马超周

(北京市第十二中学)

在2016 年教育部提出构建新的高考评价体系后,各地高考数学开始出现结构不良试题.数学的结构不良试题特征包括条件部分缺失或冗余、问题不定、解决方法不唯一等.相比于之前的良构问题,结构不良试题体现了高考从能力立意到素养导向的转变.因为结构不良试题的初始状态、目标状态、中间状态中至少有一个是不确定的,所以学生需要全面地掌握题目涉及的知识模块,才能实现在解决问题的过程中,从多个角度分析并提出解决问题的方法,考查了学生思维的系统性与灵活性.

结构不良试题除了考查学生在解决问题中的数学素养水平外,其实另一个重要的考查方向是学生的理性思维水平,所谓理性思维即对于题目中给出的不同条件或者问题进行理性分析后做出恰当选择,然后再选择更为优化的方案解决问题.本文结合具体的例题探讨分析,说明如何进行理性选择.

1 试题再现

注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合条件的要求分别解答,按第一个计分.

2 学生答题情况分析

笔者以此题作为高三学生复习三角函数单元后的检测题,共有39名学生参加测试,其中有16人选择条件①,在这16人中有3人在解答后发现矛盾更换条件;有14人选择条件②,9人选择条件③.在考试后对部分学生进行访谈,多数选条件①的学生反馈他

从学生的作答情况可以看出,结构不良试题所要考查的理性选择水平这一点并没有得到学生的足够重视,学生仅停留在对知识的分析和应用层面.如何对不同条件进行理性分析与选择,以及针对不同问题如何理性选择合适的方法,是备考过程中需要注意的问题.

3 试题分析

该题的主要特征是给出的信息不能确定三角形的形状和大小,因此需要补充条件,理性选择指的是预判针对给出的不同条件会对应什么样的问题,并分析解题策略的难易程度.理性选择的基础是对解三角形的基本问题类型、不同问题下对应三角形的大小、形状特征以及解题策略有全面清晰的认识.

三角形共有六个要素:三条边和三个角,至少知道其中三个要素才能够解三角形:按已知条件中与边有关的个数进行分类,可以分为已知三边、两边一角、两角一边和三个角四类(如图1),在不同的情况下可以根据正、余弦定理的结构特征选择合适的解题策略.

图1

本题中的三个条件看似都和三角形的大小相关,但是能否选择所有条件呢? 在可以选择的条件中判断哪个更简单、优化,则是理性选择考查的内容,即选择的正确性与优化性两个方面.

3.1 理性选择的正确性

正确性要保证补充的条件可以使得三角形唯一确定,条件①虽然给了与边长有关的信息,但是它给出的是边长b,c的比值,这个信息其实在确定了三角形的三个内角后,根据正弦定理就可以得到,所以条件①不是重复条件,就是与已知信息矛盾的条件,从正确性的角度分析不会选择条件①;而条件②和条件③分别给出了三角形的周长和面积,本质都是确定三角形的大小,因此从正确性的角度都可以选.

考场上很多学生若不进行理性选择,则会出现以下错误解答,而且学生在得到答案后也不能清晰地分析出致错的根源.学生的错解如下:

综上,从正确性的角度对条件进行分析,可以避免学生的盲目计算,或者在进行了大量计算后才发现选择的条件不符合题意的情况.从知识的角度,是否能做出正确选择考查了学生对解三角形问题所有类型以及对应解的个数是否有清晰、完整的认识;从能力的角度,考查的则是学生逻辑推理的水平.

3.2 理性选择的优化性

理性选择的优化性是指从解题简单、思路直接的角度考虑如何选择,包含了两个方面:一方面,可以对比不同条件,选择思路和运算都更为简单的条件;另一方面,对于选定的条件考虑是否可以在不计算的情况下考虑不同的计算方向和不同方法的优劣,从而选择更简捷的解题方法.

综上,从知识的角度,优化性的考虑是学生在清楚解三角形的模块有什么类型问题的基础上,明确不同类型的问题有哪些基本解题思路,并且对在求解过程中应用的知识与方法有完整的认识,才可以在不进行计算的基础上,通过理性分析做出选择.

如果学生不进行上述理性分析与选择,而是随机选一个条件补充进行计算,那么运算的难易程度是未知的,而且很有可能在花费了大量的时间进行计算后,才发现出现了知识上的矛盾或者逻辑推理上的错误.此类结构不良试题不仅考查学生思维的发散性,即一题多解的能力,更重要的其实是考查学生在运算前进行理性选择的能力.

3.3 解题策略

理性选择是结构不良问题的考查方向之一,因此在问题的分析和解决过程中不能盲目选择.具体到解三角形的结构不良问题:首先要从正确性角度考虑,根据已知信息确定补充的条件是否可以唯一确定三角形.结合三角形全等的判断条件可以知道已知三边、两边及夹角、两角一边的情况都可以唯一确定三角形,只有已知两边和一边对角的条件可能存在无解或多解的情况,需要从几何角度进行分析再选择计算.

而解题方法优化性的选择更多在于学生日常的总结反思,需要明确选择不同条件时所使用的不同解题策略在简捷性、优化性上的差异,在进行具体的运算之前先对后续运算方向进行分析.

3.4 变式训练

从中选出两个条件,补充在问题中,使其能够确定△ABC,并以此为依据求△ABC的面积S.

在本变式中,将已知条件减少,增加了试题的开放性,更加突出考查了学生的理性选择,即对于不同条件的组合不是直接进行计算,而是首先分析不同条件下三角形是否可解且是否唯一确定,在此基础上再对方法进行理性选择.

4 小结

4.1 重视开放性问题设置

结构不良试题一般呈现的是条件部分缺失或冗余或问题不定的情况,因此在日常训练中可以设置一些开放性的问题,拓展学生的思维广度.教师可以对数学问题的条件、结论或者解题方法等要素进行合理设置.根据解法的多样性可以进行解题方法的优化性分析,或者启发学生对题目进行改编,使学生对题目中条件和结论的关联性有更为清晰的认识.

另一方面在结构不良试题的讲评过程中要重视对比不同条件的简捷性和方法优化性,培养学生在不计算的情况下进行逻辑推理与分析的能力.

4.2 关注数学知识体系的建构

从考查方向分析,理性选择是结构不良试题的考查目标之一,而通过上述高考题的分析可以看到,学生能够在计算之前通过逻辑推理做出符合正确性和优化性选择的前提是学生对数学各章节的知识形成一个完整、清晰的知识体系.这个知识体系的主线不仅是知识点间的逻辑关系,而且可以以章节中的典型问题为暗线进行梳理,将知识与问题对应的同时帮助学生厘清解题方法.解三角形知识体系的一条主线是正、余弦定理的知识脉络,而另一条暗线则是解三角形对应的不同问题及对应的应用正、余弦定理的解题策略,只有在拥有清晰的知识结构的基础上,学生才能进行理性选择.