基于我国实际工程场地的不同基本周期计算方法差异性研究

2022-11-17李明睿李瑞山袁晓铭陈卓识

世界地震工程 2022年4期

李明睿，李瑞山，袁晓铭，陈卓识

（中国地震局工程力学研究所地震工程与工程振动重点实验室；地震灾害防治应急管理部重点实验室，黑龙江哈尔滨 150080）

引言

基本周期是表征场地动力特性的最基本指标，也是研究岩土地震工程中很多问题的基础。历次震害调查研究表明：局部场地条件对地震动特性以及震害严重程度有重要影响［1-2］。当建筑物的自振周期与场地的基本周期相等或相近时，会引发强烈的共振作用，从而显著增加建筑物的震动响应和破坏程度。为了避免这类震害发生，应使建筑物的自振周期尽可能避开场地的基本周期［3］，因此，选择可靠的方法对场地的基本周期进行合理地估计便显得十分重要。随着岩土地震工程领域的学者们对场地放大效应的研究越来越深入，发现地表30 m内的等效剪切波速Vs30只能反映场地刚度的影响，而场地周期既能反映场地刚度的影响，还能考虑场地的覆盖土层厚度的影响［4-5］，并且采用场地周期的单参数指标相比Vs30而言能更好得表征场地的放大作用［6-7］。

从工程波动理论来讲，地震波从基岩向地表传播的过程中，会在地层分界面存在不同程度的反射和透射现象，因此土层顺序结构的不同必然会导致场地动力特性的差异。从这个角度来讲，可靠的场地周期估算方法应该具备考虑土层顺序结构差异性的能力。本文将选取四种场地周期估算方法来检验其在我国实际工程场地中的适用性。由于成层场地的基本周期往往很难给出解析表达，所以在研究中通常采用数值扫频的方法来获得，并以此作为检验标准。不同频率荷载输入下，场地效应传递函数表达式为［8］：

式中：ω为频率；ω0和ξ分别为场地基频（与基本周期对应的圆频率）和阻尼比。图1给出了式（1）典型的频响曲线，从图中可以明显看出：基频附近的放大作用最强烈，频响曲线的最高点所对应的荷载频率即为场地基频，相应周期即为场地基本周期。

图1 典型成层场地频响曲线Fig.1 Typical frequency response curve of layered soil site

本文以传递函数法结果为标准，选取了子层周期求和法、子层周期贡献系数法、简化Rayleigh法以及逐层单自由度法，以我国605个实际工程钻孔为标本，对这四种方法的计算结果进行对比检验，就不同方法的偏差进行了深入分析，给出了其统计结果，并剖析了各方法应用于实际工程场地的适宜性，为工程建设和后续的相关研究提供参考。

1 场地基本周期的计算方法

场地基本周期的计算方法较多，大致可以分为以下四类［9］：解析法、数值法、直接测定法以及简化算法。解析法是根据波动方程推导出场地周期的理论解，目前只针对一些比较简单的理想场地模型，难以在实际工程场地中使用。数值法通常是采用差分法或有限元法来计算场地的基本周期，虽然从理论上讲这种方法可适用于各种场地，但对于绝大多数实际工程而言由于其繁冗复杂并不具备实际可操作性。直接测定法无需钻孔的测试资料，通过分析观测的地脉动等记录来得到场地周期，但依赖观测仪器的精准性以及技术的可靠性，很难在实际当中全面推广。目前工程上一般采用基于土层剪切波速剖面的简化计算方法。

本文选取的第一种方法是国内外广泛应用的子层周期求和法，其具体表达见式（2）。从式中可以看出：该简化算法通过将各子层周期简单代数相加来获得场地的基本周期，其无法考虑波速结构对场地动力特性的影响，计算所得的场地周期不随土层顺序的改变而变化。

式中：T为场地基本周期；hi和vi分别为第i层土的厚度和剪切波速；N为场地土层层数。

事实上，土层顺序结构的改变会直接导致土层界面性质发生变化，进而会对场地整体的动力特性产生影响［10］。为此，李瑞山等［11］从波动问题物理本质出发，提取了阻抗比和周期比作为反映不同土层条件下场地周期变化规律的基本特征量，并阐述了其完备性。在此基础上提出了子层周期贡献系数的概念，建立了其与阻抗比和周期比之间的一般关系式，采用子层周期加权累加的方式形成了一套具有明确物理意义的成层场地基本周期估算新方法，本文称为子层周期贡献系数法，其初始条件和递推公式表达分别为式（3）和式（4），最终形成的计算公式如式（5）：

式中：Ti和Ti-1分别为考虑全部i层土和全部i-1层土后场地的基本周期；Ti为第i子层按单层精确解公式计算得到的周期；χi为第i子层对场地基本周期贡献系数，代表第i子层周期的真实参与比例。

此外，齐文浩等［12］基于单自由度体系振动理论，也提出了一种成层场地基本周期估算方法。该方法通过把水平成层场地逐层单自由度化，采用以深厚比加权的子层周期平方和开平方的形式，给出了如式（6）所表达的场地周期计算公式，本文称为逐层单自由度法，其相较于规范法一个明显的改进是能够考虑土层埋深的影响。

Rayleigh法适用于求解分布质量的广义单自由度体系或多自由度体系的任何一阶自振频率［13］，其计算公式如下：

式中：ρ和V分别代表场地各土层的密度和剪切波速；H为土层的总厚度；X是振型函数，当求解场地基频时，X为基本振型函数。

在实际操作时，首先需要假定其振型函数X（1），然后根据式（8）所给的公式不断迭代，直到获得满足精度要求的结果。

Rayleigh法不仅具有较高的计算精度，其另外一个优点是收敛速度非常快。通常在假定基本振型后，经过一次迭代便可获得较高精度的计算结果。如果假定土层的基本振型X（1）=1，将其按式（8）计算后的X（2）带入式（7），便可得到有较高精度的场地基频估算值，此方法称为简化Rayleigh法［14］。如果不考虑土层密度随深度的变化，当X（1）=1时，式（8）所给的迭代公式可以简化为：

对成层场地，第i层土的上边界处（z=ziu）的振型函数值Xiu和下边界处（z=zil）的振型函数值Xil之间的关系为：

式中：zmi是第i层土层中点的坐标值，即zmi=（ziu+zil）/2；Hi是第i层的厚度，即Hi=ziu-zil。

当用各层土中点的振型函数值代表该层土的振型时，自振频率计算公式（7）可以简化为公式（11）。由此可见：简化Rayleigh法巧妙地假定X（1）=1，并忽略了土层重度随深度的变化，在大幅降低计算复杂性的基础上，保持了较高的计算精度。

2 工程场地剖面资料

为了使研究结果具有代表性，本文广泛收集整理了我国实际工程场地地震安全性评价工作中的工程地质钻孔资料，共涉及到27个省（自治区和直辖市），图2中给出了钻孔的分布情况。由于单一均匀覆盖土层场地的基本周期存在解析解T=4h/vs，故本文不将这类场地纳入对比研究的范畴，最终共筛选出了605组钻孔深度达到工程基岩（剪切波速不小于500 m/s）的剪切波速剖面资料，依据我国现行的《建筑抗震设计规范》（GB 50011-2010）［15］的场地类别划分标准，其中：Ⅰ类场地10个；Ⅱ类场地300个；Ⅲ类场地249个；Ⅳ类场地46个。从筛选结果来看Ⅱ类和Ⅲ类场地的钻孔数量占绝大多数，这与我国场地类别划分标准中Ⅱ类和Ⅲ类场地分布最为广泛的情况相一致。结合图3中所给出的钻孔覆盖土层厚度和等效剪切波速的分布情况，可以看出本文所选场地样本空间具有典型性和代表性。

图2 钻孔位置分布Fig.2 Map of borehole locations

图3 钻孔场地基本信息Fig.3 Basic information of the borehole sites

3 四种方法计算结果对比检验

基于筛选出来的场地钻孔，利用传递函数法计算了场地的基本周期，其统计结果如图4所示：Ⅰ类场地的分布范围为0.016～0.054 s，Ⅱ类场地的分布范围为0.031～0.842 s，Ⅲ类场地的分布范围为0.414～1.603 s，Ⅳ类场地的分布范围为0.845～2.646 s。从图4可以看出：相邻两类别场地的周期分布范围有重叠的区间，Ⅲ类场地和Ⅳ类场地之间的重叠现象尤为严重，本文所筛选出的46个Ⅳ类场地其中有45个的基本周期都落在Ⅲ类场地的周期分布范围内。场地周期作为反映场地动力特性的重要指标，不同类别场地周期分布范围重叠严重的现象说明现有的场地类别划分方法区分度略显不足，尚有研究改进的余地。

图4 四种类别场地基本周期分布范围Fig.4 Distribution range of fundamental periods of four typesofsites

该次研究分别采用子层周期求和法、子层周期贡献系数法、简化Rayleigh法以及逐层单自由度法对筛选出的605个场地钻孔进行了场地周期的计算。需要说明的是：四种方法均统一直接采用钻孔资料中所给出的场地土层划分，在计算时不再对土层进行进一步剖分，且都不考虑土层重度沿深度的变化。Ⅱ类和Ⅲ类场地的钻孔数量分别占到钻孔总数的50%和41%，本文以Ⅱ类和Ⅲ类场地为例，绘制出四种方法计算所得的场地基本周期的散点分布，如图5所示，其中虚线代表计算值与标准值相等（简称“45°线”）。从图中可以看出：（1）子层周期求和法的计算结果普遍存在显著偏差。（2）在Ⅲ类场地上，子层周期求和法的偏差要明显大于其在Ⅱ类场地上的偏差。（3）子层周期贡献系数法和逐层单自由度法的计算结果集中地分布在“45°线”的两侧，说明这两种方法与传递函数法结果相对比较接近。（4）简化Rayleigh法在场地周期较小时与传递函数法结果比较接近，在场地周期较大时，存在一定程度的偏差。

图5 不同方法计算所得场地基本周期分布Fig.5 Distribution of site fundamental periods calculated through the different methods

结合前面对四种方法的计算原理介绍，可以得出以下推论：子层周期求和法存在上述偏差分布特征的最主要因素是其无法考虑土层顺序结构的影响。Ⅲ类场地相较于Ⅱ类场地，覆盖土层普遍更厚，波速结构更复杂，因此其偏差也就更大，这在后文图7中体现的更加清楚。

图6中分别给出了四种方法计算得到的场地基本周期相对偏差的分布情况。本文采用的相对偏差计算公式如式（12）。从图中可以看出：（1）子层周期求和法的偏差明显最大，在某些情况下其偏差甚至可以达到50%。（2）在绝大多数情况下，子层周期贡献系数法和逐层单自由度法的计算结果大于标准值（偏差为正），简化Rayleigh法得到的结果小于标准值（偏差为负）。

图6 不同方法计算所得场地基本周期偏差分布Fig.6 Distribution of relative deviations calculated through the different methods

式中：Test和Tstd分别代表基本周期的计算值和标准值。

表1中给出了四种方法计算所得场地基本周期偏差统计结果，需要说明的是：该结果只考虑偏差的绝对大小，不再区分其偏大或是偏小。从表中可以看出：（1）子层周期求和法计算结果的相对偏差的平均值约为20%，最大偏差接近50%，在本文所选的四种方法当中偏差最为显著，计算精度最低。（2）子层周期贡献系数法计算精度在本文所选的四种方法当中明显最高，其偏差平均值不超过3%且最大偏差不超过10%，偏差在5%以内的工况占比达到85%。（3）简化Rayleigh法和逐层单自由度法的计算精度都要明显高于子层周期求和法，二者偏差在5%以内的工况占比分别达到80%和70%以上，但是简化Rayleigh法在个别情况下最大偏差会接近20%，当某一层土的厚度远远大于其它层的时候偏差尤为明显，而逐层单自由度法的最大偏差一般只略大于10%。（4）子层周期求和法偏差的标准差要明显大于其他三种方法，说明其计算结果受场地波速结构复杂程度的影响最为明显，这与其无法考虑土层顺序结构的特征是相一致的。

表1 四种方法计算所得场地周期相对偏差统计：（单位：%）Table 1 Statistics on relative deviation of site fundamental period calculated by four different methods（unit：%）

表2中给出了各方法在不同类别场地上的偏差均值。从中可以看出：子层周期求和法、子层周期贡献系数法和逐层单自由度法的偏差均值在Ⅱ类和Ⅲ类场地上基本相当，而在Ⅳ类场地上明显更大；简化Rayleigh法的偏差均值在Ⅱ类场地上最大，在Ⅲ类和Ⅳ类场地上基本相当。

表2 各方法在不同类别场地计算所得偏差均值：（单位：%）Table 2 Statistics on deviation mean of site fundamental period calculated by four different methods（unit：%）

图7中给出了不同方法的相对偏差随覆盖层厚度变化的分布情况，其中虚线代表按线性拟合的变化趋势线，从图中可以看出：（1）子层周期求和法的相对偏差随覆盖层厚度的增加而明显变大。（2）子层周期贡献系数法、逐层单自由度法以及简化Rayleigh法的偏差结果受覆盖层厚度变化的影响较小。这种变化规律更进一步地印证了前面的推论，即子层周期求和法无法考虑土层顺序结构的影响，随着覆盖层厚度的增大，场地波速结构总体上变得更复杂，由于其能力缺陷所导致的计算偏差也必然会更大，而另外三种方法能够体现波速结构差异对场地动力特性的影响，其计算偏差受覆盖土层厚度的微弱影响基本可以归因于误差累积。