温瑞英，刘文瀚，王红勇

(中国民航大学，空中交通管理学院，天津 300300）

0 引言

2022年1月，民航局印发《“十四五”民航绿色发展专项规划》，明确了到2025年中国民航碳排放强度持续下降的发展目标，这为我国民航绿色发展提出了新的要求。研究表明，我国民航飞机油耗和污染物排放呈上升趋势，预计2040年油耗达到峰值11826万t[1]。为实现节能减排的目标，实施编队飞行是一种有效的措施。编队飞行[2]时，后机利用前机尾涡的上洗气流，增大升力，减小阻力，从而节约燃油，达到节能减排的目的。

20世纪90年代开始，国外开始进行密集飞行编队研究。Hartje 等[3-4]使用GPOPS 对编队航线进行优化，计算多机编队时飞机的集结点和分离点，并用算例验证编队飞行的节油效果。2021年，空客公司使用两架A350 飞机进行纵向距离3000 m 的编队飞行试验，将全程耗油量减少了5%。国内，谷润平等[5]使用诱导滚转力矩系数和多目标评估模型优化分析了编队飞行中的最佳编队位置。Hu 等[6]通过选取航班对并假设不同燃油流量减少率百分比，优化编队飞行计划轨迹，分析不同参数影响下的油耗优化效果。上述文献对编队路径规划进行了研究，但对编队飞行中后机的安全性和最优位置考虑不足。

为确保后机安全，要对前机尾涡流场进行研究。在尾涡流场方面，Holzaepfel 等[7]考虑风、湍流等影响，提出与激光雷达探测结果吻合度较高的随机两阶段消散模型。谷润平等[8]使用滚转角速度计算模型评估了尾流的危险区。卢飞等[9-10]以配对进近过程中前机尾涡流场特性和后机遭遇尾流的响应机制为基础，分析了侧向碰撞风险。魏志强等[11-12]研究了民用飞机的尾涡消散机理，并在不同侧风影响下分析了尾涡衰减、涡核速度等参数的变化规律；分析飞机尾涡流场特性，评估高空尾涡的安全性，进行缩短尾流间隔的相关研究。潘卫军等[13]使用滚转力矩模型，分析ARJ21飞机遭遇尾流的安全性和响应机制。上述研究主要侧重于尾涡流场特性分析，并对前、后机的纵向距离进行了大量研究，但对两机之间横向距离和整体危险区域的研究较少。

本文通过计算后机的诱导滚转力矩系数，兼顾横向和纵向距离，分析滚转力矩系数随两机间距离变化的关系。设定安全阈值，得出前机尾涡的危险区域，以期保证在编队飞行中后机的运行安全。并在危险区域研究的基础上，对不同位置处后机的燃油流量减少率进行计算，得出编队飞行时后机的最优位置。

1 快速仿真计算模型

1.1 前机尾涡模型

飞机在空中飞行时，位于翼尖处的气流会从下翼面绕到上翼面，形成两个反方向旋转的涡流。受相互之间诱导作用、重力、大气层结稳定性和大气湍流度等因素影响，尾涡以一定的速度下降并向后运动，强度也在不断减弱。

1.1.1 尾涡初始强度计算模型

飞机的尾涡强度一般使用环量来表示，初始尾涡环量计算公式为

式中：Γ0为前机尾涡初始环量(m2·s-1)；m1为前机质量(kg)；g为重力加速度(m·s-2)；ρ∞为大气的密度(kg·m-3)；v∞为前机飞行的真空速(m·s-1)；b0为翼尖尾涡的初始涡核间距，通常取πB1/4，B1为前机的翼展(m)。

1.1.2 随机两阶段消散模型

随机两阶段消散模型(Probabilistic Two-Phase Wake Vortex Decay,P2P)将尾涡的消散分为扩散阶段和快速衰减阶段。该模型使用涡核半径5～15 m处的平均环量作为该尾涡的环量。

扩散阶段无因次尾涡环量为

式中：为涡核半径5～15 m无量纲尾涡环量均值(基准环量Γ0)；R*为无量纲的尾涡平均半径(基准长度b0)；v1*为扩散阶段有效粘度因数；A为调节(t*)的常数；t*为无量纲尾涡消散时间，对应t*=0 时的无量纲时间(基准时间t0=)，反映此时尾涡的结构。

尾涡消散的第2阶段为尾涡快速衰减阶段，在此阶段环量迅速减小，无因次计算公式为

式中：T2*为尾涡快速衰减阶段起始时间；v*2为快速衰减阶段有效粘度因数。T2*与v*2均与气象条件有关。

1.2 后机安全评估模型

1.2.1 坐标系的建立

将前机看做一个质点，以前机为原点；前机的纵轴为x轴，正方向指向前机后方；前机的横轴为y轴，正方向指向前机右方；前机的竖轴为z轴，正方向指向前机上方，建立坐标系如图1所示。设前机尾涡左、右涡核的坐标分别为(x1,y1,z1)、(x2,y2,z2)。后机与前机的纵向距离为x0，横向距离为y0，垂直距离为z0。

图1 坐标系Fig.1 Coordinate system

1.2.2 诱导速度计算模型

根据Hallock-Burnham 涡模型，前机尾流对空间任一点(x,y,z)产生的水平诱导速度和垂直诱导速度分别为

式中：vy为水平诱导速度(m·s-1)；vz为垂直诱导速度(m·s-1)；Γ1和Γ2分别为左、右涡尾涡强度；rc为涡核半径(m)。

1.2.3 后机诱导滚转力矩系数模型

当后机受到前机尾流影响时，气流会对飞机的上翼面和下翼面产生力的作用，最后形成诱导滚转力矩，从而影响飞机的安全。在气流的影响下，后机机翼的升力变化为

式中：ΔL为升力变化量(N)；vf为后机的真空速(m·s-1)；y3为后机左翼坐标；y4为后机右翼坐标；vz(y)为尾涡对后机机翼剖面的垂直诱导速度(m·s-1)；为升力线斜率；C(y)为翼弦弦长(m)。

将式(5)沿翼展方向进行积分，并无量纲化处理，可以得到诱导滚转力矩系数为

式中：λ为梢根比；B2为后机的翼展(m)。

1.3 后机燃油流量减少率

巡航阶段后机的燃油流量与真空速和推力有关，巡航时推力与阻力相等。后机的阻力系数为

式中：CDm、CDn分别为不受、受到前机尾涡影响下的阻力系数；CD0和CD2为特定常数；m2为后机的质量(kg)；S为后机翼面面积(m2)。

后机燃油流量的减少率为

式中：Δf为燃油流量的减少率。

2 编队飞行前机尾涡危险区域分析

本文前、后机均以B737-800为例，对编队飞行中前机尾涡的危险区域和后机最优位置进行研究。

2.1 后机诱导滚转力矩系数

设后机发生逆时针滚转时，诱导滚转力矩系数为正。图2给出了飞行高度为12000 m、马赫数为0.78时，后机诱导滚转力矩系数随纵向距离和横向距离的变化关系。

图2 CR 与纵向距离和横向距离的关系图Fig.2 Diagram of CR relative to longitudinal and transverse distances

2.1.1 横向距离对诱导滚转力矩系数的影响

图3表示在纵向距离3000 m，不同横向距离处，气流产生的垂直诱导速度情况，以向下的诱导速度为正，粗实线代表后机，实心圆代表左右涡核。图4表示纵向距离为3000 m时，不同高度和速度情况下诱导滚转力矩系数随横向距离的变化规律。

图3 不同横向距离气流的垂直诱导速度Fig.3 Vertical induced velocity of airflow at different transverse distances

当后机与前机的横向距离为0 时，如图3(a)和图4中a 所示，两涡上、下洗气流对后机左、右机翼的垂直诱导速度大小相同，后机不会发生滚转。

随着横向距离增加，如图3(b)和图4中b所示，左涡的下洗气流对后机机翼的垂直诱导速度从左到右逐渐减小。右涡的上洗气流对后机右翼的垂直诱导速度增大，下洗气流对后机右翼的垂直诱导速度减小，对左翼的垂直诱导速度增大。此时后机有发生逆时针滚转的趋势，诱导滚转力矩系数不断增加。

当后机位于右涡涡核附近时，受到气流影响如图3(c)和图4中c 所示。此时后机的诱导滚转力矩系数达到最大值。

图4 不同高度和速度下CR 与横向距离的关系Fig.4 Diagram of CR relative to transverse distances at different flight altitudes and speeds

横向距离继续增加，如图3(d)和图4中d 所示。左涡下洗气流对后机机翼的垂直诱导速度从左到右逐渐减小，右涡上洗气流对后机左翼的垂直诱导速度增大、对右翼的垂直诱导速度减小，下洗气流对后机左翼的垂直诱导速度减小。此时后机有发生顺时针滚转的趋势，诱导滚转力矩系数为负。随着横向距离的继续增加，尾涡对后机的影响减小，诱导滚转力矩系数无限趋向于0。

由图4可知，飞行高度越高，诱导滚转力矩系数峰值越高，后机需要更大的横向距离保证安全。飞行速度越大，诱导滚转力矩系数峰值越低，后机在较小的横向距离下即可保证安全。

2.1.2 纵向距离对诱导滚转力矩系数的影响

后机位于涡核中心时，不同高度和速度情况下诱导滚转力矩系数随纵向距离的变化关系如图5所示。可以看出，随着纵向距离的增加，诱导滚转力矩系数先缓慢减小，后快速减小，诱导滚转力矩系数的转折点与尾涡消散过程的T2时刻相对应，在T2之前对应扩散阶段，T2之后对应快速衰减阶段。

图5 不同高度和速度下CR 与纵向距离的关系Fig.5 Diagram of CR relative to longitudinal distances at different flight altitudes and speeds

飞行速度相同时，T2时刻之前，随着飞行高度的增加，后机的最大诱导滚转力矩系数增大；随着纵向距离的增大，诱导滚转力矩系数减小的越快，且先达到诱导滚转力矩系数的转折点，之后力矩系数迅速减小，最先减小为0。如飞行马赫数为0.78时，飞行高度12000 m、纵向距离3000 m 处诱导滚转力矩系数为0.039，当纵向距离为26 km 时，诱导滚转力矩系数为0，后机不再受前机的影响；飞行高度为11000 m、纵向距离3000 m处诱导滚转力矩系数为0.034，当纵向距离为32 km 时，诱导滚转力矩系数为0，后机不再受前机的影响。这是因为高度越高，尾涡初始强度越强，越早进入快速衰减阶段，尾涡的消散速率越快。

飞行高度相同时，T2时刻之前，随着飞行速度的增加，后机的最大诱导滚转力矩系数减小；随着纵向距离的增大，诱导滚转力矩系数减小的越慢，较晚到达诱导滚转力矩系数的转折点，最后减为0。如飞行高度12000 m 时，飞行马赫数为0.69、纵向距离3000 m 处诱导滚转力矩系数为0.049，当纵向距离为21 km时，诱导滚转力矩系数为0，后机不再受前机的影响；飞行马赫数为0.78 时，纵向距离3000 m 处诱导滚转力矩系数为0.039，当纵向距离为26 km时，诱导滚转力矩系数为0，后机不再受前机的影响。这是因为速度越大，尾涡初始强度越小，越晚进入快速消散阶段，尾涡消散的速率越慢，其对后方的影响距离越长。

2.2 前机尾涡危险区域

飞行高度12000 m、马赫数0.78、纵向距离3000 m时，后机诱导滚转力矩系数随垂直距离和横向距离的变化关系如图6所示。根据研究[14]，飞机仅使用副翼的滚转控制权限最大值为滚转力矩系数0.05～0.07，预留一定的安全裕度，取安全阈值为0.03[5]，生成以此为边界的危险区域，如图6中虚线矩形。飞行高度12000 m，马赫数0.78时，前机尾涡的危险区域如图7所示。随着纵向距离的增加，矩形危险区域高度下降并且向中间收缩直到消失。这是由于前机涡核的下沉运动使得危险区域的中心不断下降；尾涡强度不断减小，后机受到的诱导滚转力矩系数不断减小，危险区域不断减小。

图6 CR 与垂直距离和横向距离的关系Fig.6 Diagram of CR relative to vertical and transverse distances

图7 前机尾涡危险区域Fig.7 Hazard area of lead aircraft wake vortex

2.2.1 纵向距离对危险区域上下边界的影响

不同高度和速度下，前机尾涡危险区域上下边界随纵向距离的变化关系如图8所示。飞行高度为9000 m 时，最大诱导滚转力矩系数未达到0.03，此时无危险区域。随着纵向距离的增加，危险区域的上下边界间距离先缓慢减小、后快速减小，这是由于尾流进入快速衰减阶段，尾涡强度快速减小，后机不需要太大的垂直距离即可保持安全。

图8 不同高度和速度下，危险区域上下边界与纵向距离的关系Fig.8 Relationship between upper and lower boundaries of hazard area and longitudinal distance at different heights and speeds

高度越高、飞行速度越小，危险区域高度下降越快，这是由于高度越高、飞行速度越小，涡核的下沉速度越大。飞行高度越高、速度越小，危险区域上下边界间距离越大。为保证编队飞行中后机的安全，需要更大的横向距离或者垂直距离。

2.2.2 纵向距离对危险区域左右边界的影响

不同高度和速度下，危险区域左右边界随纵向距离的变化关系如图9所示。危险区域左右边界的距离随着纵向距离的增加先缓慢减小，后快速减小。这个变化与尾涡的消散过程相一致，快速减小是由于尾涡进入快速消散阶段，尾涡强度快速减小。

图9 不同高度和速度下危险区域左右边界与纵向距离的关系Fig.9 Relationship between left and right boundaries of hazard area and longitudinal distance at different heights and speeds

高度越高，危险区域左右边界的距离越大。随着纵向距离的增加，危险区域左右边界的距离逐渐减小。速度越大，危险区域左右边界的距离越小；危险区域消失时所需的纵向距离越大。

2.2.3 风对危险区域的影响

高空风对尾流的消散和运动过程有着显著影响，主要包括顺、顶风和侧风方面。取平流层风速为10 m·s-1和20 m·s-1。飞行高度12000 m、马赫数0.78时，不同风速的左侧风对前机尾涡危险区域的影响如图10所示。在左侧风的影响下，危险区域随着纵向距离的增加不断右移，风速越大，危险区域的偏移量越大；危险区域消失时的纵向距离基本不变。在10 m·s-1侧风的影响下，危险区域消失时偏移了600 m；20 m·s-1侧风影响下的偏移量是10 m·s-1情况下的2倍。这是由于涡核在左侧风的影响下，不断右移的原因。在飞行过程中遭遇右侧风与遭遇左侧风造成的影响刚好相反。

图10 左侧风对危险区域的影响Fig.10 Effect of wind from left on hazard area

飞行高度12000 m、马赫数0.78时，相同风速的顺、顶风对前机尾涡危险区域的影响如图11所示。在顶风的影响下，危险区域的纵向距离缩小，对危险区域左、右边界的距离没有显著影响。这是因为，本质上尾流的消散情况取决于时间，时间与前机的速度相乘便得到了前、后机所需要的纵向间隔。顶风飞行时，相同时间内，前机飞行的距离短，此时危险区域的纵向距离比较短，顺风飞行与之相反。

图11 顺风和顶风对危险区域的影响Fig.11 Effects of downwind and headwind on danger zone

3 编队飞行后机最优位置

飞行高度12000 m、马赫数0.78时，后机燃油流量减少率随前后机之间纵向距离和横向距离的变化关系如图12所示。

图12 Δf 与纵向距离和横向距离的关系Fig.12 Diagram of Δf relative to longitudinal and transverse distances

3.1 横向距离和纵向距离对燃油流量减小率的影响

不同飞行高度和速度下，纵向距离3000 m处，后机燃油流量减少率随前、后机之间横向距离变化的关系如图13所示。当横向距离为0时，燃油流量减小率为负；随着横向距离增加，燃油流量减少率先增加后减少最后趋向于0。飞行速度越小，高度越高，燃油流量减小率的峰值越高，即此时的省油效果越好。

图13 不同高度和速度下Δf 与横向距离的关系Fig.13 Diagram of Δf relative to transverse distances at different flight altitudes and speeds

不同高度和速度下，横向距离30 m处，后机燃油流量减少率随前、后机之间纵向距离变化的关系如图14所示。可以看出，后机燃油流量减少率随纵向距离的增加而减少。同时后机燃油流量减少率与尾涡强度的变化有关；在T2时刻之前，后机燃油流量减少率缓慢减少；T2时刻之后，后机燃油流量减少率快速减少。飞行高度越高、速度越小，T2时刻之前，后机燃油流量减小率越大，随纵向距离增加其减小速度越快，并越早减为0。

图14 不同高度和速度下Δf 与纵向距离的关系Fig.14 Diagram of Δf relative to longitudinal distances at different flight altitudes and speeds

3.2 后机最优位置

不同高度和速度下，纵向距离3000 m时，编队飞行后机的最优位置如表1所示。可以看出，不同飞行高度和速度情况下，前、后机之间最优横向距离相同。飞行高度越高、速度越小，前、后机之间的垂直距离越大。由于后机与前机涡核在同一高度上时，尾涡气流只产生垂直诱导速度，后机燃油流量减少率才能达到该纵向距离处的最大值，因此前、后机之间的垂直距离与涡核下沉距离有关，涡核下沉速度越快，该纵向距离处前、后机之间的垂直距离越大。

表1 纵向距离3000 m处不同高度和速度下编队飞行后机最优位置Table 1 Optimal position of trailing aircraft in formation flight at different altitudes and speeds at a longitudinal distance of 3000 meters

飞行高度12000 m、马赫数0.78、纵向距离3000 m时，不同风影响下的编队飞行后机的最优位置如表2所示。在侧风的影响下，前、后机之间的横向距离增加，其他均不发生变化；在顺风的影响下，前、后机之间的最大燃油流量减少率增加，横向距离不变，垂直距离减小；顶风的影响与之相反，最大燃油流量减少率减少，垂直距离增加。

表2 纵向距离3000 m处不同风影响下编队飞行后机最优位置Table 2 Optimal position of trailing aircraft in formation flight under different wind influence at a longitudinal distance of 3000 meters

4 结论

本文使用P2P 模型、H-B 涡模型和诱导滚转力矩系数模型，兼顾前、后机之间的横向和纵向距离，对后机受到的诱导滚转力矩系数进行刻画，分析后机诱导滚转力矩系数的演变规律。根据安全阈值，计算前机尾涡危险区域，研究飞行高度、速度和风对危险区域的影响。并在此基础上对后机燃油流量减少率进行计算，得到不同情况下编队飞行后机最优位置。

研究结果表明：在高空中，后机诱导滚转力矩系数随着横向距离的增加，先增加，后减小，再增加，最后无限趋近于0；随着纵向距离的增加，先缓慢减小再快速减小。高度越高、速度越小，诱导滚转力矩系数的峰值越高，减小的越快；前机危险区域受到飞行高度和速度的影响，高度越高、速度越小，初始危险区域越大；随纵向距离的增加，危险区域左右边界的距离不断减小，危险区域不断下降。侧风会使危险区域发生侧向偏离，顶风使危险区域的纵向距离减小，顺风使危险区域的纵向距离增加。飞行高度12000 m、马赫数为0.78、纵向距离3000 m 时，后机最优位置为前后机之间横向距离30 m 或-30 m，垂直距离29 m。侧风影响下，最优位置的横向距离会增加；顺风影响下，最大燃油流量减少率增加，最优横向距离不变，垂直距离减少；顶风与之相反。