陈志豪，张硕，王和霄

（山东警察学院，山东济南 250000）

FAST 由主动反射面、馈源舱及其他相关系统构成，其中主动反射面是一个可调节平面，主要包含主索网、反射面板、下拉索、促动器及支承结构等。主动反射面技术的关键是把反射面调整为抛物面，通过下拉索和促动器协同完成。

首先根据实际情况分析影响反射面调节的因素，利用各因素的限制，找到最合适的理想抛物面。当给定具体操作条件时，计算出调节各主索节点伸缩量，以使各个平面尽量贴近理想抛物面。

为体现馈源仓在不同时间内对无线电波的吸收效果，可以用功率对某一接收过程进行衡量。利用各平面间的投影关系，将需要考虑波的传播路径的接收比问题转化成无线电波有效辐射功率问题，对各个反射面单元的功率积分求和，最终从不同频率和不同时间上描述功率。

1 模型建立和求解

1.1 建立理想抛物面

为简化模型，将旋转抛物面简化为旋转前的二维抛物线，用圆弧替代球面。

1.1.1 基于最小绝对偏差的规划模型

在实际调节主索节点贴近理想抛物面时，主索节点的位移量应在合理区间内尽量小[1]。为使各节点的径向伸缩量被控制在较小水平内，优化目标使工作抛物面与基态圆尽可能接近，本文引入最小绝对偏差（LAD）。首先在x轴上以0.5 m 为步长在[-150，150]范围内取点，优化目标为工作抛物线与基态圆弧的z值LAD 最小，公式为：

1.1.2 基于边缘优化策略的规划模型

1.1.3 伸缩量与节点距离变化率的限制

改变主索点位置时，主索会因自身弹性产生一定形变。另外，主索在径向移动中，两块不同反射板之间的夹角也会使主索点间距离改变。相邻节点距离变化率不超过0.07%的要求也是调节因素之一，约束表示：

式（3）中：lij为抛物线上任意的节点向量，即cij变位后的节点向量；lmn为抛物线上与lij相邻的节点向量；cij为圆弧上任意的节点向量；cmn为圆弧上与cij相邻的节点向量。

对于节点径向伸缩量，限制抛物线上各点与基准圆弧的径向距离在[-0.6，0.6]内，即：

1.1.4 多目标规划求解

目标函数为（1）和（2）两个，约束条件为（3）和（4）两个。使用线性加权和法将多目标规划问题转化为单目标规划问题求解，将（1）和（2）两个目标权重均赋值为1/2。

求解得二维抛物线方程为z=0.002x2－302.04，复原为理想抛物面方程为500（z－302.04）=x2+y2。

1.2 改进的模拟退火算法拟合理想抛物面

FAST 通过促动器移动下拉索以控制主节点的位置，从而形成近似旋转抛物面。由三角反射面板形成的近似抛物面应尽可能接近理想抛物面，即反射面板与理想旋转抛物面需有较高的拟合优度。因此将由反射面板构成的分段函数与理想抛物面拟合优度最高作为优化目标，公式为：

拟将所有促动器径向调节距离作为优化参量，由于主动反射面共有2 226 个主索节点，采用线性搜索法、Monte Carlo 模拟法等无法实现对2 226 个参量的优化，因此采取模拟退火算法求解。鉴于算法本身限制，在此将部分步骤进行了改进。

为简化迭代步骤，减少运行时间，在程序编写过程中对计算机接受新解的逻辑进行优化，节省了大量的运算时间，同时也保证了优化结果相对原结果在接受的范围内[2]，具体如下：

式（5）为改进后的接受新解概率函数，使用此函数可以明显地简化代码结构，将是否符合约束条件和产生结果最优两种情况直接通过概率等于0 或1 映射出来，能大幅提高运算速度。

改进前后的运行时间对比如表1 所示，可以看出改进前后运算时间有明显差距，快了约40%。

表1 运行时间对比（单位：s）

改进前后优化结果对比如图1 所示。从图1 可以看出，虽然优化结果有一定牺牲，但完全在可接受范围内，权衡节省的时间与优化结果后，完全可以接受本优化策略。

图1 改进前后优化结果对比

面对大量参数时，仅凭模拟退火算法难找到全局最优解，而容易陷入局部最优。本文的做法是与Monte Carlo 算法结合，先大量随机取解，然后比较拟合度，挑出最优的参数组合，将其作为优化的初始解，再用模拟退火算法寻优。改进后的模拟退火算法流程如图2 所示。

图2 改进后模拟退火算法的流程图

1.3 射电望远镜馈源仓的接收比

由于天体与台址距离甚远，因此可将信号视为平面波讨论。无线电波的电场强度E多平行于地面，可将信号源的无线电信号视为平面极化波。不妨认为无线电波以恒定平均功率持续辐射一定时间T且入射时无相位差。

针对射电望远镜，假设每个反射板单元均为平面三角形，且其厚度可忽略不计。由于馈源仓相对FAST较小，因此将其视为厚度可忽略的直径为1 m 的圆面。射电望远镜与信号源相距甚远，可用真空形式的Maxwell 方程组表示其特性，以变换后的坐标系为基准，无线电波于变换后自坐标平面x′Cy′入射，易得出远离场源电磁波的波动方程：

式（6）中：E和H分别为电场强度和磁场强度的瞬时强度；E0和H0分别为振幅；ω为无线电波的传播角频率；u为无线电波的传播速度（在空气中近似于真空光速）。

无线电波传播过程中存在着扩散衰减、反射衰减和折射衰减等衰减方式。假设认为无线电波在入射FAST 时，总是对瞬时抛物面垂直入射，因此可不考虑折射衰减。对于扩散衰减，有经验公式：

式（7）中：ATT为衰减损耗；f为电磁波频率；d为其传播距离。

设P0为无线电波初始振幅，结合式（7）利用分贝的定义得出功率P随距离d的衰减公式P=P0/（1032.45f2d2），从而得到了功率随距离平方变化的衰减系数k=1032.45f2。

对一块反射板单元，其接收的无线电波与其在抛物面开口所在平面上的投影所接收的相同。同样对馈源仓圆面关于该三角反射板的对称圆面，假设入射无线电波能够穿过反射板继续沿z′负方向移动，其接收信号为能到达对称圆面在抛物面开口所在平面上的投影穿过三角板的信号。而对于对称圆面的方程，可以通过选取原圆面不共线的3 个向量求解方程组。设该反射单元在x′Cy′的投影区域为G，对应对称圆面投影区域为K，如图3 所示。两者重叠区域M=G∩K。对于确定了反射单元的对称圆面有唯一方程确定其所在平面z=f（x，y）ij。故可对区域M进行二重积分：

图3 反射单元与对称圆面投影示意图

进而对各个反射板单元的功率进行求和得到接收功率：

求解二重积分时，发现运算时间很长，难求出最终结果，因此将化简为近似表达式。分析发现，对于二重积分对应的柱体，可利用其投影前的圆心对应的函数值近似柱体的高。对于积分区间，可通过对称圆面的法向量对夹角进行计算。利用对称圆面在x′Cy′的椭圆投影为固定面积，求出椭圆中心（x0，y0，z0）的对应函数值为整个积分区域内的平均能流密度，该椭圆长轴为1，短轴为圆面与x′Cy′夹角余弦，给出圆面法向量n，x′Cy′单位法向量e=（0，0，1），进而推出更便于计算的近似表达式：

设每个反射单元的效率Pij为关于时间的函数，其对时间的积分与入射的平均功率和时间的乘积之比即为馈源仓的接收比r，为[5]：

2 模型评价与推广

本文使用改进的模拟退火算法，实现了对大量参数的拟合，精简了计算量，更好地拟合了理想抛物面。在计算馈源比时，引入Poynting 矢量，在时间的维度上对馈源舱接收信号的过程进行刻画，更好地体现接收比。

本文并未考虑各反射面单位自身曲率，因此必然对拟合理想抛物面以及馈源舱接收比的计算产生影响。