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浅论函数奇偶性的判断方法

2022-10-31335500江西省万年县万年中学

中学数学杂志 2022年9期
关键词:奇函数偶函数奇偶性

335500 江西省万年县万年中学 徐 广

335500 江西省万年县万年一中 李 敏

函数的奇偶性是函数的重要性质,也是高考的重点与热点,更是广大高中生的易错点.学好函数的奇偶性一直是广大高中生的诉求,要掌握好函数奇偶性的判断方法,可以从以下三个方面入手.

一、 关于函数奇偶性的定义

北师大版高中数学教材中关于函数奇偶性的定义简述如下.

设函数y=f(x),x∈I,且对任意x∈I,恒有-x∈I(即定义域要关于原点对称),(1)若f(-x)=-f(x),则称y=f(x)为奇函数;(2)若f(-x)=f(x),则称y=f(x)为偶函数.

上述定义从理论上说明,定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个前提.相当一部分学生常常忽视所给函数的定义域,直接用函数奇偶性的判别式确定其奇偶性,很容易得出错误的结论.

错解:由题意可得F(x)=x2,从而有F(-x)=F(x),所以y=F(x)为偶函数.

评析:上述解答没有求出函数的定义域,忽视了判断函数的定义域是否关于原点对称.

正解:因为y=F(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),不关于原点对称,所以y=F(x) 不具有奇偶性.

因此,教师在讲授新课时,一定要强调定义域关于原点对称的重要性与先决性.

评析:上述解法没有考虑0是否属于f(x)的定义域,而是默认f(x)在x=0处有定义.

解析:注意到函数的定义域要关于原点对称,已知x≠-2且x≠a,所以要保证定义域对称,则a=2,这是f(x)为奇函数的必要条件,经验证,符合题意.

二、 函数奇偶性的四则运算合成

在掌握了初等函数的奇偶性后,对于给定的复杂函数的奇偶性,往往不需要直接用定义方法来证明或判断,而是用合成方法处理.

设在公共定义域内,函数f(x)和f0(x)为奇函数,而g(x)与g0(x)为偶函数,k,c为常数,则有如下结论.

(1)当k≠0时,y=kf(x)为奇函数,y=kg(x)为偶函数.特别地,当k=0时,y=kf(x)和y=kg(x)既是奇函数也是偶函数.

(2)当c≠0时,y=f(x)+c不是奇函数,y=g(x)+c为偶函数.

(3)y=f(x)±f0(x)为奇函数,y=g(x)±g0(x)为偶函数.

(5)y=f(x)f0(x)为偶函数,y=g(x)g0(x)为偶函数.

(6)y=f(x)g(x)为奇函数.

(7)设h(x)=kf(x)+cg(x)(其中f(x)不为偶函数,g(x)不为奇函数),若h(x)为奇函数,则c=0;若h(x)为偶函数,则k=0.

例4判断下列函数的奇偶性.

例5设F(x)=x3+(t-1)x2为R上的奇函数,求实数t的值.

解:由题意可得t-1=0,即t=1.

这里可以直接省去用F(-1)=-F(1)计算得出结果,或者由计算稍微复杂的F(-x)+F(x)=0推导得到结果.

分析:因为f(x)在x=0处有定义,所以f(0)=0,可得a=1,所以分子为x,是奇函数,而f(x)为奇函数,所以分母x4+bx+1必须为偶函数,即有b=0.

这里主要应用了函数y=0既是奇函数也是偶函数的性质,在判断加减复合的过程中,将“杂项”变换为常数0,消除它的影响.

三、 复合函数的奇偶性

对于复合函数的奇偶性,也可以用复合法则进行判断.

设函数y=f(t)与t=g(x)分别为复合函数y=f[g(x)]的外层函数(简称外函数)和内层函数(简称内函数),则y=f[g(x)]的奇偶性如表1所示.

表1

由奇函数和偶函数的性质,可知奇函数中自变量带有负号可以向外提出,而偶函数自变量中的负号不能向外提出,即可内消.

因此,可以归纳出判断复合函数奇偶性的方法.首先,判断定义域是否关于原点对称;其次,不论是几层复合函数,一旦有一层为偶函数,则复合函数为偶函数,否则为奇函数.

例7判断下列函数的奇偶性.

(1)f(x)=sin(x3-x);(2)g(x)=cos(x3+x);(3)h(x)=|tanx|.

这种方法方便学生在审题时确定函数的奇偶性,但在处理具体问题时,一定要确认其定义域关于原点的对称性.

四、 函数的局部奇偶性

对于奇(偶)函数平移后得到的新函数,在此将其称为具有局部奇偶性函数,常用分离方法处理这类问题.

例8设函数f(x)=asinx-bx3+1,且f(3)=5,求f(-3)的值.

分析:对于函数f(x)=asinx-bx3+1,其中asinx-bx3为奇函数,y=f(x)的图像可由g(x)=asinx-bx3的图像向上平移1个单位得到.要求f(-3),关键要求出g(-3)的值,而g(-3)=-g(3).显然,g(3)=f(3)-1.

解:设g(x)=asinx-bx3,则f(x)=g(x)+1,所以f(3)=g(3)+1=5.

从而,g(3)=4,g(-3)=-g(3)=-4,则f(-3)=g(-3)+1=-3.

综上可知,要熟练掌握函数的奇偶性,不但要深刻理解奇偶性的定义,而且要能领会奇偶函数的本质特征.

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