朱 斌

(南京师范大学第二附属高级中学 320900)

1 赛题与证明

2022年第48届俄罗斯数学奥林匹克联邦区域竞赛中有一道不等式试题：

设

a

,

b

,

c

,

d

为非负实数，有

a

+

b

+

c

+

d

=8，证明：①．

不等式①是一个分式不等式，每个分式项的分子都是一个三次单项式，分母含有三项，前面一项是一个二次单项式，后面两项都是一次单项式.分子、分母中都含有相同的变量.由此入手进行拆项处理，则可打开解题思路．

证明

由于由二元均值不等式得则有所以同理可得

所以①式左故不等式①成立．

点评

如果按照不等式①的结构联想到柯西不等式，将不等式①转化为

≥4或者那么接下来就会思维受阻．

2 变式与推广

如果不改变已知条件，只是考虑将不等式①的每个分式的分子、分母中相同变量的次数进行升幂，那么对上述证法做进一步深入分析后就会发现，在分母中必须添加适当的项，并且应用均值不等式后能够得到等，由此得到如下变式：

变式1 设

a

,

b

,

c

,

d

为非负实数，且

a

+

b

+

c

+

d

=8，证明：②．

证明

由于由三元均值不等式得则有所以同理可得其他三个不等式，将其累加后,得

②式左即不等式②成立．

变式2 设

a

,

b

,

c

,

d

为非负实数，有

a

+

b

+

c

+

d

=8，证明：③．

证明

由于由四元均值不等式得则有所以同理可得其他三个不等式，将其累加后,得

③式左即不等式③成立．

在变式1和变式2的基础上，可以将上述竞赛题作如下推广：

推广1

设

a

,

b

,

c

,

d

为非负实数，有

a

+

b

+

c

+

d

=8，

n

∈

N

，证明：

证法类似，留给读者完成．

如果改变已知条件中的等式，那么用同样的方法可以证明：

推广2

设

a

,

b

,

c

,

d

为非负实数，有

a

+

b

+

c

+

d

=4

k

，

k

>0，

n

∈

N

，证明：