罗天舒,周书伟,湛奇昊,张秋长

(厦门大学 嘉庚学院,福建 漳州 363105)

费马原理是光学理论的重要基础之一,是几何光学领域中高度概括性的原理[1－2],它令之前似乎彼此独立无关的光的直线传播定律、反射定律、折射定律以及光路可逆性原理有了一个统一简捷、优美的表述。费马原理大多应用于透明介质中的几何光学问题的研究[3－8],暂未发现推广应用在吸收介质中。虽然有研究利用费马原理研究了光线在各向同性介质界面处的旋转和折射,获得折射率比值为复数形式的折射定律[9],但该文中的复折射率的虚部不同于吸收介质的复折射率的虚部,前者代表光线旋转,后者与光的衰减有关。对于吸收介质,有研究者用吸收介质的复折射率参数代替透明介质中的折射率参数获得吸收介质中复数形式的折射定律[1,10－11],但这样处理会出现光路不可逆[12],有一定的局限性,必须考虑等幅面与等相面两单位矢量之间的夹角对光线实际路径的影响[13]。本文通过定义复有效折射率,利用费马原理推导出光在吸收介质界面折射时的折射定律,最后用传播的有效折射率代替透明介质折射定律中的折射率即可获得光在吸收介质中的折射定律,为费马原理在吸收介质中的应用提供一种思路。

1 光在吸收介质中的传播

图1 光在吸收介质中的传播

参数Ns、Nq可以分别看作是光在吸收介质中传播的有效折射率和衰减的有效折射率。定义为复有效折射率,则吸收介质中的复波矢为

2 光在吸收介质界面的折射

考虑光从空气中的A点经过界面P点折射到吸收介质的B点。如图2所示,已知点A和y轴之间的距离AC＝z1、点B和y轴之间的距离BD＝z2、CD＝l,令CP＝x、CE＝x2,E点为衰减矢量qt的反向延长线和y轴的交点,P点不固定的,但它涵盖了光学路径长度如下:

图2 光在吸收介质界面的折射

根据几何关系可知:

根据费马原理,x和x2满足如下方程:

将(5)式代入(6)式计算得:

由(3)式可知,NsdNs＝NqdNq,同时可获得如下关系:

从上式可知,用传播的有效折射率代替透明介质折射定律中的折射率即可获得吸收介质中的折射定律。结合(3)式可得传播的有效折射率和衰减的有效折射率分别表示如下:

Born和Wolf分析和处理光从介质入射到吸收介质时,给出了一组计算公式,已知介质(折射率为ni)一侧的入射角θi和吸收介质的复折射率,即可计算在吸收介质一侧发生的实折射角[1]:

上式中折射角θτ是基于Snell公式的一般意义上在吸收介质一侧的复折射角,nt和θt分别是基于Snell公式的吸收介质的等效实数折射率和光在吸收介质一侧的实折射角,q和γ是计算时引入的中间参数。

图3 光从空气入射吸收介质时折射角θt与入射角θi关系

当介质均为非吸收时,κ＝0,由(10a)式可知Ns＝n,则(9)式简化为:

上式和Snell折射定律的形式完全一致。

3 算例

根据(10)式,考虑光从空气(ni＝1)入射20%浓度IntralipidTM溶液[16](复折射率为1.365＋i0.008)以及复折射率分别为1.365＋i0.08、1.365＋i0.8的三种样品对Ns和Nq分别进行模拟计算。从图4可知,当θi入射角较大,且吸收介质的虚部较小时,传播的有效折射率可以用实部代替计算。从图5可知,衰减的有效折射率随入射角的增大而变大,且虚部越大衰减的有效折射率也越大。

图4 传播有效折射率N s和入射角θi的关系

图5 衰减有效折射率N q和入射角θi的关系

再考虑吸收介质的实部相同,分别按(9)式对20%浓度IntralipidTM溶液以及取另四种样品的折射率实部均为1.365、虚部则分别为0的透明介质0.08、0.8和1.6的三种吸收介质进行模拟计算。如图6所示,当θi较小时,折射角θt与θi近似成线性变化关系,当θi比较大时,折射角θt随θi的增大基本保持不变。当虚部较小时吸收介质中的折射角和透明介质的折射角几乎重合。

图6 折射角θt与入射角θi关系

4 结论

通过定义复有效折射率,利用费马原理研究光在吸收介质界面的折射,可以获得光通过吸收介质界面时的折射定律。当入射角较大,且吸收介质的虚部较小时,吸收介质中的折射角和透明介质的折射角几乎重合,传播的有效折射率可以用复折射率的实部代替;衰减的有效折射率随入射角的增大而变大,且虚部越大衰减的有效折射率也越大;当入射角较小时,折射角与入射角近似成线性变化关系。