⦿苏州高新区实验初级中学 蔡春艳

1 引言

PBL模式是一种以问题为导向的教学方法(problem-based learning，PBL)，由美国的神经病学教授 Barrows 首创.它遵循以学生为中心，强调学生的主动学习，发挥学生的主体性，使学习者投入于问题中，通过学习者的自主探索和合作交流来解决问题，从而学习到问题中隐含的知识，并在此过程中发展解决问题的能力和自主学习的能力[1].

笔者最近参与了一节苏州市评优课“二次函数”的磨课过程.“二次函数”是初中数学的核心内容，这一章的逻辑结构与一次函数相似，是对函数知识的完善和提高.第一课时的重点为理解概念，如果按照传统模式，理解概念—应用概念，学生会缺乏学习课程的新鲜感，也无法从整体上理解二次函数.课程标准提出，“学生的学习应当是一个主动的过程.教学活动应引导学生在真实情境中发现和提出问题，分析和解决问题”[2].PBL理念与课程标准一致，因此笔者尝试采取PBL理念，即基于问题展开学生的学习，对教学过程作出梳理，供研讨.

2 课堂实录

2.1 环节(一)——创设情境，引入新课

师：同学们好，我来自苏州新区实验初中，昨天开车来到我们常熟外国语学校.

如图1，在这段运动过程中涉及哪几个量？

图1

生:时间、路程、速度.

师：这里的速度是常量，路程S和时间t是变量.这两个变量之间是什么关系？

生：S=80t.

师：S是t的函数吗？为什么？

生：是的.因为在这个变化过程中有两个变量S和t，对于t的每一个值，S都有唯一的值与它对应.

师：这是什么函数？

生：正比例函数.

师：正比例函数也是什么函数？

生：一次函数.

师：如图2，在这个过程中，t与v又有怎样的关系？是我们学过的函数吗？

图2

师：有一段下坡路，若不踩油门，随着时间的变化，汽车的速度会怎样变化？(学生沉默了半分钟.)

师：大家可以回想一下自己骑自行车下坡的体验，你感觉速度怎样变化？

生：速度越来越快.

师：可见，这不再是一个匀速运动.此时，路程与时间会是怎样的关系呢？为了探究这个问题，我们来做一个实验.

数学实验：播放小车沿斜面下滑的视频.

通过数学实验得到数据，如表1.

表1 实验数据

师：观察表1，你认为S是t的函数吗？是一次函数吗？是反比例函数吗？

生：S是t的函数，但既不是一次函数，也不是反比例函数.

师：请同学们画出这个函数的图象.(投影展示)

师：老师和大家一样也画出了图象，请看图3，这是我们熟悉的函数图象吗？

图3

生：不是.

师：这是一个新的函数.我们通常是怎样研究函数的？

生：研究函数的概念、图象、性质,运用函数知识解决实际问题……

师：概念通常又是怎么得到的？

生：从生活中实际问题抽象而来.

师：是的，生活中存在很多类似的函数关系……

设计意图：上课开始，教师就和学生分享了从自己学校到学生所在学校的路上的历程，拉近教师与学生的距离，将学生从数学课堂带入现实生活情境中，符合PBL模式中设计完整学习情境的理念.在这个情境中，学生体会到可以用数学语言来解释现实世界中的现象，发现在不同情境下，路程与时间、速度与时间的函数关系.通过已经学过的函数关系，回顾研究函数的一般思路，为本节课进一步研究新的函数奠定基础. 研究下坡路时路程与时间的函数关系，就是建模的过程，通过实验，由形入手，发现了一类新的函数.这是什么函数，它有什么特征，有什么作用？在问题的驱动下开始本章节的研究.

2.2 环节(二)——自主探究，合作交流

校园风景如画，老师带领同学们来到学校门口的水池旁，一起观察.

(1)水滴激起的波纹不断向外扩展，圆的面积 S 与半径 r 之间的函数关系为.

(2)学校在另一侧再建一个周长为20m的矩形水池，水池的面积S(单位：m2)与一边长 x(单位：m)之间的函数关系为.

(3) 如图4，外侧矩形长10m，宽3m，水池的边缘是等宽的，宽度为 xm，则中间小矩形的面积 y(单位：m2)与 x之间的函数关系为.

图4

问题1S=πr2，S=-x2+10x，y=4x2-26x+30三个表达式有什么共同特征？

归纳得到二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，y是x的函数.

学生讨论概括二次函数解析式的特征：(1)等号右边是关于自变量的整式；(2)最高次项的次数是2；(3)二次项系数不等于零.

问题2在以上实际问题中，自变量可以取哪些值？

归纳得到二次函数自变量的取值范围：

(1)通常二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x可以是任意实数.

(2)如果二次函数的自变量表示实际问题中的某个变量，那么它的取值范围受到实际意义的限制.

设计意图：在PBL模式的理念下，学生需要在一个真实的情境中对驱动问题展开探究.环节 (一)中，学生已经明确了要研究的问题，并对这个问题产生了浓厚的兴趣.环节(二)中，教师带领学生进入真实的校园场景，观察校门口的水池，探究水滴入水、水池面积等变化过程中变量之间的关系，发现这些变量之间的共同特征，从而归纳出新的函数——二次函数，并在此基础上展开研究.

2.3 环节(三)——动手操作，解决问题

小组活动：每人写一个二次函数，请同桌说出二次项系数、一次项系数和常数项.

例题如图5，学校在长300m，宽90m的矩形广场内修建等宽的十字形道路，设道路宽为 xm，绿地面积为ym2. 你能写出绿地面积与道路宽之间的函数表达式吗？道路宽的取值范围是什么？

图5

探究如图6，用长50m的护栏围成一块靠墙的矩形花园，墙的长度是20m.请利用本节课所学知识，提出一个问题并解决，分小组完成.

图6

设计意图：学生通过环节(二)的探究得到一个“产品”(PBL模式的特征之一)——二次函数模型，环节(三)继续带领学生漫步校园，从教学楼前的花坛入手，学生以小组合作的形式，提出问题并解决问题，体现了PBL模式的项目式教学.在解决问题的过程中，学生可能需要用一元二次方程或二次函数的性质来解决问题，也可能需要思考方程、不等式与二次函数的关系，学生在思考、探索等过程中得到了必要的数学思维训练，体会到了数学思维的多元性，并且激发出后续研究二次函数性质的好奇心与求知欲.

3 基于PBL模式的课例赏析

3.1 基于问题情境展开学习

环节(一)为教师到学校路途中所遇之景，环节(二)为进校所见一景，环节(三)为教学楼前一角景观，整节课基于漫步校园所遇之景的变化，由学生自己提出问题，主动探索问题，围绕二次函数的概念这一主线展开学习.学生的学习体现了PBL模式的两个要点：

(1)学生是学习的主人

在PBL模式中，学生是学习的主人. 在本课的学习中，不再由教师讲授知识，而是学生自主探索.如环节(一)，每个学生都可以根据自己的生活经验和学习状态多角度思考，从而得出不同程度的结论，学习积极性被调动起来了.环节(二)，围绕校园里的水池，学生观察水滴入水的过程，思考扩建水池的设计，发现这些过程中变量的关系，提炼它们的共同特征，从而归纳得出一类新的函数——二次函数.

(2)在问题解决过程中获得新知识，发展新能力

环节(一)，下坡路段上路程随时间变化的关系，学生由生活经验可知是函数但不是一次函数，问题有一定的难度，学生一时无法解决.通过数学实验，得出路程随时间变化的数据，再画出函数的图象，既可以让学生感受到函数的不同表现形式，感受数形结合，也充分发挥了学生的主体作用.环节(二)和环节(三)，学生在探究过程中，不仅学习了二次函数这个新的知识，而且亲自参与建模过程，这些都体现了PBL模式的“在探究过程中学习及应用学科思想”.

3.2 基于问题的教学反思

教师的教学围绕PBL模式的三个要点展开：

(1)以激发求知欲和好奇心为支点

教育心理学的研究指出,好奇心是推动儿童和成人去获得新知识的主要动机.学生的求知欲和好奇心是课堂活力的源泉，是课堂教学价值的支点.如何激发学生的求知欲和好奇心呢？本课从学生熟悉的骑车上坡下坡问题入手，结合校园里的真实场景，让每个学生都有话可说，有法可想，培养了学生的发散思维.学生获得了成功的体验，学习积极性也被调动起来了.

(2)教师是辅助者和引导者

环节(三)原先的设计是由教师呈现一组题，学生练习，以题目增强二次函数的概念的巩固.但是PBL模式中，教师是指导学生认知学习技巧的教练，因此最终继续创设情境，放手让学生自主探索.再如环节(二)，教师在学生归纳得出二次函数概念的基础上，结合实际问题，考虑自变量的取值范围，有利于培养学生思维的严谨性，体现了教师引导者的角色.

(3)真实的基于绩效的评价

课程标准提出，学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，评价要关注学生学习的结果，也要关注学习的过程.PBL模式中要求建立真实的基于绩效的评价.环节(一)，遇到新函数教师没有避开不谈或者直接告知，而是通过数学实验，让学生亲自经历探索两个变量关系的过程，环节(三)，互相提问，既利于调动学生学习积极性，也可以暴露学生思维的局限性，最后在教师的引导下共同归纳注意要点.

4 结论

PBL在国外已形成一套成熟的教学方法，学生通过规划和完成一系列任务，最终实现某个目标或者解决某个问题，这就是项目.学生为了成功地完成项目，必须整合自己的学科知识和生活经验，促进团队协作，最终对自己或他人的表现作出评价，这是PBL教学法的精髓[3].在国内，由于课程时间的限制，不能很好地实行项目教学，比如，本课的驱动问题还需后续研究二次函数的图象和性质才能解决，无法在一节课内完整体现.再如，数学实验部分，按照PBL理念应该让学生真正进入数学实验室，借助打点计时器，记录路程随时间变化的数据，再通过数据画出函数的图象，这样可以更真实地经历从实际问题中抽象函数模型的过程，感受研究函数的方法，但是时间所限，本节课老师采用课前做实验，录好视频在课堂上播放的方式，也是一种变通与尝试.