陈国良

(江苏省太仓高级中学 215411)

深度学习是一种基于学生理解的学习，强调学习者以高阶思维的发展和实际问题的解决为目标，以整合的知识为学习内容，积极主动地、批判性地学习新的知识和思想，并将它们融入到已有的认知结构中去，并能将已有的知识迁移到新情境解决问题的一种学习．课堂提问是师生交流互动的重要方式，也是促进深度学习的重要手段．正如数学家哈尔莫斯所说“问题是数学的心脏”，问题也是数学教学的心脏，从某种程度上讲，课堂教学的成功与否体现在课堂的提问上．但是，当前部分教师由于新课程理念的缺失，对学生的学情研究不够以及对教学内容的重难点把握不准，在教学中没有适时提出能促进学生思考的问题，或提出的问题并没有触及数学知识的本质，不能有效地将学生已有经验与新知识产生联结，加之留给学生进行思考的时间较短，造成学生对问题的思考往往停留于表层或浅层状态，难以达到深度思考的水平．那么，提出什么样的问题可以促进学生深度学习呢？基于深度学习的内涵特征，笔者认为在深度学习理念下，能整合关键学习内容，能激发学生深层动机，能引导学生自主活动，能推进学生高阶思维培育的贯穿整节课的数学任务或数学问题．

1 指向深度学习的数学问题特征

基于深度学习的内涵特征，有利于导引深度学习的数学课堂问题应具备以下特征：

(1)本质性

指向深度学习的数学问题能够反映数学的本质，数学教学内容的本质通常寓于数学知识的结构体系之中，只有从知识体系的整体架构上进行提问，以结构化的方式引导学生思考，让学生在系统思维的指引下解决问题，进而感悟数学的本质．

(2)指向性

强调问题的指向性，在于深度学习的过程需要引导学生展开方向明确的自主建构，尤其是要超越浅层思维的束缚，运用指向性明确的问题去培养学生的反思思维、批判思维、创新思维等高阶思维．像“是不是”“对不对”这类问题对学生的学习毫无教学价值，“大家还记得指数函数的定义吗？”这类问题也只能唤醒学生大脑中的静态知识，无法推进学生自主建构，更谈不上高阶思维的培养了．

(3)层次性

由于一节课中往往会有一个具有统整性的问题，也就是“大问题”，而大问题往往具有统整性，学生是很难一步到位进行回答的．这就需要教师在教学中根据学情需要，将大问题分解成学生能够解决和思考的子问题，子问题间具有一定的层次性，它们之间是递进关系或平行关系，当学生解决完这些子问题，大问题就得以解决．

(4)实践性

学生学习的过程就是进行分析、思考与探究等一系列学科实践的过程，一个具有实践性的问题可以引导学生深度参与、深度思考与深刻反思，整个问题解决的过程就是学生深度学习的过程，就是学生获取知识、学会学习并通过反思建构自己知识体系的过程．

2 指向深度学习的课堂提问策略

当前数学教学中，存在知识理解浅层性、思维发展低阶性等问题，如认知肤浅，缺少思维支点；知识碎片化，思维不成体系；启发泛滥，缺乏思考空间；思考无序，思维水平处于低位．长期以往，学生将会出现思维固化、懂而不会、会而不精等问题．因此，教师应更新教学理念，改进提问方法，从而提高学生的思维力、学习力，促进学生深度学习．

2.1 追本溯源，在知识本质处提问

美国数学家赫斯说：“问题不在于教学的最好方式是什么，而在于数学到底是什么，如果不正视数学的本质问题，便永远解决不了教学的争议．”教师在教学中应注重深度挖掘教材，引导学生追溯知识的本质和内核，促进学生由表及里不断深入理解知识的本质．

案例1

点到直线的距离公式．

在几何中，距离的本质是两个点集中元素之间距离的最小值，这是认识所有距离的统一视角，也是揭示距离本质的认知方向．所以点到直线的距离的本质应是定点与直线上的任一点之间距离的最小值，由此提出问题：

问题1 点

P

(

x

,

y

)到直线

l

:

Ax

+

By

+

C

=0的距离，实际上是点

P

与直线

l

上的任一动点

Q

之间距离的什么值？学生受问题启发，想到建立函数研究最小值．根据两点间距离公式，可以表示出

PQ

的距离，即接下来，很自然地进行消元的操作(消去

y

或

x

)，构建出关于动点>

Q

的横坐标

x

(或纵坐标

y

)的函数

PQ

=或

PQ

=

此时，一些学生可能会被复杂的结构“吓倒”，教师适时地引导学生思考问题2．

问题2 函数的最值在图象左右平移时会发生改变吗？

该问题引导学生从图象变换的角度来处理函数的最值，学生由此问题会想到借助平移变换研究函数的最小值，从而恰到好处地化解了学生在处理复杂结构时的运算困难．

记它与函数的最小值相同．

令

m

=

Ax

+

By

+

C

，则进一步有(

A

+

B

)

B

g

(

x

)=[(

A

+

B

)

x

+

Am

]+

B

m

．当时，

PQ

取到最小值

上述两个问题都是引导学生从知识的本质上去进行思考，这样的提问能推动学生的数学思维由低阶上升到高阶．

2

.

2 前后关联，在最近发展区提问

皮亚杰认为：随着学习者学习的知识越来越多，就应该让他们认清所学知识之间的联系，主动构建认知图式．深度学习意味着联系与建构，从学生已有认知结构出发，在最近发展区提出新问题，将学生已有认知结构中的知识、方法或活动经验作为新知识学习的先行组织材料，并能够通过一些判断准则与逻辑依据将信息组织成一个结构化的体系，形成一种批判性的认知建构方式与思维方式．教师要认真研究教学内容，找到与学生原有认知结构中的相关知识的关联，促进学生的思维走向纵深．

案例2

平面的方程与研究．问题1 我们知道，平面直角坐标系中，方程

x

+

y

=1表示直线．那么，在空间直角坐标系中，方程

x

+

y

+

z

=1表示什么图形呢？已知空间三点

A

(1,0,0),

B

(0,1,0),

C

(0,0,1)，点

P

(

x

,

y

,

z

)是空间任意一点，试探究点

A

,

B

,

C

,

P

共面的充要条件．分析 设是平面

ABC

的一个法向量，则因为容易验证=(1,1,1)垂直于和所以是平面

ABC

的一个法向量．由此可得

P

∈平面

ABC

⟺直线

AP

⊂平面

ABC

⟺因此，

x

+

y

+

z

=1是平面

ABC

上的点满足的条件，即平面

ABC

的方程．(用数学的思维方式分析问题)

问题2 请你仿照上面过程：

(1)求过点

A

(

a

,0,0),

B

(0,

b

,0),

C

(0,0,

c

)的平面

ABC

的方程，其中

a

,

b

,

c

均是不等于0的常数．(2)已知=(

A

,

B

,

C

)是平面

α

的一个法向量，且平面

α

经过点

P

(

x

,

y

,

z

)，试求平面

α

的方程．(3)已知平面

α

的方程为

Ax

+

By

+

Cz

+

D

=0，证明(

A

,

B

,

C

)是平面

α

的法向量．(4)求证：点

P

(

x

,

y

,

z

)到

Ax

+

By

+

Cz

+

D

=0的距离为

整个过程从学生已有直线的方程出发逐步伸展到平面、平面的方程、向量研究平面的方程、点到平面的距离公式等维度，学生从理解、运用到分析、探究，经历了深度学习，增强了数学思维的深刻性，数学学习的过程也呈现出生长性．

2

.

3 质疑引思，在探究实践处提问

思维往往从疑问开始的，在教学中，教师应注重引导学生对情境中的数学信息进行充分的观察、提取、概括，并联系已有知识经验进行联想、加工，从而使他们产生疑惑，进而发现和提出问题．质疑可以是生生互相质疑，也可以是师生互相质疑，关键是要能够引领学生深度地思考．

案例3

研究直线族(1-

t

)

x

+2

ty

-2=0(

t

∈

R

)的包络线．

为了准确认识直线族的包络线，可以提出以下问题：

问题1 直线

l

:(1-

t

)

x

+2

ty

-2=0(

t

∈

R

)有什么与众不同之处吗？学生会带着这样的问题去思考，怎么会有不同之处？这个不同之处是怎么产生的呢？必然注意到参数

t

，通过取一些

t

将这些直线画出来形成最初的感性认识．为了帮助他们形成理性认识，进一步地提出问题2．问题2 你会求点

P

(1,0)到直线

l

:(1-

t

)

x

+2

ty

-2=0(

t

∈

R

)的距离吗？学生根据点到直线的距离公式可迅速求出点

P

到直线

l

的距离这一问题指向性十分明确，学生完成起来相对轻松，也会质疑——为何要提出这个问题？此时，教师可以继续提出指向性很明确的探究型问题．问题3 是否存在定点

P

(

m

,

n

)到直线

l

:(1-

t

)

x

+2

ty

-2

t

-4=0(

t

∈

R

)的距离为定值？同样地，学生运用点到直线的距离公式可表示出距离

d

关于

t

的函数，即进一步启发：要使

d

为常数，必须满足什么条件？引导学生观察结构，思考恒等，进而得出：当且仅当

m

=2,

n

=1时，

d

=2．

在上述问题的学习基础上，数学直觉思维好的学生能够猜出该直线族的包络线是圆，此时，教师可以引导学生换一个视角去探究．

问题4 曲线

C

是直线族

l

:(1-

t

)

x

+2

ty

-4

t

-6=0(

t

∈

R

)的包络线，求曲线

C

的周长．令

t

=tan

θ

，则直线族(1-

t

)

x

+2

ty

-4

t

-6=0(

t

∈

R

)变形为(

x

- 3)cos 2

θ

+(

y

-2)sin 2

θ

=3，易知曲线

C

即为以(3,2)为圆心、3为半径的圆．

不难看到，在这个问题解决的过程中，通过问题1和问题2让学生不断地质疑，在质疑中形成最初的感性认识，逐步上升至对问题本质的理解——恒等式．问题3超越了问题2的静态表达的浅层认知，而是引导学生在已明确的对象中探寻“动中求定”的奥秘，这是一种高阶思维，而问题4则是在已有成果基础上进行的深度探究．在课堂上，提出层次鲜明的问题，可以很好地调动所有学生主动参与的积极性，有了主动参与就可能发生深度参与，进而发生深度学习．

2

.

4 多维思考，在思维进阶处提问

深度学习意味着迁移与应用，发散思维具有多向性、变异性、独特性的特点，即思考问题时注重多途径、多方案地去思考，解决问题注重举一反三，触类旁通．在课堂上，为了让学生运用不同的知识和方法从不同角度解决同一问题，或对于给出已知条件得出不同结论而合理创设问题情境．通过一题多变、一题多问等方式，来引导学生多维思考，促进思维有效进阶．

案例4

b

g糖水中含糖量为

a

g，现加入

m

g糖，糖水的味道会变得越来越甜．

问题1 能将问题中的不等关系写成不等式吗？

这是学生比较熟悉的“糖水不等式

如果仅仅这样就题论题，就大大弱化了它的教学功能．可进一步发散成问题2．

问题2

b

g糖水中含糖量为

a

g，现加入

m

g水，糖水的味道会变淡，请把此数量关系写成不等式．

一些学生受前面影响，不自觉地写成这显然是不对的，随即找错，得出在这一过程中，学生经历了探索、质疑、激疑、释疑．在学生思维渐趋平稳时，再给出问题3．

问题3

b

g克糖水中含糖量为

a

g，若

m

>0，则不等式表示什么？

这是一个逆向问题，离开了具体情境，它表示什么？这是从抽象到具体的逆向思维，问题没有固定的答案．在上述问题1～3的过程中，学生经历了由具体到抽象、由抽象到具体的双向表征的过程．

问题4 你能根据上述问题编制一个相关命题吗？

问题4的出现给学生的思维提供了一个广 阔的空间，其中交织着学生相互之间的讨论、 交流、辨析等思维活动，学生在问题导向下进行 思考与探索，真正实现了主动地思考，促进了深度学习．

3 结束语

课堂是教学的主阵地、主渠道，通过恰当的数学课堂问题设计，能实现数学学习从知识主线到问题主线、从问题主线到思维主线的转变，把学生在知识获得中学习知识转变为在问题解决中学习知识．这既是数学深度学习赖以发生的孵化器，更是数学深度学习得以维持的助推器．教师要研究课标、研究教材、研究学生，深度挖掘教学内容的教育价值，设计具有思维空间的挑战性的问题，主要以问题链的形式在课堂教学中适时呈现，提升学生的高阶思维能力和思维品质，促进深度学习在课堂教学中真实发生．