.同理，可得(X0，1)b=X0，0.并且

X0，1·X1，0·(X0，1)-1·(X1，0)-1=Xq，1·X0，-1·X-1，0=Xq，0·X-1，0=Xq-1，0=(X1，0)q-1.

故Φ是一个同态映射.

在引理2的证明中，已知hjxi=xiqjhj，则hj1xi2=xi2qj1hj1，因此xi1hj1xi2hj2=xi1+i2qj1hj1+j2.由于

(X1，0)a=Xa，0， 0≤a≤n-1， (X0，1)c=X0，c， 0≤c≤b-1

且Xa，0·X0，c=Xa，c，所以对于任意的Xi，j∈K，有Xi，j=Xi，0·X0，j=(X1，0)i·(X0，1)j.故，X1，0和X0，1是群K的生成元.则，映射Ψ可写作Ψ∶K→Nn，q，b，X1，0x，X0，1h.

又因为

(X1，0)n=X0，0， (X0，1)b=X0，0且X0，1·X1，0·(X0，1)-1·(X1，0)-1=Xq-1，0=(X1，0)q-1，

故Ψ是一个同态映射.显然，映射Ψ∘Φ∶Nn，q，b→Nn，q，b是恒等自同态，所以映射Φ是单射.因为

Φ(xihj)=(X1，0)i·(X0，1)j=Xi，0·X0，j=Xi，j，

所以映射Φ∘Ψ∶K→K也是恒等自同态，故映射Ψ是单射.因此，映射Φ是一个同构映射.又因为群K的元素个数为nb，因此群Nn，q，b包含的元素个数也为nb.

定义6[6]设G是一个群.如果存在一个M，使得GM=[G，GM-1]={e}，则G是一个幂零群；否则，则称G是一个非幂零群.

引理3公式[h，xy]=[h，x]·x[h，y]x-1.

证[h，xy]=hxyh-1y-1x-1=hxh-1x-1·xhyh-1y-1x-1=[h，x]·x[h，y]x-1.

根据上述定理和引理可以得到一个定理.

证已知[h，x]=hxh-1x-1=xq-1.根据引理3，知

[h，x2]=[h，x]·x[h，x]x-1=[h，x]2=x2(q-1)，

[h，x3]=[h，x]·x[h，x2]x-1=[h，x]·x2(q-1)=x3(q-1)，…，

则可归纳总结为，[h，xi]=[h，x]i=xi(q-1)，i∈.由上式可得

[h，x]=xq-1，[h，xq-1]=x(q-1)2，[h，x(q-1)2]=x(q-1)3，…，

所以[h，x]，[h，xq-1]，[h，x(q-1)2]，…为非单位元.因此，在(Nn，q，b)i，i∈中都有一个非单位元，即Nn，q，b是非幂零的.

3 结 论

群Nn，q，b中其它成员是否幂零还有待进一步研究.将其中所有非幂零的成员集合记作S.模仿李代数中的结论，对有限群提出如下猜测：有限群G是非幂零的充分必要条件是G含有S中的某个幂零群作为子群.

致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.