李开玮 刘顺彭 赵亚运

(广东理工学院智能制造学院 广东 肇庆 526100)

张智明

(广东理工学院大学物理实验中心 广东 肇庆 526100)

当物体受到平方反比的有心力作用时，有一些物理量是守恒量，如角动量守恒、机械能守恒，除此之外还存在另一个守恒量Laplace-Runge-Lenz矢量(以下简称LRL矢量)，该矢量在经典力学、电磁学、量子力学中有着广泛的应用[1,2]，能够使许多物理问题的求解得到极大的简化，本文讨论LRL矢量在天体运动问题中的应用.

在天体运动中，天体受到万有引力作用，其动力学方程为

(1)

其中k=GmM，LRL矢量为

(2)

1 LRL守恒量的证明

如图1所示，地球位于椭圆右焦点F(c,0)，卫星在地球引力下运动轨迹为椭圆.

图1 天体运动示意图

设卫星轨迹方程为

(3)

参数方程为

(4)

设卫星在近地点速度为v1，远地点速度为v2，根据机械能守恒

(5)

又根据角动量守恒可得

(a-c)mv1=(a+c)mv2

(6)

由式(5)、(6)解得

(7)

将式(7)代入式(5)可得卫星机械能为

代入式(6)可得角动量大小为

(8)

其方向与卫星旋转方向构成右手螺旋关系.

设卫星在轨迹上任一点速度为v，可得

(9)

r=a-ccosθ

(10)

由式(9)、(10)解得

(11)

相对于地球(焦点处)位置也可以用矢量表示

r=(acosθ-c)i+bsinθj

(12)

卫星动量与角动量相互垂直，由式(8)、(11)可得

(13)

(14)

由式(10)、(14)可得

(15)

由式(14)、(15)可得LRL矢量

(16)

因此LRL守恒量与椭圆离心率相关，方向为椭圆长轴指向近地点的方向.这说明了LRL矢量能够确定天体运动的轨迹形状及长轴的指向，而事实上由LRL守恒量也可以很方便地推导出天体运动轨迹

A·r=(p×L)·r-mkr=
L2-mkr=Arcosφ

(17)

由式(17)可得

该式即为离心率为e的椭圆轨迹方程极坐标系下表达式.

接下来利用LRL守恒量解决2021年物理杯竞赛中一道天体运动问题，体现LRL守恒量在简化计算方面的技巧.

2 LRL守恒量的应用

【2021年物理杯试题】一个彗星，在自己的轨道上两个点的速度矢量分别是v1和v2，这两个速度矢量满足：(1)互相垂直;(2)|v1|=2|v2|.请问，这个彗星的轨道可能的离心率e最小是多少？

分析：该道题要求最小的离心率，给出的已知条件为轨迹上两点的速度关系，离心率与轨道形状有关，能够把离心率、速度联系在一起的就是LRL守恒量，如图2所示为这两点的LRL守恒量的几何图像，因为v1⊥v2，|v1|=2|v2|，角动量L为z轴方向的守恒量，故两点处|p1×L|=2|p2×L|，(p1×L)⊥(p2×L)，由于两点处的LRL矢量相同，可以将两点处的LRL几何图像平移到一起，如图3所示，OC为LRL矢量，AC和AO分别为速度为v1处的(p1×L)和mkr10，BC和BO分别为速度为v2处的(p2×L)和mkr20，其中r10，r20为两点处的径向单位矢量，图3中有几何条件：AO=BO；AC=2BC；AC⊥BC.该圆半径即为mk，连接AB，并取其中点D，连接OD和CD，可得以下几何结论.

图2 彗星在轨迹上两点的LRL矢量

图3 两点LRL矢量合并图

(18)

(19)

在△ODC中根据余弦定理有

(mke)2=(mksinδ)2+(mkcosδ)2-
2(mk)2sinδcosδcosφ

(20)

(21)

(22)

(23)

3 讨论与总结

LRL矢量与角动量一样是一个守恒量，是平方有心力系统的一个结论，而且更进一步生动地反映了天体运动的轨迹形状及长轴的指向，其结果中有离心率参数，LRL中包括了天体的速度、角动量、位置矢量，利用LRL矢量可以方便地将许多物理问题几何化，使求解简洁，计算量大大减小.