构造直角三角形解答几何问题的题型分析

2022-10-26福建省泉州外国语学校庄菊咏

中学数学杂志 2022年20期

⦿福建省泉州外国语学校庄菊咏

1 求角度

求解图形中某一个角的大小是几何问题中的常见问题之一.这类型问题可以构造直角三角形进行求解，利用直角三角形的特点和性质，结合其他图形，计算待求角的大小.解答这类问题的具体思路：①分析题意，添加辅助线构造直角三角形；②利用直角三角形的特点(例如直角等于90°)、性质，结合几何知识求解；③经过逻辑推理计算角的大小.

例1△ABC的BC边上存在一点P，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，求∠ACB的大小.

分析:本题存在特殊角∠APC=60°，经过点C作AP的垂线，构造直角三角形CDP，将∠ACB分为两部分，再根据点P的位置和∠APC的大小进行分析.

解：如图1,过点C作CD⊥AP，垂足为D，连接BD.

图1

在Rt△CDP中，

∵∠APC=60°，

∴∠DCP=30°.

∴PC=2PD.

∵PC=2PB，

∴PB=PD.

∴∠PBD=∠PDB=30°.

又∵∠ABC=45°，

∴∠DAB=∠DBA=15°.

∴BD=AD=CD，∠ACD=45°.

∴∠ACB=45°+30°=75°.

2 求线段的长

求解图形中某一线段的长是几何图形中的常见问题，有时可以通过构造直角三角形求解，利用直角三角形的特殊角和对应的三角函数值，并结合相关定理(勾股定理、射影定理等)求解线段长度.解答这类问题的具体思路为：①根据题意构造直角三角形，并确定其内角的大小；②利用特殊的三角函数值或对应的定理列式求解，计算所求线段的长度.

例2在△ABC中，D是AC边上一点，若BD⊥AB，∠ABC=120°，AB=CD=1，求AD的长.

分析:如图2所示，本题需要从点B入手再构造一个直角三角形，通过比例关系和勾股定理解得线段AD的长度.

图2

解：过点C作CE⊥AB，与AB的延长线交于点E.

又DB⊥AB，所以BD∥CE.

等价于：(x+2)(x3-2)=0.

3 求面积

求解某个图形的面积大小是几何中的常考问题.这类型问题有时可以构造直角三角形求解，一般将原问题转化为求解直角三角形的面积问题，利用直角三角形的面积公式进行计算.解答的具体思路为：①分析图形特点，通过辅助线等手段构造直角三角形；②根据题意分析直接或间接计算面积，并确定相关线段的长度；③利用几何图形的面积公式计算求解.

分析:由题意可知，四边形ABCD是不规则图形，其面积需要利用添补法求解.如图3所示，将其添补为一个直角三角形，并利用直角三角形的面积公式间接求解.

图3

解：设DA,CB的延长线交于点E,由题意可得，四边形补为Rt△EDC，如图3所示，且△EAB和△EDC都是等腰直角三角形.

在Rt△EDC中，

4 求最值

最值问题是几何中的一类常考问题，一般为求线段的最值或角度的最值，有时可以利构造直角三角形求解.解答的具体思路为：①根据题目特点构造直角三角形；②将待求角或待求线段与直角三角形建立联系；③利用直角三角形的知识分析待求最值.

例4在△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB，AC上分别取点D，E，使线段DE将△ABC分为面积相等的两个部分，试求这个线段的最短长度.

分析:利用勾股定理的逆定理可知△ABC为直角三角形.过点D作△DEA的高DF，将原问题转化为求解直角三角形的问题.

解：由BC=5，AB=12，AB=13,结合勾股定理的逆定理，可得△ABC是直角三角形，且AC⊥BC.

又因为线段DE将△ABC分为面积相等的两个部分，所以S△DEA=15.

过点D作△DEA的高DF，交AC于点F，如图4,则DF∥BC.

图4

在Rt△DEF中，由DE2=EF2+DF2，得

又由S△DEA=15，得xy=78.

所以DE2=(x-y)2+12.

5 作证明

证明题是几何中必不可少的一类问题，证明形式包括求证角度的大小或关系，求证线段的长度或关系等，构造直角三角形是解答几何证明题常用的有效手段.具体思路为：①根据题意分析题目特点，构造直角三角形；②利用直角三角形的角度关系或边长关系，将待证明的线段或角与直角三角形建立联系；③最后利用直角三角形的相关知识求证即可.

例5已知点M是Rt△ABC斜边BC的中点，点P，Q分别在边AB，AC上，且PM⊥QM.

求证：PQ2=PB2+QC2.

分析:本题中QC与PQ，PB没有直接关系，要想证明PQ2=PB2+QC2成立，就需要构造直角三角形，将这三条边之间建立联系，且PQ为斜边，如图5所示.