陆王华

江苏省南通中学 226001

深度学习是当前数学教学的一个热词，它建立在学生深层次理解的基础上，其既强调教师的引导作用，又关注学生的主体参与，让学生通过体验和深入思考掌握数学的本质，帮助学生形成积极的学习动机，培养学生正确的学习观和价值观.笔者以 “椭圆的标准方程”一课为例，浅谈自己对深度学习的理解与实践，仅供参考！

教学过程

1.探究性导学单

课前教师结合教材内容和学生学情设计了导学单，以便学生在明确的问题的引导下进行有效预习.

导学单的内容如下：

（1）回顾探究圆的标准方程这一节内容，说一说圆的标准方程的推导步骤.圆上的点与方程满足什么条件后，才说明这个方程是圆的方程呢？

（2）你认为可以如何研究椭圆？特别地，已知一个椭圆上的点M以及焦点F1，F2满足0（a，c为实数），试着求出它的方程.

设计意图：引导学生通过旧知回顾获得新知的探究方法，并将新知内容纳入原有的认知体系中，逐渐完善学生的认知结构.另外，在预习内容中，借助实例让学生经历自主探究方程的过程，这样不仅可为课堂教学提供教学素材，而且有利于引发深度学习.

2.研究性教学活动

学生独立完成课前导学单内容，教师结合学生反馈制作成课件，以便通过有效交流让学生获得深刻的理解.

环节1：为什么这样算？

师：观察图1，你认为这样化简好不好？（教师用PPT展示学生的化简过程，引导学生通过观察、分析、思考等过程找到问题的症结）

图1

生1：该过程涉及的字母太多，很难计算.

师：你认为出现以上问题的根本原因是什么？

生1：设得过于复杂，没有认识到椭圆的两个焦点是对称的，可直接设F1（－c，0），F2（c，0）.

师：很好，合理建系往往可以达到简化运算的效果.在解决问题时不要急于求成，应该注意观察、认真分析.

师：观察图2，谁来说一说这步想要做什么？为什么要抹去部分等式呢？（教师继续展示学生的化简过程）

图2

生2：这步想通过两边平方去掉根式，可能发现直接平方比较复杂，所以放弃了.

师：观察图3，这样做的目的是什么？你认可这一做法吗？（教师继续出示图3）

图3

生3：图3最终的目的也是为了去掉根式，但在平方前先移项了，这样等式的左右各有一个根式，平方后左侧根式可以直接消除，然后整理，再移项，再平方，通过两次平方实现了化简.

师：说得非常好，这一运算过程与教材不谋而合，可见大家有着超强的分析和运算能力.

师：在检阅大家的预习成果时，发现有的同学是这样算的.（教师出示图4）

图4

师：对于以上过程该如何理解呢？（教师预留时间让学生观察、交流）

师：现在请当事人说一说，当时你是怎么想的呢？

生4：通过观察发现，无论是直接平方，还是移项后平方，都需要两次平方才能去除根式，于是我就想试一试通过构造对称结构的方式去抵消根式，然后我就将2a进行了拆分，再平方就出现了根式相减的现象，联想到开始的两根式之和，利用加减相消表达出了一个根式.

师：能想到利用对称创造相消项，非常有创意.

师：观察图2后部分学生预测直接平方计算比较烦琐，所以更改了运算策略.但也有部分学生直面挑战，给出了这样的运算过程.（教师展示图5，并预留时间让学生观察）

图5

师：请利用以上方法化简的同学说一说，当时你是怎么想的呢？

生5：起初也没有多想，直接就平方了，但是在整理时发现运算过程比较复杂，也想过通过先移项再平方的思路求解，不过我又想到即使通过移项还是需要两次平方，所以我就尝试将这个过程进行到底.仔细观察式子的结构特征发现，若将根号下的式子进行变形可以构成平方差公式，这也是一种对称.就这样一边做，一边观察，后来联想到了换元，于是得到了以上运算过程.

师：非常好，看似无心插柳，却离不开知识、经验和方法的支撑，可见大家有着扎实的基本功.

设计意图：为了改变师讲生听的低效教学模式，教师没有直接展示课本运算过程，而是根据预习单提取一些典型案例，这样有效拉近了学生与课堂的距离，调动学生参与的热情.同时，通过观察、分析、交流，唤起了学生的深思，既让学生明晰了算理，又掌握了运算方法，有效提高了学生分析和解决问题的能力.

环节2：什么是曲线方程？

师：在导学单上有学生给出了这样一个运算过程，你知道这段文字要表达的是什么吗？（教师出示图6）

图6

生6：验证方程的解为椭圆上点的坐标.

师：哦！得到椭圆方程经历了复杂的计算，一定要验证吗？

生6：需要，从刚刚求解过程可以看出椭圆上点的坐标是方程的解，但并没有说明方程的解是椭圆上点的坐标，所以需要进一步验证.

设计意图：在导学单上，教师已经明确要求学生对结果进行验证，不过效果并不明显，大多数学生将精力放在研究“椭圆上点的坐标是方程的解”上，忽视了对“方程的解是曲线上点的坐标”的验证，可见他们对曲线方程的理解不够深刻.教师展示学生的成果，其目的是引起学生注意.不过，由于教材对验证过程没有太高的要求，所以教师也没有继续开展探究，而是点到为止，让学生理解数学的严谨性，培养其正确的数学观即可.

环节3：如何求曲线方程？

师：对于最后一个问题，有同学给出了图7所示的解答过程，这样的做法对吗？求曲线方程的步骤是什么呢？

图7

生7：图7的解答步骤存在问题，这里面没有显示建系的过程.求曲线方程的第一步是建系，没有坐标系又何来点的坐标呢？

师：说得很好，谁来总结归纳一下，求曲线方程要有哪几个步骤呢？

生8：分为5步：①建系设点；②寻找条件；③列出方程；④化简；⑤证明.

师：说得很好，语言简洁精炼.对于以上问题，你们认为如何建系运算更简洁呢？

生9：构建对称图形，这样式子中会出现对称结构，更易于化简.基于以上分析，解题时可以F1，F2两点所在直线为横轴，以线段F1F2的中垂线为纵轴，建立平面直角坐标系.

师：还可以怎样建系？得到的对应的方程又是什么呢？

设计意图：教师引导学生在原有基础上继续探究，学生找到了不同的建系方法，有的学生认为可以其中的一个焦点为坐标原点建系，虽然通过该方法能列出方程，但是因为运算烦琐并没有得到结果；有的学生利用中垂线构造对称形式，但把焦点放在了纵轴，使得化简时犯难了.为了帮助学生掌握问题的本质，教师放慢了脚步，通过引导和启发让学生发现其中蕴含的规律.

师：现在谁来说一说，你是如何建系的呢？（教师点名让学生回答）

生10：我的建系思路与生9相同，也是用中垂线构造对称形式，但我将焦点放在了纵轴.

师：你化简的方程是什么？

生10：过程有些复杂，目前我还没有化简出来.

生11：这个不需要化简，可以直接写出方程.（生11抢答道）

师：为什么呢？

生11：两种建系方法的唯一区别就是x轴与y轴进行了互换，这样在化简时无非就是将x换成了y，y换成了x，因此不需要再化简，只要将x和y互换即可.

师：非常完美的表述，这样由几何图形中的对称联想到了代数中的对称，可见同学们已经掌握解析几何问题的解决方法了.

设计意图：根据导学单发现，不少学生给出的解题过程并不规范，缺失建系的过程.由此教师刻意展示不规范的解题过程，让学生在纠错的过程中进行深度思考，通过对不同建系方法的探究，不仅深化了他们对知识的理解，而且有效地发展了新课，得到了椭圆标准方程的另外一种情况.

教学思考

本节课的重点为推导椭圆的标准方程，推导过程中教师以学生的算法为主线，发现了不同的解法，并通过对不同解法的分析，让学生在理解他人解题思路的过程中深刻地理解知识，优化算法，提升学生的数学运算能力.

在本节课教学中，教师以学生的自主探究为主线，为深度学习提供了前提.要知道，机械模仿、死记硬背难以诱发学生深度思考，不利于深度学习达成.在实际教学中，教师应从学生实际学情出发，依据教学内容科学合理地创设问题，从而让学生在问题的启发和引导下去思考、去探索、去交流，以此让学生掌握数学研究方法，理解数学的本质，从而使“学”变得既有深度又有意义.

总之，在教学实践中，教师切勿因追求“速度”而大包大揽，那样不利于学生学习能力提升，会影响学生的长远发展.在教学中，教师要学会放慢节奏，为学生提供机会去发现、去探索、去创造，以此丰富学生的认知，提高学生的学习品质.