沈 超， 张 愿， 李遇春

(同济大学 土木工程学院, 上海 200092)

门式框架是一种常见的工程结构型式，门式框架横梁可能受到周期荷载的作用，如电机转子的不平衡产生的周期荷载等。当周期荷载的频率约等于结构(或子结构)自振频率的两倍时，结构系统可能发生动力失稳或参数共振[1]。与普通共振[2]不同，参数共振属于非线性共振现象，外周期荷载作用方向与结构振动方向垂直，参数共振时，微小的激励会引发大幅度的动力响应，其危害性巨大。门式框架结构一般在其平面内具有比较大的刚度，但其平面外刚度一般较小，更容易发生参数共振或动力失稳。

关于结构的参数共振研究，Xie、Bolotin[3]与Majorana等[4]研究了不同支撑条件下单跨梁的参数振动问题；Mishra等[5]研究了横向裂纹梁的参数失稳问题；Fu[6]研究了耦合摆梁系统的参数共振问题，并给出其动力学轨迹；Carboni等[7]等研究了在面内激励的非线性压电梁的参数共振问题；Catellani等[8]采用Galerkin法分析了具有几何缺陷的圆柱壳参数不稳定性问题；钟子林等[9]对矩形薄板的参数共振失稳进行了理论与试验分析。

当结构由多个构件组成时，结构系统会产生所谓的自参数共振。Tondl等[10]给出了自参数共振的定义，当结构由两个子系统组成时：一个子系统称为主系统；另一个子系统称为次系统，主系统在外部周期荷载的作用下产生振动，那么主系统的振动将作为次系统的参数激励，这种次系统在主系统振动激励下的参数共振称为自参数共振。在自参数共振系统中，当次系统的固有频率约为主系统固有频率的1/2时，自参数系统中存在着自参数内共振现象，即当外力的激振频率接近主系统的固有频率时，主系统会产生一个普通的共振，而主系统的共振会激发次系统的参数共振，这就是所谓的自参数内共振，自参数内共振是自参数振动中最危险的一种，可能给结构系统带来灾难性的后果。Xia等[11]研究了斜拉梁系统的自参数振动；陈丕华等[12]对斜拉索的面内参数振动进行了理论和试验研究；王涛等[13]对大跨度铁路斜拉桥索-梁的共振与参数共振问题进行了数值模拟分析；Li等[14-15]利用数值和试验方法研究了框架结构的自参数共振问题。

现有研究主要集中在梁、壳体和斜拉索桥等结构，且多为平面内失稳。关于门式框架结构平面外的动力失稳(参数共振)问题的研究尚未见到相关文献报道。本文拟采用试验方法研究门式框架结构平面外的动力失稳问题，鉴于目前的参数振动试验一般采用接触式的激振器，约束了结构的位移，难以激发结构系统的内共振现象，本文将采用一种新型的非接触式激振方法用于激发门式框架的自参数内共振，通过试验分析门式框架结构出平面外的动态失稳的发生机理并探索其产生共振的不稳定区域，可为工程设计提供参考依据。

1 试验研究

1.1 试验模型设计

本试验拟研究门式框架结构出平面外自参数内共振和非内共振两种共振工况。试验采用铰接式门式框架(见图1，坐标如图1所示)，即门式框架横梁的两端与框架柱铰接， 将门式框架横梁视为主系统，两个柱视为次系统。设门式框架的横梁与柱的自振频率分别为fHL与fSL，作用在横梁中点上的周期荷载频率为f，当f=2fSL，但fHL≠2fSL时，横梁传递给柱的轴力频率为柱弯曲振动频率的二倍，这时柱将发生z方向自参数共振(为非内共振情形)；当f=fHL=2fSL时，外激励荷载将激发横梁的普通共振，由横梁的普通共振导致柱在z方向的参数共振，此为内共振情形。

为研究平面外自参数共振特性，要保证主系统的受迫振动和其引起的次系统的参数共振不在同一平面内，本试验设计了如图1所示的门式框架结构模型，其中横梁(以下简称HL)和两个柱(以下简称SL)所在平面垂直。HL和SL采取铰接方式，连接处用合页连接，SL可沿HL的端部截面自由旋转。SL的另一端通过夹具固定在刚性底板上，模拟固支边界条件。选用不锈钢作为模型材料，其密度为7 850 kg/m3，泊松比ν=0.3，弹性模量E=1.549×1011Pa。

自参数内共振和非内共振模型分别如图1(a)及图1(b)所示。在图1(a)中为了保证HL局部(y方向)振动频率fHL大致为SL出平面外(z方向)振动频率fSL的两倍，在HL中间设置了36 g的磁铁作为集中质量进行调频，可得fHL≈2fSL；在图1(b)中为了使fHL≠2fSL，在两个SL的顶部分别设置144 g的集中质量(磁铁)调频，可使fHL远离2fSL。

1.2 试验设备

本试验的工作设备包括激振系统和数据采集系统两个部分，试验设备与模型示意图如图2所示，试验设备照片如图3所示。

1.2.1 激振系统

试验的激励信号由信号发生器(型号为：EM32003B)产生，该信号发生器有较高的数字调频分辨率和频率稳定度，主波形输出频率为1 μHz～5 MHz，拥有多种基本波形，本试验中采用正弦波；正弦信号被发送给功率放大器(型号为：GF100)放大后，提供给激振器使电磁激振器产生激振力；为保证主系统振动时位移不受激励装置约束，本试验中采用DJ-20型非接触式电磁激振器对横梁中点进行非接触激振。本试验中非接触式的电磁力难以直接测量，本文可测量激振点处的位移，可将这个位移看成激励位移，事实上可根据结构动力学原理，可将这个激励位移转化成等效的激励力。

1.2.2 数据采集系统

试验采用激光位移传感器(型号为：HL-G112-S-J)进行测点的位移信号捕捉，位移信号由数据采集仪(型号为：INV306N)采集后传输至电脑，对应使用的数据处理软件为Coinv DASP V10(以下简称DASP)，DASP是一个数据采集和信号处理软件，具有波形、频谱分析以及数字信号处理等多种功能，通过DASP可以实时观测和记录模型的振动位移数据。试验中可同时测量横梁中点y方向的位移(可看成位移激励)及柱中点z方向的位移。

1.3 模态分析

开始试验前需对模型结构进行模态分析，研究结构动力特性。本文采用ANSYS软件进行理论模态分析和试验模态分析结合的方式，对比验证得到各模态的模态振型、固有频率和阻尼比。

1.3.1 ANSYS计算模态

使用ANSYS建立模型，进行模态分析，自参数内共振模型和自参数非共振模型的分析结果如图4和图5所示， 两个模型的一阶振型均为出平面外(z方向)整体振动(实为柱的振动)，二阶振型为横梁上下(y方向)局部振动。对应的计算频率如图中所示。

1.3.2 试验模态

用“自由衰减法”测定门式框架各部分的自振频率及阻尼比系数，即在结构上施加一个初位移，使结构发生自由衰减振动。根据ANSYS计算的模态结果，分别对结构施加水平初位移和对HL施加竖向初位移测量一阶、二阶自振频率及阻尼比系数。在HL和SL中点处放置激光位移计，记录衰减振动位移时程曲线，对位移时程曲线进行FFT分析后，可得到的频响函数曲线，在频响函数曲线中读取的振幅峰值对应的频率即结构的自振频率；根据衰减位移曲线可得到对应阻尼比系数，具体测量方法可参见2017年Li等的研究。经过五次测量，得到实测频率的平均值，将两模型的实测值与ANSYS计算的理论值列于表1和表2，可见频率的实测值与理论值吻合度良好。

表1 自参数内共振模型自振频率与阻尼比

表2 自参数非内共振模型自振频率与阻尼比

2 试验结果

2.1 自参数内共振试验

本模型中HL作为主系统，SL作为次系统，横梁自振频率比较接近二倍的柱自振频率，即fHL≈2fSL。试验时调节支架并固定电磁激振器，使激励源正对横梁中部，并在HL和SL的中点处分别放置激光位移计，记录位移数据。根据频率测量结果，设置激振频率为f=7.50 Hz，即满足f≈fHL≈2fSL，保持频率不变，逐渐增大激励，直到结构发生动力失稳，记录下失稳的整个过程。图6～图8为模型动力失稳过程中HL和SL的位移时程曲线，因为HL的位移响应幅值在之后近似保持稳定在3.13 mm左右，此处仅展示0～15 s的曲线，并截取0～2 s曲线如图7所示，从图7可以明显看到开始时HL的位移响应幅值在短时间内线性增长，为典型的普通共振曲线，表明HL在外部激励作用下发生了普通共振，将共振的稳态激励振幅3.13 mm(见图7)可看成是SL参数共振的位移激励幅值。图8显示在HL共振产生的位移激励作用下，SL的位移响应非线性(指数)增长，在SL的位移时程曲线中截取30个周期，计算出SL的响应频率为3.75 Hz，其响应频率为激励频率f=7.50 Hz的一半，说明SL发生了主参数共振。且SL的位移响应增长经历了较长一段时间，在57 s后幅值达到稳定，开始进行稳态运动，这种稳态运动称为参数共振的“极限环运动”。整个自参数内共振失稳的过程可以见链接视频https:∥www.bilibili.com/video/BV12A411g71w。

2.2 自参数非内共振试验

与自参数内共振试验相似，根据试验测量结果，柱(一阶)振动频率fSL=2.80 Hz，设置激振器激励频率f=2fSL=5.60 Hz，得到的HL和SL的位移时程曲线分别如图9和图10所示，截取0～5 s内HL的位移时程曲线如图9所示，得到HL响应频率为5.60 Hz，说明HL在外激励作用下受迫振动，其中HL振幅近似为5.54 mm作为SL振动的位移激励。图10显示SL位移幅值非线性增长后达到稳定，进行稳定的“极限环运动”，其响应频率为2.80 Hz，等于结构一阶自振频率，且为激励频率的一半，说明SL在HL位移激励的作用下发生了主参数共振。该工况中结构发生动力失稳的全过程可见链接视频https:∥www.bilibili.com/video/BV1J5411g7EE。

2.3 不稳定边界测量和对比

根据非线性动力学的理论，当激励频率f在次系统自振频率(fSL)2倍附近时，激励位移大于失稳的激发值时，才会触发结构的自参数共振，因此存在使得结构刚好失稳的临界频率-振幅，即不稳定边界。为测量不稳定边界，可以在2fSL附近设置扫频区间，从低频到高频对结构逐次施加周期性激励，对同一频率的激励，从小到大逐渐增加激励幅值的大小，直到柱结构产生动力失稳。当激励振幅较大时，动力失稳的现象十分明显，柱会发生大幅剧烈振动，激励频率越接近2fSL，临界激励振幅越小。试验中，观察到柱振动幅值较大，且响应频率与激励频率满足1 ∶2的关系时，认为结构发生了自参数共振。

首先进行自参数内共振模型的不稳定边界测量。已知fSL=3.74 Hz，因此设置扫频区间为7.45 Hz～7.59 Hz，步长为0.01 Hz进行扫频试验，位移激励的幅值按图7的方式近似读取。测得边界上的激励频率f-激励振幅A如表3所示，将得到的数据散点绘制成图并进行曲线拟合，得到实测激励频率f-激励振幅A的散点及拟合结果如图11所示。

表3 内共振模型不稳定边界测量结果

同理，对于自参数非内共振模型的不稳定边界测量，已知fSL=2.80 Hz，设置扫频区间5.55 Hz～5.65 Hz进行扫频试验，步长为0.01 Hz，测得的激励频率f-激励振幅A如表4所示，并进行曲线拟合，得到实测激励频率f-激励振幅A点及拟合结果如图12所示。

表4 非内共振不稳定边界测量结果

对比图11和图12，自参数内共振的动力不稳定域明显更宽，即在较大一段频率区间内都可能发生动力失稳，实际上自参数内共振工况下的振幅是由HL共振引起的，所需外激励力比非内共振(HL为一般的强迫振动)要小很多(这一问题的理论说明见2021年Li等的研究，此处不再赘述)，表明自参数内共振具有更大的危害性。

3 结 论

本文通过试验的方法研究了(铰接式)门式框架结构平面外动力失稳问题，分别对门式框架结构自参数内共振和非内共振模型进行了试验分析。试验结果表明:

(1)在门式框架结构中，在横梁上施加相当于柱自振频率两倍的周期性激励时，横梁的振动会作为参数激励引起柱在垂直于作用力的平面内发生主参数共振失稳，即发生自参数共振，且在自参数共振失稳后，柱位移响应呈非线性(指数)增长，最后趋向于“极限环运动”，振幅维持稳定。

(2)当门式框架发生自参数内共振时，横梁发生普通共振，位移响应呈线性增长后稳定在某个值，这个值作为参数激励能够激发柱在垂直于外激励的平面内发生主参数共振，且柱位移响应呈非线性(指数)增长，柱参数振动的增长滞后于横梁普通共振的增长，说明参数共振存在能量积攒的过程。

(3)对比门式框架结构自参数内共振和非内共振的不稳定边界，发现自参数内共振的动力不稳定区域更宽，即更易发生动力失稳。

自参数共振尤其是自参数内共振对门式框架结构的动力稳定性影响极大，在工程设计中应结合不稳定区域考虑在使用过程中结构是否存在失稳风险，并通过调整结构参数对其进行规避，减少门式框架结构动力失稳的发生。