许 可 刘 涛 罗成高 万建伟

(国防科技大学 电子科学学院， 长沙 410073)

频率分辨率是“数字信号处理”课程中一个非常重要的知识点，这个概念定量刻画了频谱分析的精细程度。但在教学实践中，频率分辨率的定义往往直接给出，缺乏相应的物理意义和工程应用背景，学生容易陷入“只记结论，不懂应用”的困境，更谈不上对这个结论进行举一反三或者质疑。

以两个有限长余弦序列的幅度谱为分析对象，通过二者的接近程度(频率之差)来给出频率分辨率的定义，通过类比光学系统与合成孔径雷达的分辨率，来加深对数字信号处理中频率分辨率概念的再认识。

1 频率分辨率概念的起因

无限长的余弦序列x(n)=cos(ω0n)，n=0,1,2，…，其频谱为冲激函数串，

(1)

用矩形窗对余弦序列截断，得到有限长余弦序列xN(n)=cos(ω0n)RN(n)。根据频域卷积定理[1]，时域相乘对应频域卷积，则截断后余弦序列的频谱为

(2)

其中WN(ejω)表示N点矩形窗的频谱。

如果只考虑[0,π]区间频率分量的频谱，则

(3)

图1给出了余弦序列截断前后在[0,π]区间的幅度谱。从图1(a)可以看出，无限长余弦序列，其幅度谱为冲激函数。将其在时域进行截断后，成为有限长余弦序列，此时的幅度谱成为“胖乎乎”的形状，体现为一个主瓣和诸多旁瓣，如图1(b)所示。

推广到两个余弦序列的情况。时域上的截断，频域上“胖乎乎”的幅度谱就会相互融合，相互渗透。从图2(a)可以看出，两根本来“泾渭分明”的冲激函数，就会变为图2(b)的形式，此时这两个频率分量越来越不好区分，二者的“分界线”越来越模糊。

(a)无限长

(b)有限长图1 余弦序列的幅度谱

(a)无限长

(b)有限长图2 两个余弦序列的幅度谱

在教学实践中，要注意从学生的角度思考并引出相关知识点。比如，要注意引导学生思考“为什么要研究两个余弦序列的情况”？这是因为在很多工程应用中，必须判断实际系统能否准确“分辨”出两个数值接近的频率分量。

对这个问题，还可在课堂上进一步的拓展，比如在雷达探测中，频率分辨率决定了系统能否区分两个频率相近的单频信号，在雷达对多个邻近目标距离、速度等参数的测量中具有重要意义[2]。

2 频率分辨率的直观定义

在时域上进行截断，频域上的变化就是从“泾渭分明”变得“模模糊糊”，那么一定存在着一个“分界线”来区分“清晰”和“模糊”这两个状态。利用“分界线”的思想，可以很自然地给出“频率分辨率”的定义[1,3]。

也就是说，对于两个数值接近的频率分量，在“分界线”外，系统处于“可以分辨”的状态，在“分界线”内，系统处于“不可分辨”的状态，在“分界线”上，系统就是处于“刚好分辨”的状态。

可以利用主瓣的重叠程度，来定义区分两个有限长余弦序列的“分界线”。当两个余弦序列的主瓣重叠超过一半时，认为这两个余弦序列处于“无法分辨”的情况，如图3(a)所示，此时|ω1-ω2|<2π/N，其中N表示余弦序列长度，2π/N表示主瓣宽度的一半。

当两个余弦序列的主瓣重叠不足一半时，我们认为这两个余弦序列处于“可以分辨”的情况，如图3(b)所示，此时|ω1-ω2|>2π/N。

当两个余弦序列的主瓣重叠刚好一半时，我们认为这两个余弦序列处于“刚好分辨”的情况，如图3(c)所示，此时|ω1-ω2|=2π/N。

图3(c)给出的就是两个数值接近的频率分量能否区分开的“分界线”，定义此时的频率之差为频率分辨率

Δω=|ω1-ω2|=2π/N

(4)

频率分辨率的概念描述了系统能提供的频率“最小刻度”。从式(4)可以看出，频率分辨率只取决于有效数据的长度N。

3 频率分辨率的再认识

利用主瓣重叠程度来定义频率分辨率的思想，也体现在光学系统分辨率中[4]。由于光波受到光学孔径的限制，会产生衍射，两个物点会形成两个衍射光斑，当两个物点靠近时，对应的衍射光斑就会相互融合，相互渗透，直至变得难以区分，如图4所示。瑞利判据指出,当一个物点对应的衍射光斑的中央主极大位置与另一个物点对应的衍射光斑的第一个极小位置相重合时，此时光学系统恰好可以分辨开这两个物点[4-5]。

对比图3(c)与图4(c)可以发现，数字信号处理中的频率分辨率和光学系统中的分辨率，它们分别采用幅度谱或衍射光斑主极大的半径进行表征，有异曲同工之妙。

(a)“无法分辨”的情况

(b)“可以分辨”的情况

(c)“刚好分辨”的情况图3 利用主瓣重叠程度定义频率分辨率

图4 光学成像系统分辨率

按照主瓣重叠一半来定义频率分辨率，这是一种“半功率”的思想，即主瓣能量下降3 dB。但是这种定义并不是唯一的，比如在合成孔径雷达(SAR)中，理想点目标的扩散函数是sinc函数[1]，可用“半功率”作为分辨准则。但在实际情况下，为准确分辨目标，可采用更严格的分辨准则，如3.92 dB，9 dB等[6]，见表1。

表1 不同的合成孔径雷达成像分辨准则

4 结语

图5给出了“频率分辨率”知识点的授课思路。按照“意义引出→概念分析→类比扩展”的讲解顺序，以余弦序列为分析对象，利用时域截断引起的频域变化给出频率分辨率概念的起因，随后利用两个余弦序列主瓣重叠程度给出频率分辨率的定义，最后，与光学系统以及合成孔径雷达的分辨率进行了类比，引导学生全面、客观地理解频率分辨率的概念。

图5 “频率分辨率”知识点授课思路