周 曦，柴晓宇，王 彬，肖理庆

(淮南师范学院机械与电气工程学院，安徽 淮南 232038)

1 引言

作为电学层析成像技术的重要分支，目前电阻层析成像技术在可视化检测领域中已得到了飞速发展。其中，利用图像重建算法计算得到敏感场边界电压测量值对应的敏感场域内电阻率分布，不仅是电阻层析成像技术的核心内容，也是目前国内外科学工作者研究的难点与热点。

为了提高重建图像分辨率，文献[6]利用仿真图像作为训练样本，提出了一种将长短期记忆网络与卷积神经网络结合的ERT图像重建算法，并通过了矿山充填管道可视化检测平台的验证；文献[7]提出了一种长短期记忆神经网络+全连接神经网络ERT图像重建算法；文献[8]提出了稀疏正则化算法，获得了更高精度的重建图像；文献[9]提出了一种可有效减小伪影的ERT重建算法。

修正牛顿-拉夫逊算法是具有最优化思想的静态图像重建算法，但图像重建质量很大程度上取决于初始电阻率分布估计值选取、正则化因子调整策略以及灵敏度矩阵更新策略。而遗传算法作为一种群体型操作算法，被广泛应用于不同优化问题求解。本文在确定初始电阻率分布估计值选取、正则化因子调整策略以及灵敏度矩阵更新策略的基础上，将区间算法引入文献[15]所提出的改进遗传算法中，并将其应用于重建图像阈值优化，有效提高了重建图像分辨率。

2 改进牛顿-拉夫逊算法

2.1 初始电阻率分布估计值选取

为了在保证算法逆问题求解过程收敛的前提下，提高算法实时性，在敏感场域内介质分布的初始值选取方面，利用可实现离线优化与计算、在线一步成像的改进Landweber预迭代算法获得，具体迭代公式如式(1)所示。

+1=+1·(·)

(1)

式中：+1为第+1次预迭代时对应的重建图像灰度值，为离线优化所得对角阵，为敏感场边界电压测量值，+1的离线计算公式如式(2)与式(3)所示。

+1=+(-)

(2)

(3)

式中：为单位矩阵，为增益因子，为方阵的最大特征值。

2.2 正则化因子调整策略

在修正牛顿-拉夫逊图像重建算法逆问题求解过程中，按式(4)修正敏感场域Ω内介质电阻率分布。

(+1)=()+Δ(+1)

(4)

式中：(+1)=()+Δ(+1)为第+1次迭代时对应的敏感场域Ω内介质电阻率分布，Δ(+1)为修正量，计算公式如式(5)所示。

Δ(+1)=-{[′(())]′(())+()}

·[′(())]((())-)

(5)

式中：′(())与(())分别为敏感场域Ω内介质电阻率分布为()时对应的灵敏度矩阵和敏感场边界电压计算值，()为正则化因子。

为了保证逆问题求解过程稳定且图像重建精度满足要求，借鉴惯性权重递减策略，正则化因子()按概率采取式(6)-式(8)所示三种不同递减策略调整。

(6)

()=+(-)·(-)

(7)

()=+(-)·(-)

(8)

式中：与根据经验知识设置，与分别为迭代次数最大值与当前值。

2.3 灵敏度矩阵更新策略

关于灵敏度矩阵更新策略，目前在电阻层析成像迭代类图像重建算法中，通常采用以下两种措施：

①灵敏度矩阵固定不变。这种措施一般选取敏感场域Ω内介质电阻率均匀分布对应的灵敏度矩阵，虽然可满足对图像重建算法实时性的要求，但逆问题求解精度不高且收敛速度较慢。即使通过优化措施保证逆问题求解过程稳定，但重建图像分辨率仍很难满足要求。

②灵敏度矩阵时刻更新。与上一种措施相比，这种措施虽然图像重建精度较高，但逆问题求解速度难以满足要求，而且在更新灵敏度矩阵时，如果敏感场域Ω内介质电阻率与其真实情况相差较大，反而会降低图像重建算法逆问题求解精度。

针对上述两种措施的不足之处，本文提出一种新型灵敏度矩阵更新策略：在算法逆问题求解过程中，将第次计算所得敏感场边界电压计算值()代入式(9)，如果误差不再减小，则按目前所得的敏感场域Ω内介质电阻率最优分布更新灵敏度矩阵。

(9)

2.4 重建图像阈值优化

当更新灵敏度矩阵无法继续减小敏感场边界电压计算值与测量值的误差时，为了进一步提高图像重建算法逆问题求解的精度和速度，将区间算法引入文献[15]所提出的改进遗传算法中，将满足式(10)、不存在极值点的区间排除，在可能存在极值点的区间生成改进遗传算法初始种群，并利用所提出的改进遗传算法优化目前所得的敏感场域Ω内介质电阻率最优分布对应的重建图像阈值和，如式(11)所示，进而可得敏感场域Ω内电阻率分布的最终最优值。

(10)

式中：为()在内某点的适应值，⊂表示任一区间，为莱布尼兹常数，()和()分别为区间的宽度和中点。

(11)

式中：为求解逆问题时敏感场域Ω内剖分的三角形有限元数目。

3 仿真与分析

图1 敏感场域Ω内六种不同典型分布

现通过正问题计算，获得敏感场边界电压测量值，为了避免“inverse crime”并提高算法图像重建的速度，利用细化前的有限元模型求解电阻层析成像逆问题。当图像重建算法最大迭代次数maxk均设置为200时，不同图像重建算法逆问题求解结果分别如图2-图7、表1及表2所示。

图2 无噪声干扰时算法1逆问题求解结果

图3 无噪声干扰时算法2逆问题求解结果

图4 无噪声干扰时算法3逆问题求解结果

图5 有噪声干扰时算法1逆问题求解结果

图6 有噪声干扰时算法2逆问题求解结果

图7 有噪声干扰时算法3逆问题求解结果

表1 无噪声干扰时不同算法相关系数ρ比较

表2 有噪声干扰时不同算法相关系数ρ比较

其中图像重建算法1在逆问题求解过程中采取固定敏感场域Ω内介质电阻率均匀分布对应的灵敏度矩阵不变的策略，而正则化因子()采取式(7)所示递减策略调整，并根据算法收敛次数与发散次数分别按式(12)与式(13)更新正则化因子最大值与算法最大迭代次数，图像重建算法2在逆问题求解过程中采取每次迭代均更新灵敏度矩阵的策略，正则化因子()按式(8)调整，图像重建算法3为本文提出的改进算法，本文所采取的评价图像重建算法逆问题求解精度的相关系数的计算公式如式(14)所示。

(12)

(13)

式中：与分别为正则化因子缩小倍数与放大倍数。

(14)

对比图1设置的敏感场域Ω内六种不同典型分布与图2-图7不同图像重建算法逆问题求解结果，并结合表1与表2在无噪声干扰和有噪声干扰时不同算法相关系数，可得以下结论：

①对不同图像重建算法而言，噪声干扰均会影响逆问题求解精度：在无噪声干扰时，图像重建算法1-3相关系数的平均值分别为08360、08555、08828，在有噪声干扰时，图像重建算法1-3相关系数的平均值分别减小至08092、08276、08572，分别降低了32057、32613、28999。

②相比在逆问题求解过程中采取固定敏感场域Ω内介质电阻率均匀分布对应的灵敏度矩阵不变策略的图像重建算法1，在逆问题求解过程中采取每次迭代均更新灵敏度矩阵策略的图像重建算法2虽然计算量较大，需消耗大量时间反复计算灵敏度矩阵，但逆问题求解精度较高：针对图1设置的敏感场域Ω内六种不同典型分布，相比图像重建算法1，在无噪声干扰和有噪声干扰时，图像重建算法2相关系数的平均值分别提高了23325、22739。

③在三种不同图像重建算法中，由于本文提出的图像重建算法3采取了不同措施减小敏感场边界电压计算值与测量值的误差，因此逆问题求解精度更高：针对图1设置的敏感场域Ω内六种不同典型分布，相比逆问题求解精度较高的图像重建算法2，在无噪声干扰和有噪声干扰时，本文提出的图像重建算法3相关系数的平均值分别提高了31911、35766。

4 结论

为了提高重建图像分辨率，针对目前公认的逆问题求解精度比较理想、具有最优化思想的修正牛顿-拉夫逊图像重建算法，从初始电阻率分布估计值选取、正则化因子调整策略、灵敏度矩阵更新策略以及重建图像阈值优化等四个方面对算法进行了改进：

①将改进Landweber预迭代算法的图像重建结果作为初始电阻率分布估计值。

②在算法逆问题求解过程中，按概率采取三种不同递减策略调整调整正则化因子。

③在算法逆问题求解过程中，当敏感场边界电压计算值与测量值的误差不再减小时，按目前所得的敏感场域内介质电阻率最优分布更新灵敏度矩阵。

④当更新灵敏度矩阵无法继续减小敏感场边界电压计算值与测量值的误差时，利用所提出的改进遗传算法优化目前所得的敏感场域内介质电阻率最优分布对应的重建图像阈值。

最后，通过设置敏感场域内六种不同典型分布并在相同实验条件下利用不同图像重建算法求解逆问题，验证了所提出的改进牛顿-拉夫逊算法在无噪声干扰和有噪声干扰时均可有效提高重建图像分辨率。