祁亚运， 戴焕云， 桑虎唐， 干 锋

(1. 重庆交通大学 机电与车辆工程学院, 重庆 400074;2. 西南交通大学 牵引动力国家重点实验室, 成都 610031)

地铁车辆由于自身线路的原因，小半径曲线众多，造成车辆曲线通过性能较差，车轮磨耗严重[1-2]。但由于轨道车辆转臂节点定位参数的影响，其直线稳定性和曲线通过性能是一对矛盾点。转臂节点参数对于车辆动力学性能和轮轨磨耗都有重要的影响，因此，转臂定位节点参数优化能够对地铁车辆运行性能提升具有重要意义。

变刚度转臂节点是一种能够提高车辆曲线通过性能和直线稳定性的节点，何灼馀[3]对于高速动车组的频变的特性对于动力学的影响进行分析。张隶新等[4]采用变刚度转臂定位节点应用于城际动车组，有效提高了其动力学性能。祁亚运等[5]采用Poynting-Thomson(PT)模型仿真变刚度转臂节点的频变特性，将其用于地铁车辆的变刚度转臂节点定位节点，并仿真其对于磨耗性能的影响。但这些模型中采用的PT模型参数都是厂家给出的特定值，并未对地铁车辆的参数进行匹配设计，在用于地铁车辆时，需要进一步优化其变刚度转臂点个节点参数，得到适用于地铁车辆的PT模型参数。

国内外学者通过对轨道车辆悬挂系统进行优化设计，主要是提高动力学性能和减小轮轨磨耗。Mousavi Bideleh等[6-7]采用半主动控制策略对于一系悬挂系统控制提高车辆动力性能。 Nejlaoui等[8]通过建立车辆动力学模型，利用遗传算法和蒙特卡洛算法进行悬挂参数优化提升车辆通过小曲线的舒适度和安全性系数。 Johnsson等[9]利用建立多体动力学模型优化转向架悬挂参数来提高动力学性能和舒适度。Mousavi Bideleh等[10]通过遗传算法优化转向架悬挂参数的帕累托解以减小车轮磨耗和提升旅客舒适度，结果表明，使用非对称悬挂系统，车辆在曲线上的的性能可以得到明显的改善。He等[11]通过建立一个21自由度的车辆动力学模型，利用遗传算法优化了轨道车辆曲线通过性能，数值结果表明，与悬挂和惯性参数集相比，几何参数集对曲线通过性能的影响最为显著。随后采用多目标优化策略进一步提升车辆动力学性能[12]。Gong等[13]分析了由于轮轨磨耗引起的抖车问题，并通过测试和仿真分析了钢轨打磨对于高速动车组抖振现象的抑制，利用悬挂参数优化有效减小了车体抖振。解欢等[14]采用混合代理模型，并以稳定性、安全性和平稳性指标为优化目标进行悬挂参数优化。廖英英等[15]通过对高速车辆一系和二系悬挂参数优化以提高其动力学性能。王蔚等[16]采用小生境的遗传算法，优化目标设置时考虑了低锥度和高锥度下动力学性能，优化后悬挂参数进一步提高了高速动车组的稳定性。以上模型都通过悬挂参数优化和控制来提升车辆动力学性能，但并未对变刚度动力学模型进行优化，提升其动力学模型和运行性能，采用KSM-PSO(Kriging surrogate model-particle swarm optimization)算法可以有效地提高优化效率。

本文首先建立基于动刚度转臂节点的地铁车辆动力学模型，然后建立动刚度转臂节点模型，并采用KSM-PSO算法对动刚度节点参数进一步优化。最后对优化前后的节点参数进行动力学分析和车轮磨耗分析，验证优化后动刚度节点参数的性能。

1 变刚度转臂节点地铁车辆动力学模型

1.1 变刚度转臂定位节点建模

转臂定位节点通常是由橡胶件组成，具有较大刚度，起到连接构架和轮对的作用，对于直线稳定性和曲线通过性能具有重要影响。地铁车辆转臂定位装置如图1所示。德国Freudenberg Schwab公司开发了具有变刚度特性的转臂定位节点，变刚度转臂定位节点模型考虑了其频变特性，在直线轨道上表现为硬特性；在曲线上表现为软特性，实现了刚度的自适应调节功能。本节采用PT模型模拟该变刚度定位节点的非线性特性，PT模型如图2所示。图2中：kc和c分别为串联刚度和串联阻尼；ks为并联刚度；x0和xc分别为位移。模型的具体参数如表1所示。

变量数值并联刚度ks/(MN·m-1)4串联刚度kc/(MN·m-1)36串阻尼系数c/(kN·s·m-1)2 350

PT模型中，x0=Asin(ωt)，A为激扰幅值，ω为激扰频率。由于惯性力很小，可以忽略不计，且右侧为串联结构，故有弹簧力大小等于阻尼力大小，即有

(1)

可解得

(2)

进而可得右侧结构受力为

(3)

左侧串联结构的受力为

F2=ksx

(4)

(5)

等效刚度

(6)

等效阻尼

(7)

图3给出了节点参数对其动态刚度的影响关系：阻尼c与频变特性最为相关，随着阻尼的增大，刚度值会随频率增大越快收敛于刚度上限值，换言之，阻尼越大动态刚度对频率变化越敏感；并联刚度ks和串联刚度kc决定了动态刚度的限值，变化范围为[ks,ks+kc]。

1.2 车辆模型建立

建立我国地铁车辆的动力学模型，采用LM踏面，转臂节点采用考虑变刚度转臂节点，利用SIMPACK中86号力元。主要选取1个车体，2个构架、4个轮对与8个轴箱构成车辆模型。考虑轮对和转向架之间的一系钢弹簧和一系垂向减振器作用，二系悬挂主要考虑空气弹簧、横向止挡等的作用，横止挡力学特性如图4(a)所示，建立地铁车辆动力学模型如图4(b)所示。考虑轮轨非线性的接触关系和车辆悬挂系统，车辆系统的动力学方程表示为

(8)

参数数值车体质量Mc/kg21 500转向架质量Mb/kg4 420轮对质量Mw/kg1 520车轮直径d/m0.42车辆定距Lc/m13.4轴距Lw/m2.2车体重心高度Hc/m2.13车体侧滚惯量Icx/(kg·m2)58 800车体点头惯量Icy/(kg·m2)1 135 000车体摇头惯量Icz/(kg·m2)1 077 800构架侧滚惯量Ibx/(kg·m2)1 576构架点头惯量Iby/(kg·m2)4 902构架摇头惯量Ibz/(kg·m2)3 551轮对侧滚惯量Iwx/(kg·m2)102轮对点头惯量Iwy/(kg·m2)599轮对摇头惯量Iwz/(kg·m2)576

2 动刚度转臂节点参数优化算法

2.1 KSM

KSM具有精度高，计算量小，计算速度快的特点，代理模型以结构分析和变异函数为基础，采用加权平均的方法对于待估点进行预测。采用代理模型可以有效在约束条件的作用下，建立起设计参数和优化目标之间的关系。

假设样本输入参数X=(x1,x2,…,xn)对应的输出响应为Y=(y1,y2,…,yn)。则独立输入变量与响应值得关系式为

y(x)=fT(x)β+Z(x)

(9)

式中：y(x)为预测响应值；fT(x)通过已知变量建立的压缩模型；β为一个未确定系数；Z(x)为高斯随机分布，均值为零，方差为σ2，协方差可以表示为

(10)

当输入的样本值确定后，响应值就可以根据通过式(11)计算

(11)

式中，r为待测样本点和每个已知样本点的相关函数，r(x)=[R(θ,x1,x),R(θ,x2,x),…,R(θ,xn,x)]。

2.2 PSO算法流程

PSO算法的是基于鸟类群体行为进行建模和仿真。其主要思路是利用个体的信息共享使得整个群体运动从无序到有序，进而在问题求解时找到最优解。相对其他算法，粒子群算法的可调参数较少。粒子具有两个属性：速度和位置(算法的两个核心要素)。在找到这两个最优值后，粒子通过式(13)不断更新自己的速度和位置。速度表示粒子下一步迭代时移动的方向和距离，位置是所求解问题的一个解。

主要计算流程如下：

步骤1初始化基本参数，初始化每个粒子；

步骤2评估每个粒子的全局最优值；

步骤3判断是否满足最优值，满足终止，若不满足则进行以下步骤；

步骤4更新每个粒子的位置和速度；

步骤5更新每个粒子的函数适应度值和其他参数，返回步骤3。

vij(t+1)=ωt+1vij(t)+c1r1j(t)[pij-xij(t)]+c2r2j(t)[pgj-xij(t)]

(12)

xij(t+1)=xij(t)+vij(t+1)

(13)

3 多目标优化

3.1 优化问题建立

设计变量的选择:由于动刚度模型中只有三个参数，为了进一步优化出适用于地铁车辆小曲线通过时的动刚度模型参数值，优化时选取动刚度模型的三个参数进行优化。采用超拉丁立方采样，分别选取变刚度转臂节点中的三个参数ks，kc，c分别进行采样取值，三个参数的取值范围如表3所示，最后的取值数据集如图5所示。

表3 刚度和阻尼参数范围Tab.3 Range of stiffness and damping parameters

优化目标的设置:车轮磨耗和平稳性指标是地铁车辆小曲线面临的重要问题，因此，对于小曲线通过时，将车轮磨耗和平稳性指标作为优化目标，进行多目标优化。

(1) 车轮磨耗

左右车轮的踏面磨耗计算为

(14)

式中：Tγl为左轮车轮磨耗；Tγr为右轮车轮磨耗；t1为积分开始时间；t2为积分结束时间。

Tγ=Fxvx+Fyvy+Mφφ

(15)

式中：Fx，vx为纵向蠕滑力和纵向蠕滑率；Fy，vy分别为横向蠕滑力和横向蠕滑率；Mφ，φ分别为自旋蠕滑力矩和自旋蠕滑率。

(2) 车体平稳性指标

平稳性指数W主要由Sperling经验公式计算，依据GB/T 5599—2019[19]，限值为W≤2.75

(16)

式中：W为平稳性指数；A和f分别为振动加速度和振动频率；F(f)为频率修正系数，具体修正系数见标准GB/T 5599—2019。

约束条件设置：在约束条件设置时，以常见的动力学指标：轮轨横向力，轮轨垂向力，脱轨系数，轮重减载率为约束条件，依据GB/T 5599—2019，限值为

(17)

3.2 优化过程及优化结果

为了提高地铁车辆的曲线通过性能，由于地铁线路小曲线众多，优化后的参数需要具备更好适应小曲线线路特征，但由于现场曲线半径工况较多，仿真分析线路条件主要采用典型的一种小曲线线路进行，仿真线路采用半径为400 m的小曲线半径，进一步优化出适用于地铁车辆的动刚度模型参数，相关线路参数如图6所示。

采用KSM-PSO算法多目标优化后，结果如图7所示，最优解为(3 450 N，1.942), 此时对应的最优参数，ks，kc，c对应的参数为62.78 MN/m, 5.37 MN/m, 2.94 kN·s/m, 此时对应的车体横向平稳性指标和平稳性指标都较小。

4 动刚度节点参数优化前后运行性能对比

为了进一步验证所优化PT模型的动力学参数对于地铁车辆运行性能的影响，分析优化后参数对应的动力学指标和磨耗特性。动力学指标主要包括临界速度，舒适度指标，以及脱轨系数和轮轴横向力等。而磨耗性能主要是进行磨耗预测分析。

4.1 动力学指标

动力学性能指标主要分析了对于原始定刚度参数、优化前的动刚度参数和优化后动刚度参数分别对于车辆稳定性、舒适度和安全性的影响。临界速度的计算采用升速法，先给300 m轨道激励，然后去掉激励统计出收敛后的轮对最大横移量，不断增大速度绘制分叉图，从图8(a)中可以看出，定刚度转臂节点临界速度为203.5 km/h，动刚度原始参数模型为208.6 km/h，采用优化后的模型其临界速度为211.8 km/h，优化后参数模型其临界速度有了一定提升，相对于定刚度模型增大4.1%。

为了进一步探讨三种工况下对于舒适度的影响，舒适度计算采用GB/T 5599—2019计算了车体前段舒适度指标，如图8(b)所示，舒适度计算线路仍然采用400 m小曲线，从图中可以看出采用优化后参数有效提高了车体舒适度指标，当速度为70 km/h，舒适度参数相对于原始变刚度参数降低20%。

分析三种工况下的安全性指标如图9所示，主要分析脱轨系数，轮轴横向力。从图9中可知，采用变刚度模型的参数有效降低脱轨系数，同时优化后参数进一步降低。分析三种参数下的轮轴横向力，可以看出优化后参数轮轴横向力较定刚度模型和原始参数模型都有所减小，轮轴横向力进一步减小。当速度为70 km/h时，优化后参数对应的轮轴横向力为23.8 kN，优化前为25.7 kN，减小7.36%。

4.2 车轮磨耗预测

车轮磨耗模型采用Jendel磨耗模型[20]，该模型是在Archard磨耗模型[21]的基础上，假定黏着区不发生磨耗，只在滑动区域发生磨耗，将接触区划分成i×j个单元，接触斑上的车轮磨耗体积可以描述为

(18)

式中：Vwear为磨耗材料体积；kw为磨耗系数；H为磨耗材料硬度；pz为作用在车轮接触斑上的法向力；d为车轮与钢轨之间的切向相对滑动距离；As(t)为接触斑滑动区。

结合Hertz和FASTSIM算法计算时，通过法向力计算获得椭圆接触斑，把接触斑划分为网格，网格长度分别为Δi和Δj，则可以将每一个网格内磨耗量表示为

(19)

接触单元上的法向力为

(20)

弹性滑动速度可以表示为

(21)

式中，a，b分别为接触斑长轴、短轴一半。

磨耗深度为

d(i,j)=

(22)

磨耗系数是与接触斑单元上法向力和滑动速度相关的一个无量纲常数，磨耗系数直接决定着磨耗量的大小。本文在磨耗系数先按图10中的数据选取。

利用以上车轮磨耗模型，线路采用以上动力学计算的小曲线，计算出三种工况下车体左右侧车轮磨耗，如图11所示。分别对于三种参数下对应的车轮磨耗深度进一步分析，可以看出，曲线外侧车轮磨耗深度分别为500×10-9m， 172×10-9m， 118×10-9m，曲线外侧车轮磨耗减小31.4%。曲线内侧车轮磨耗深度分别为182×10-9m，116×10-9m，90×10-9m曲线内侧车轮磨耗较优化前减小22.4%，采用优化后参数有效降低了小曲线内侧和外侧的车轮磨耗深度。

5 结 论

本文首先建立了基于变刚度转臂节点的地铁车辆动力学模型，然后采用KSM和PSO算法，对动刚度转臂节点参数进行优化，并对优化后参数的动力学特性进行验证，可以得到以下结论。

(1) 采用PT模型时，并联刚度和串联刚度决定了动态刚度的限值，阻尼对于整个动态参数影响较小，采用该模型可以实现随着激励频率变化实现等效刚度和等效阻尼的变化。

(2) 采用KSM-PSO对于变刚度模型参数进一步优化后，相对于原参数，优化后参数模型曲线通过性能进一步优化，轮轴横向力、脱轨系数进一步减小，轮轴横向力较优化前减小12.7%。但同时保证了直线稳定性，优化后的临界速度较定刚度模型增大4.1%，直线和曲线通过性能都得到提升。

(3) 采用优化后的变刚度转臂节点参数，轮轨磨耗进一步减小，曲线外侧车轮磨耗减小31.4%，曲线内侧车轮磨耗较优化前参数减小22.4%。可以看出，动刚度模型在参数优化后，小曲线上的车轮磨耗进一步减小。