324400 浙江省龙游县教育局教研室 徐伟建

324402 浙江省龙游县小南海初中 余 昊

数学“解题模型”通常是指教师在解题教学中发现并总结出的一些结论性认识，它表现为一种能有效解决某类题型的技巧，是课标、教材中知识的进一步拓展、延伸或更加直观的表述

.

数学“解题模型”往往是学生解题时联想的“原型”，是探究问题的固着点，它能够启迪解题方向，帮助学生形成良好的解题直觉，并实现解题经验和方法的有效迁移

.

因此，在日常教学中，以“解题模型”的运用进行专题复习教学深受教师青睐

.

然而，笔者发现，“解题模型”教学中还存在着许多不足之处

.

例如，有的教学“掐头去尾”，采用“模型+练习”的方式，缺少模型提炼与深度拓展的过程，不知模型从何而来，到何处去；有的模型呈现割裂单一，缺少系统架构；有的模型运用机械重复，问题设计缺少层次感；还有的教学在模型运用之后，缺乏思想方法的提炼渗透等

.

种种数学“解题模型”教学的误区，使教学陷入“应试教育”的泥淖

.

那么，如何开展数学“解题模型”教学呢？笔者以“十字架”模型的教学设计为例，探讨“解题模型”教学的四个步骤

.

一、 模型提炼

数学“解题模型”是抽象的，而数学抽象需要学生经历观察、比较、分析、概括等数学学习活动

.

数学概念的抽象需要经历上述过程，数学“解题模型”的形成也是如此

.

“解题模型”的提炼过程，就是探寻模型出处，促进学生认知模型结构的过程

.

问题1

已知：如图1，在正方形

ABCD

中，若

E

，

F

分别是

BC

，

CD

上的点，

AE

⊥

BF.

求证：

AE

=

BF.

问题1为浙教版教材八年级下册“5

.

3正方形(2)”中的习题(P.127第4题)

.

将问题1中的线段

AE

，

BF

位置进行适当平移，可得到如下问题2、问题3

.

问题2

已知：如图2，在正方形

ABCD

中，若

E

，

F

，

G

分别是

BC

，

CD

，

AB

上的点，

AE

⊥

GF.

求证：

AE

=

GF.

问题3

已知：如图3，在正方形

ABCD

中，若

E

，

F

，

G

，

H

分别是

BC

，

CD

，

AB

，

AD

上的点，

HE

⊥

GF.

求证：

HE

=

GF.

图2图3

解析：

对于问题1，可以直接判定Rt△

ABE

≌Rt△

BCF

，证得

AE

=

BF.

对于问题2，添加一条辅助线，构造Rt△

GMF

(如图4所示)，则Rt△

ABE

≌Rt△

GMF

,结论得证，也可以平移

GF

，将问题化归到图1解决

.

对于问题3，添加两条辅助线，构造Rt△

HNE

和Rt△

GMF

(如图5所示)，则Rt△

HNE

≌Rt△

GMF

,结论得证，也可以平移

GF

，

HE

，将问题化归到图1解决

.

设计意图：

问题1源自教材习题，问题2、问题3是问题1的变式

.

以教材习题及其变式题创设问题情境，有两方面的意义：一是让学生体会到“解题模型”根植于教材，探寻到模型的出处；二是为学生提供足够数量的感知材料，便于学生从中发现并提炼出“解题模型”

.

图4图5

完成解题后，引导学生思考下列问题

.

思考题1

观察图1-图3，除了正方形之外，它们都有一个怎样的模型结构？

思考题2

该模型需要具备的条件是什么？结论又是什么？

思考题3

证明结论的方法是什么？

设计意图：

设计三道思考题，重在让学生经历模型的提炼过程

.

思考题1引导学生在观察、比较、分析图1-图3的基础上,形象地感知解题模型——“十字架”模型

.

思考题2引导学生寻找模型具备的条件，即两条线段互相垂直，且垂线段的端点分别在正方形的两组对边上；结论是这两条垂线段相等

.

思考题3证明结论的方法是借助正方形的边和角构造出全等的直角三角形，再运用全等三角形性质得到

.

通过以上问题的探究，促进学生加深对模型结构的认知，为模型的迁移运用奠定基础

.

典型的“解题模型”通常来源于教材，它是教材知识的拓展延伸

.

为此，情境问题应源自教材中的例题、习题，这能让学生体会到模型存在的重要基础，引导学生关注教材

.

模型提炼还应在预设或生成问题的启发引导下，让学生自主探究，发现、提炼模型，辨析模型条件，获得模型结论，掌握证明结论的原理或方法，这些都是模型运用与拓展的前提

.

因此，“解题模型”教学不能忽视模型的提炼过程

.

二、 模型演变

在“解题模型”教学中，应该系统地、联系地看待“解题模型”

.

在进行教学设计时，应进行如下思考：还有没有其他模型可通过该模型演变得到？它们之间存在怎样的联系？变式模型是否也存在着广泛的运用？经过深入思考，系统地梳理模型及其变式，让学生从整体上架构起模型体系

.

例如，通过梳理发现，除了运用于正方形背景中，“十字架”模型在矩形背景中同样有着广泛运用，自然就得到如下的演变模型

.

问题4

已知：如图6，在矩形

ABCD

中，

AB

=8，

BC

=6，点

E

，

F

，

G

，

H

分别在

CD

，

AB

，

AD

，

BC

上，且

EF

⊥

GH.

求的值

.

图6图7

解析：

添加辅助线构造Rt△

EFM

和Rt△

GHN

(如图7所示)，可证得Rt△

EFM

∽Rt△

GHN

，得到

思考：

请你比较矩形和正方形背景中“十字架”模型的条件、结论和证明结论的方法，它们有何区别与联系？

设计意图：

问题4使模型的背景由正方形变成了矩形

.

通过解题后的思考，学生进一步明确在矩形背景中，该模型的条件是两条线段互相垂直(即

EF

⊥

GH

)，且垂线段的端点分别在矩形的两组对边上；结论是这两条垂线段与矩形的边长对应成比例；解题的基本方法是借助矩形的边和角构造出相似直角三角形，再运用相似三角形性质解题

.

三、 模型运用

心理学研究表明，数学模型在获得后若不能得到及时巩固与内化就会被遗忘，因此，运用、巩固模型是十分重要的环节

.

模型的运用应遵循知识发生、发展的逻辑链条，由浅入深、层层递进设计

.

通过模型运用环节，促进学生识别模型，运用模型的基本结论和方法解决新问题，达到学习经验有效迁移的功效

.

问题5

已知：如图8，在正方形

ABCD

中，若

E

，

F

分别是

BC

，

AB

上的点，且

CF

⊥

DE

，过点

E

作

EG

⊥

DE

，使得

EG

=

DE

，联结

FG.

试判断

FG

与

CE

的数量关系和位置关系，并说明理由

.

解析：

FG

∥

CE

，

FG

=

CE.

理由：

根据正方形中的“十字架”模型，可得

DE

=

CF

，因为

EG

=

DE

，

DE

=

CF

，所以

EG

=

CF

;因为

EG

⊥

DE

,

CF

⊥

DE

，所以

EG

∥

CF.

因此，四边形

ECFG

是平行四边形，得到

FG

∥

CE

，

FG

=

CE.

问题6

已知：如图9，在矩形

ABCD

中，

EF

⊥

GH

，与矩形的边相交于点

E

，

F

，

G

，

H

；

BM

⊥

CN

，点

M

，

N

分别在

CD

，

AD

边上，若求的值

.

解析：

利用矩形中的“十字架”模型，由

EF

⊥

GH

，可得再由

BM

⊥

CN

，可得所以因为所以

设计意图：

问题5有一定的综合性，学生既要识别正方形背景中的“十字架”模型，运用其结论和方法，也要结合平行四边形判定与性质解决问题

.

问题6在矩形背景中增加模型个数，图形看似复杂，但若能识别模型，并两次运用模型结论，再进行适当转化，问题不难解决

.

问题5、问题6将完整的“十字架”模型置于较复杂的图形中，增强学生识别、运用模型的能力

.

四、 模型拓展

数学“解题模型”的运用不仅局限于模型的直接运用，还需要适度拓展，通过模型拓展运用，拓宽学生视野，发展学生思维，渗透化归等数学思想方法

.

模型的拓展运用，通常可采用“虚化”模型结构或者“弱化”模型背景等策略，化“全模”为“半模”，引导学生以模型为固着点，展开积极的联想，找到解题方向，使问题化生为熟、化难为易，从而达到从运用模型向构建模型的跨越

.

问题7

如图10，将边长为4的正方形

ABCD

折叠，使得点

A

落在

CD

的中点

E

处，折痕为

FG

，点

F

在

AD

边上，求折痕

FG

的长度

.

图10图11

解析：

根据图形折叠(轴对称图形)的性质——对称轴垂直两对称点的连线段，联结对称点

A

，

E

(如图11所示)，将问题化归到正方形中“十字架”模型，易得结论

问题8

已知：如图12，在四边形

ABCD

中，∠

ABC

=90°，

AB

=

AD

=10，

BC

=

CD

=5，

AM

⊥

DN

，点

M

，

N

分别在

BC

，

AB

边上，求的值

.

图12图13

解析：

根据∠

ABC

=90°，添加辅助线构造矩形

ABEF

，将问题转化为矩形内的“十字架”模型(如图13所示)

.

因为

AB

=

AD

，

BC

=

CD

，联结

AC

，可得△

ABC

≌△

ADC

，∠

ADC

=90°，所以△

CDE

∽△

DAF

，得设

CE

=

x

,则

DF

=2

x

，

DE

=10-2

x

,

AF

=20-4

x

,

BE

=5+

x.

得到20-4

x

=5+

x

，解得

x

=3，

BE

=8，由矩形内的“十字架”模型，易得

设计意图：

对于问题7，直接求出折痕

FG

的长度比较繁琐，通过观察可以发现，线段

GF

的两个端点在正方形的一组对边

BC

，

AD

上，如果另外有一条线段的两个端点在另一组对边上，且与

GF

垂直，就可以利用“十字架”模型解决问题，这就为解题提供了联想的方向

.

依据图形折叠性质，联结对称点

A

，

E

，隐藏的“十字架”模型即浮出水面(如图11所示)，问题迎刃而解

.

问题8虽然具有完整的“十字架”(

AM

⊥

DN

)，但垂线段

AM

，

DN

的端点并不满足在矩形的两组对边上，观察图形特点，借助∠

ABC

=90°，通过添加辅助线构造出矩形背景(如图13所示)，此时，顿有一种豁然开朗的感觉

.

对于模型的拓展运用不能停留在解决问题的层面，还需要适时反思，感悟其中的数学思想方法

.

例如，解题后引导学生再思考以下问题：你为什么会联想到“十字架”模型？你是怎样转化到“十字架”模型的？在转化的过程中，你运用了什么数学思想方法？在反思感悟的过程中，学生自然能深刻感受到化归、类比等数学思想方法的神奇力量，也实现了知识与经验的有效迁移

.

“解题模型”的拓展运用关键在于问题的设计，问题既要有层次性，避免机械重复地讲解与练习，也要有适切性

.

问题并非越难越好，好的拓展题应让学生从题意中联想到“解题模型”，启迪解题方向，形成解题思路，让学生体会到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的成就感和愉悦感

.

这样的拓展运用既能起到固本的功效，让学生体验到模型学习的意义，又能帮助学生积累联想经验，提高解题能力，发展学生思维水平

.

五、结语

数学“解题模型”的教学要让学生经历“模型提炼、演变、运用、拓展”这一完整的学习过程，在过程中让学生探寻模型出处，认知模型结构，架构模型体系，实现从识别模型到构建模型的提升；“解题模型”教学既要注重模型基本结论的运用，也要注重数学思想方法的提炼与渗透，这样才能发挥“解题模型”教学的更大价值

.