田社平 王润新 张 峰

(1. 上海交通大学 电子信息与电气工程学院， 上海 200240)(2. 上海海事大学 物流工程学院， 上海 201306)

运算放大器(以下简称运放)是工程上极为常用的器件。针对此器件，目前“电路理论”“电路分析”等课程的教学基本要求、教学大纲及教材等均以理想运放模型为主要教学内容。该理想化模型在帮助学生初步建立运放概念、理解实际运放工作原理和对含运放电路进行计算等方面具有积极作用。

在教学实践中，依据过于简化的模型讨论运放电路往往导致教学内容与工程实际有较大脱节，在一些看似简单的问题上稍不注意就容易出错。一些模糊甚至错误的认识一旦被初次接触运放概念的学生接受，还会影响其对后续课程的学习。

下面将从运放符号使用、虚短和虚断概念表述、常见题目错误、答案校核、模型局限性等方面对教学中易出现的几个问题做一梳理并进行阐释。这些问题难易程度不一，对其加以厘清从改进教学效果角度看都有必要。

1 电路符号

运放的符号采用三角形或矩形的图形，它们都是国际通用的画法。前者为IEC(国际电工委员会)标准所采纳，后者为ANSI(美国国家标准学会)标准所采纳。我国国家标准规定的运放的符号与IEC相同。在国内教材中，常见的运放符号如图1所示[1-3]。

(a) 完整型符号

(b) 简化符号

(c) 含接地的符号图1 运放的图形符号

图1(a)所示的符号表达了实际运放中对运放功能起关键作用的5个端子，该符号最为完整，和实际运放电路最为接近。图中运放各端所标电压均为对地电压，且各端电流之间满足KCL，初学者容易理解。

图1(a)中标出+U、-U两个电源还表明输出电压uo限制在-U～+U范围之内，反映出了实际运放应该具有的饱和特性，详细讨论见第4节。

图1(b)是运放模型的简化符号，也是IEC和ANSI采纳的符号。熟练掌握运放概念的学生或工程师使用该符号不存在问题，但初学者容易理解出错。尽管图1(b)所示符号并没有包含电源和地，但在教学中需明确：①符号中没有画出电源，但电源是客观存在的。运放的偏置离不开电源，运放输出端对外提供的功率也是由电源提供的；②“地”同样是客观存在的，+U、-U取值均以“地”为参考点，uo的取值也是完全离不开“地”的，必须以“地”为基准；③所标运放三个端子上的电流并不满足KCL。

图1(c)在图(b)符号基础上直接增画了“地”端，为较多教材/文献所采用。此符号强调了“地”的存在，但容易给学生造成“地”端本身属于运放的印象，与实际运放的端子排布情况不符。在具体电路中若采用此符号，如图2所示，容易让初学者觉得RL似乎两端都与运放相连，甚至在通过该图求解运放对地电流等方面产生错误联想。

图2 采用图1(c)符号的含运放电路

2 虚短、虚断概念

虚短是理想运放工作于线性放大状态时才有的概念。较多教材将“虚短”直接表述为

u+=u-

(1)

亦即，运放的同相端与反相端的电压相等，本文认为这种表述欠妥。理由如下：

实际中A虽然可能取值很大，但毕竟还是有限值。由运放在线性区的开环电压传输特性

uo=A(u+-u-)

(2)

可知，uo非零时必然有u+-u-不等于零。此直观结论可在众多实验和仿真结果中得到验证。

(2) 即使数学上假设A→∞，由式(2)也不能推出式(1)。事实上，由式(2)只能推出，当A→∞且uo为非零有限值时，u+-u-是1/A的同阶无穷小。当u+-u-是1/A的高阶无穷小时，A(u+-u-)结果将等于零。当(u+-u-)严格等于零时结果更是如此。

(3) 在肯定式(1)成立的前提下容易导致错误结论。例如，若在图3电路中根据式(1)得出反相输入端电位为零的结论，则根据替代定理将该输入端对地短接后将得到与原电路完全不一样的结果。

图3 反相放大电路

关于“虚短”，本文观点是：不宜将虚短表达为式(1)，而应当要么笼统地说明u+和u-差别很小(可表达为u+≈u-)，要么定量地说明(u+-u-)只是1/A的同阶无穷小，而不能是1/A的高阶无穷小，更不能等于零。国内有些教材所采纳的就是上述观点[4]。

相较“虚短”或“虚地”,“虚断”说法在西方教材、文献中出现较少。国内学者中也存在不同理解。

广义地讲，“虚断”指由于实际运放输入电阻Rin很大而导致的输入端电流很小(约等于零)。即使运放处于非线性工作状态亦即“虚短”不成立时，“虚断”也成立。

有教材认为“虚短”“虚断”是平行存在的一组概念，“因为电压为零时，电流也为零，反之亦然”[5]。上述观点将“虚断”概念仅适用于运放线性工作区，本文称之为狭义的“虚断”。在线性工作区“虚短”成立，由(u+-u-)很小且Rin很大，导致输入电流(u+-u-)/Rin更小。此情况与上述广义“虚断”的定义并不矛盾。

有教材将“虚断”直接表述为

i+=i-=0

(3)

本文同样认为欠妥。理由简述如下：

(1) 即使在上述狭义“虚断”情况下，Rin→∞也只会使得(u+-u-)/Rin变为比(u+-u-)更高阶的无穷小，而不可能严格变成零。

(2)肯定式(3)成立等价于将Rin→∞理解为将两输入端之间当开路处理。这样做，在后续课程讨论串联反馈时问题不大。但在讨论并联反馈电路时，会因运放输入端开路而导致电流反馈接入点分流的理论失效[6]。

(3)与对“虚短”的讨论类似，肯定式(3)成立将导致替代定理应用困难。

关于“虚断”，本文观点是：不宜将虚断表达为式(3)，只要笼统说明i+和i-均很小(接近零)即可。即使在如图4所示的最简化模型中，输入电阻Rin也应保留而应不将之当作开路处理。

图4 运放的最简化模型

另外，有国内文献将“虚断”表达为“实断”。本文认为，无论其对后者内涵作何特定解释，“实断”这样的术语至少在字面上容易导致歧义，并不可取。

3 含运放电路中“地”的必要性

以一道习题为例：如图5所示为一含运放的电路，现要求电路中的电流I[7]。该题一种可能的解答是：此电路采用的是负反馈接法，故“虚短”成立；由“虚短”“虚断”、欧姆定律知，U1=6 V、I1=3 mA、U2=36 V；故I=(U1+U2)/10=4.2 mA。

上述题目本身以及对应的解答完全错误。

题目错误的主要原因在于整个电路中未给出“地”。事实上，由图4可知，描述线性工作运放的二端口模型中，其输出端口的两个端子并非均可自由连接：其中一个端子必须固定地接为“地”，即输出端电压uo一定是对地电压。图5电路中若不含“地”，则电路中各结点的电位无从讨论。另外，从图4输入端口看，若仅在a、b之间浮动地接入一个电压ud，运放本身似能工作。但是，若要在输出和输入之间形成有效反馈(无论是串联还是并联反馈)，则u+、u-、uo之间的公共参考点必不可少，绝大多数情况下此功能需由“地”来承担。

图5 不含“地”的运放电路

上述解答之所以出错，在于做题者从题目中无法知悉电路工程背景，只能照搬课堂所学，机械地采用虚短、虚断概念来书写答案。这样做，往往会导致谬误。

4 对含运放电路求解结果的校核

为了使计算结果与工程实际之间有必要的结合(而不出现完全脱节)，针对含理想运放电路的求解结果，本文认为至少应完成以下两项校核工作。

(1) 输出电压范围校核。为保证运放工作于线性区，电路总是采用负反馈接法。但采用负反馈接法的电路，运放并不一定工作在线性区。实际中负反馈电路达到饱和的情况并不少见。

所以，一方面，参照一些教材的做法[8-9]，在电路符号上宜提倡使用图1(a)所示完整符号，讲解运放的电压传输特性时也应对线性区、饱和区等进行完整介绍。理想运放电压传输特性如图6所示，其中ES为运放的饱和输出电压。

图6 理想运放的符号及输入 输出特性

另一方面，对利用图4所示模型求得的输出电压结果也必须进行校核：若|uo|≤ES，计算结果有效；若|uo|>ES，则计算结果无效。计算结果无效时，虚短并不成立，电路需采用其它合适的方法进行重新计算。

图7给出了反相比例器出现饱和的例子。图7(a)为一反相放大器，假设运放的饱和电压ES=15 V。当取ui=2.5sin(ωt) V时，易知uo=-5sin(ωt) V，满足|uo|≤ES，说明uo=-5sin(ωt) V是正确结果；当取ui=15sin(ωt) V时，同样先假设运放工作在线性区，易知uo=-30sin(ωt) V，不满足|uo|≤ES，说明计算结果无效，输出要产生饱和失真，其波形如图7(b)所示。

(a) 反相放大器

(b) 输出波形图7 反相放大器及输出波形

(2) 输入端电位校核。实际中，所有运放手册都对输入电压范围做出规定。粗略地讲，两个输入端电位均不允许超过正负电源限定的范围。超出此范围，运放不可能正常工作。

所以，针对求解结果，也应当对u+、u-两个数值进行校核：若u+或u-不在+U和-U限定的范围内，则电路无法工作，需重新设计。

5 运放模型的局限性

图4运放模型在教学中广泛使用，有教材也借此模型讲解正、负反馈的概念[10]。以反相放大器为例，其电路模型如图8(a)所示。由于电路采用负反馈接法，因此，反相放大器能够稳定地工作在运放的线性区。本文提出的问题是：如果将电路改接为正反馈接法，得到的电路模型如图8(b)所示，那么由该模型能否体现出正反馈电路实际所发生的输出电压趋于饱和，或在未设定饱和电压情况下向无穷大方向发散的过程？答案是否定的。

事实上，对图8(b)，由节点法易得

(4)

式(4)的解为

(5)

考虑到A→∞，式(5)可近似写为

(6)

式(6)与图8(a)所得近似结果完全一致。

仿真结果也表明，在运放接近理想化情况下，即使假设ui为交流电压(比如正弦电压)，图8(a)和图8(b)的差别也仅在于两个电路中算得的ud在相位上反相，两者输出波形uo完全一致。仿真结果中并不会出现预期的因正反馈而导致的不稳定情况。原因分析如下：

(1) 图8(a)和图8(b)仅是含有受控源的电阻电路。在给定有限输入电压并且电路接法未违反电路定律的条件下，电路有解属正常情况。

(2) 若在图8(b)中将电压控制系数(即放大倍数)A设置为有限带宽，或者在图中受控源支路后增加一级滤波网络，则仿真中会出现预期的不稳定情况。这是因为此时电路本质上是动态的且采用了正反馈接法。

(3) 在控制理论中，系统稳定与否总是针对由微/积分方程所描述的动态系统而言的。图4模型未体现A的频率特性，使得外围电路中不含动态元件时采用该模型的整个电路呈现为电阻电路，无法反映实际电路的不稳定性质。

(a) 负反馈电路模型

(b) 正反馈电路模型图8 反馈电路模型

上述运放模型在反映放大倍数的频率特性方面的局限性及其导致的结果在特定条件下需要引起注意。

6 结语

实际运放是内部结构复杂而外部端口特性简单、易于使用的器件，为其建模所得到的理想运放元件看似简单，理解起来实则有一定难度。对电路理论课程教学过程中出现的若干相关问题进行了讨论，目的是与国内同行一道，在教材、教学等各环节将此部分内容表述得更合理、更符合工程实际、更容易理解。

致谢：上海海事大学李勇副教授对第5节问题的提出有重要贡献；大连理工大学的陈希有教授、浙江大学的孙盾副教授、上海交通大学的何铭副教授、赵艾萍博士、乔树通博士对研究工作提出了有价值的意见，特此致谢。