杨 帅，韩 静，曹江涛，马煜栋，王子垚

(自然资源陕西省卫星应用技术中心,陕西 西安 710128)

1 概述

我国最早的地面沉降问题出现于上海市和天津市，随着地下水的不断抽取，全国多个地区，包括长江三角洲地区、华北平原、关中平原等地区均存在不同范围的沉降。目前关于地面沉降原因的研究众多，概括起来主要包括开发利用地下流体资源、开采固体矿产、岩溶塌陷、软土的固结沉降、新构造运动、动土融化等因素[1]。而随着人口的增长和城市建设的飞速发展，地下水超采现象持续严重，沉降范围和幅度逐年扩大。

本次研究地点位于沉降较为突出的太原，该区是重要的人口聚集区，市区属于典型的黄土分布区，20世纪50年代以来，为满足居民生活的需求，市区内进行了一系列大规模抽取地下水、矿区开采及排水等活动，对区域工程地质条件造成了极大改变。据研究，太原已形成了五个沉降漏斗区，是我国地面沉降较严重的城市之一，并且地面沉降仍处于持续发展状态[2]。众多学者对太原市地面沉降原因做出了不同解释，方鹏飞等[3]认为太原市的地面沉降主要是由于集中开采深层承压含水层引起的；现今研究认为抽取地下流体时造成地面沉降的主要原因的解释有两种：1)有效应力降低原理；2)水动力固结原理[4]。一方面说明抽水使土体的有效应力下降造成含水层的压实从而引发地面沉降；另一方面解释了抽水以后的残余应变引发地面沉降，两者结合使得黄土颗粒之间的有效应力增加，土层产生固结压缩，最终导致地面沉降。

以太原某场区地面沉降为研究对象，在为期10个月监测的基础上，对研究区场地的沉降量进行了统计，然后进行灰色建模处理，预测未来两个月内沉降量并进行相应的检验。检验结果表明灰色理论在短期地基沉降预测方面有良好的适应性，对地面沉降预防和治理具有重要意义。

2 沉降模型的建立

通过长期监测发现研究区地面高程位置处于持续下降的状态，而且沉降规律不明显，数据相对较少而且具有不确定性，这与灰色系统理论所处理的数据条件基本一致，而且同其他模型相比，该模型结构简单、适应性强、可信度较高的特点。所以本文借助灰色系统理论对研究区地面沉降进行预测与分析。

2.1 工程概况

太原市位于山西省中部，整体地势为北，境内地貌类型主要有山地、丘陵、平原、盆地等，具有典型的黄土高原地貌特征。在地质构造上地处山西断隆的中部，为新生代断陷盆地，是多个隆起和洼陷地层的交界处，区内构造较为简单，构造大体呈北东—南西向，被巨厚的松散沉积物所覆盖。研究区涉及沉降的地层以第三系黄棕色粉砂质黏土、红黏土以及第四系粉质黏土、冲洪积层为主，综合厚度超过50 m。该区地处大陆内部，属于温带大陆性气候。因其位于北半球中纬度地区且为高原地形，所受光照充足，昼夜温差较大。太原市水资源相对匮乏，大气降水是水资源的主要补给源，但降水和径流变化大，分配不均匀水资源紧缺问题严重。境内地下水主体可分为基岩裂隙水、碳酸盐岩类岩溶裂隙水、碎屑岩类裂隙孔隙水和松散岩类孔隙水[5]。太原市矿产资源丰富，以煤、铁、石膏含量最为丰富。截止到2020年，太原市常驻人口超过500万人，人口的不断增长加剧了对地下水以及其他矿产资源的需求，进而影响到地下水系统的平衡以及造成区域生态环境的破坏，对地层的沉降造成巨大影响。

2.2 灰色系统理论

灰色系统理论是由邓聚龙教授于1982年首次提出的，该理论主要用于解决数据信息不完整，结果不确定性一类问题[6]。灰色系统指系统内部一部分信息已知而另一部分信息是未知的，这种系统是介于系统内部信息完全已知的白色系统和系统内部信息完全未知的黑色系统之间的。而灰色理论模型的主要任务是充分开发和利用为数不多的显信息和隐信息，进而寻找数据之间存在的数学逻辑和关系[7]。一般情况下，小样本预测的回归分析与神经网络分析效果都不太理想，而灰色预测理论具有适应于数据量较少，数据持续时间相对较短，数据分析过程简单等特点，完美适合地基沉降分析。所以文中利用灰色系统理论中的一阶微分方程GM(1,1)模型进行地面沉降的预测。

设地基沉降监测的历史数据组成的时间序列为：

x(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}。

实际上该序列应为一组无规律序列，为了更深一步探讨数据之间的规律，需对数据进行灰处理，以便产生新的数据列，发现新的规律。常见的数据生成方法有累加生成、累减生成和均值生成等方法[8]，本次研究中根据数据特征选择累加生成灰色数据的方式。

x(1)(k)={x(0)(1),x(0)(1)+x(0)(2),…,

x(0)(1)+x(0)(2)+…+x(0)(n)}。

即:

x(1)(k)={x(1)(1),x(1)(1)+x(0)(2),…,

x(1)(n-1)+…+x(0)(n)}。

则x(1)(k)为x(0)的一次累加数列，通过该方法可使任意正向无规律的数列转化为递增数列以削弱数据的随机性。

对于一阶微分方程:

其中,a,b均为系数，构造数据矩阵B以及数据向量YN，根据最小二乘法可得：

其中：

YN=[x(0)(2)x(0)(3) …x(0)(n)]T。

将现场实测结果代入对应矩阵及微分方程式中即可求系数a,b的值，然后便得到与沉降相关的微分方程如下：

其预测沉降值为：

模型的预测结果可与实际情况进行直接对比，并可以通过残差检验、关联度检验来确定模型精度。在检验分析过程中主要以前八个月的预测和实测数据进行残差和关联度检验，并以最后两个月的数据来分析模型的预测情况以及适用性。

2.2.1 残差检验

残差是指观测值与预测值之间的差，因此对于每个监测点在不同时刻的预测沉降与实测沉降之间的残差应是一个残差序列，而残差检验则是通过数据残差序列所提供的信息分析数据之间的精确程度和关联性。

残差检验的重点在于比较预测值与实测值之间差值的大小，其主要由实测值方差以及残差序列的方差可求得方差比值，此外借助小概率误差来综合分析，最后便可根据表1来确定模型精度等级。

表1 灰色模型预测精度表

2.2.2 关联度检验

关联度是指系统或两个因素之间的关联性大小，它反映了系统中因素间相对变化的情况。如果实测值与预测值两者变化基本一致，则认为两者关联度较大；反之。在本次研究的GM(1,1)模型中采用无量纲的关联度进行精度检验，所用的关联度计算公式如下：

ξ(k)=

其中，ξ(k)为第k个元素的关联度，ρ∈[0,1]为分辨系数，一般取ρ=0.5，r为所有元素关联度的平均值，代表整个序列的关联度大小。多个关联度实例表明实测数据与预测数据的关联度越大，模型越好，一般当关联度大于60%时便可认为两者的关联度较高。

3 沉降模型应用

3.1 模型预测

本节根据四个原位监测点在2020年与2021年期间的8个月的沉降统计结果为基础信息，利用GM(1,1)模型对沉降量进行模拟和预测，然后与2021年3月～4月的实测沉降值进行对比，以便确定模型的适应情况和精确程度。通过监测获得研究区沉降数据如表2所示。

表2 监测点实测沉降量

为了清楚展示灰色模型建立以及预测中的计算和分析过程，本节以监测点1前八个月的实测数据在地面沉降预测中的应用为例，首先对实测结果做累加生成对应x(1)(k)序列见表3。

表3 监测点1累加生成序列

确定矩阵B和YN：

YN=[1.73,2.63,3.65,4.76,5.98,7.51,9.09]T。

那么：

则:

所以监测点1的灰色理论预测模型为：

同理可求出其他3个监测点的预测模型如下：

监测点2预测模型：

监测点3预测模型：

监测点4预测模型：

从预测模型的数学表达式可以看出，该区域的累计沉降量在一定时间范围内以近似指数递增的方式变化，并且4个监测点的预测模型数学表达式极为相似，其表达式系数值的差值很小，这也说明在监测点所围成的区域内部沉降应是同步且均匀发生的。

根据监测点的沉降模型预测公式，给定不同k的值，便可得到不同时间对应的地面沉降值，见表4。

表4 监测点沉降预测值

3.2 模型检验

结合实测结果与预测模型，对预测模型的精度等级分别利用残差检验以及关联度检验进行精度分析，在本节以监测点1精度分析为例。

监测点1的残差序列为ε(0)=[0,0.486,0.192,-0.057,-0.185,-0.154,-0.092,0.355]；

相对误差序列为：Δk1=[0,0.486,0.192,-0.057,-0.185,-0.154,-0.092,0.355]；

方差比值c1=0.086 5；

小概率误差：p=1.00；

查表2可以确定出该模型的精度等级为好。

该模型每个元素的关联度序列为：

ξ(k)=[1,0.333,0.559,-0.81,-0.568,-0.612,-0.725,0.406]。

则关联度:

r1=0.627。

由此可认为监测点1处的预测沉降值与实测沉降值之间的关联度较高。

同理可以得出其他3个监测点的精度以及关联度，4个监测点的精度以及关联度分析结果如表5所示。

表5 模型精度与关联度汇总表

表5说明了研究区的预测模型精度和关联度均达到理想标准，模型对该地区地面沉降的拟合程度较高。结合表4可以发现，由前8个月的实测数据求得的预测模型与实测结果之间的残差较小，模型对已知沉降的模拟精确程度较高。通过比较第9个月的沉降值发现，模型对沉降的预测较为准确，其误差不足10%，但对第10个月的预测误差逐渐增大，已经接近25%。由此不难推测当时间不断增加时，模型的预测精度会逐渐降低，这也符合指数函数随着因变量的增加，其函数值增加的速度越来越快的特点。这也表明灰色理论预测模型的适应时间段有限，但在有限的时间段内其预测结果精度较高。

3.3 残差修正

为了进一步提升灰色理论预测模型的精确程度，并降低预测过程中出现的较大误差的可能性，对预测模型进行残差修正。本节仍以监测点1的数据为例。通过前面分析，已知监测点1的残差序列为：

ε(0)=[0,0.486,0.192,-0.057,-0.185,-0.154,-0.092,0.355]。

其中残差序列中最小值小于0，因此对残差数列进行正向平移变化，本节中对残差数列所有数据加1，使得序列中每一项均为正数，并得到新的数列:

ε(1)=[1,1.486,1.192,0.943,0.815,0.846,0.908,1.355]。

对该数列进行灰色理论预测可得：

对模型1进行修正得：

同理可得其他3个监测点的修正模型为：

通过对比残差修正模型预测结果与实时监测结果，发现残差修正模型在一定程度上提高了预测模型的精度，但仍然存在着当时间序列增加，其预测结果偏移量增加的情况，所以灰色理论预测模型只适用于短期且已知信息量较少的数据变化趋势预测。

3.4 沉降改善措施

受地表水资源匮乏的制约因素，太原地区需要大量地下水开采来保证社会经济正常发展，且无法像长三角平原、江汉平原等地区由于地表水资源丰富，而采用地下水禁采措施减少沉降。目前太原地区沉降改善措施主要有以下几个方面：

1)减少在同一地方大量进行地下水开采而导致地下水位下降过大，应采用分布式开采，减轻局部地区开采压力，有助于减少区域性的地面沉降。

2)由于深层地下水不易得到补给，恢复较慢。因而考虑开采恢复能力较强的浅层地下水(潜水含水层与微承压水)，降低潜水位有利于减少地下水蒸发量，增大地表水向下入渗并可加速浅层水循环，有利于污染浅水层的修复。太原地区开采水资源应注重大气降水与地表水的获取，从而减少地下水开采压力。

3)对于水源地的规划应采取多且分散的规划策略，按照各个水源地的具体情况可以适当的进行轮流开采，将水位情况作为可开采资源的必要约束条件。将主要的湖泊、河流附近进行水源地的规划开发作为地下水开采的合理补充。并对其做好保护工作，防止其受到污染影响。

4)加强地下水水位的动态监测，地面沉降一般滞后于水头的下降,前期变形缓慢很难察觉，一旦发生很难恢复，对于其动态实时监测尤为重要，地下水水位与地面沉降观测网络包括地下水观测井和基岩标以及分层沉降标的合理规划与统一管理尤为重要。其为最大限度获取实时地下水与地面沉降的动态资料扮演着关键性角色。

5)星载合成孔径雷达干涉测量(InSAR)技术由于空间覆盖范围广、空间分辨率高、全天时、全天候、形变探测精度高等特点，成为常用大地测量技术之一，通过计算两次过境时SAR影像的相位差来获取数字高程模型。相比GPS测量、常规大地测量法和近景摄影测量等传统方法,具有毫米级的监测精度，作业效率高、数据处理流程化等优势。对于城市地面沉降，矿山沉降形变监测，基础设施沉降监测在近年来广受追捧，并且随着SAR卫星的成像质量和时空分辨率等越来越高，其监测效果也愈加增强，对于地面沉降毫米级形变的实时监测预警，可以帮助第一时间发现沉降区域，在沉降初期进行治理工作，降低沉降对城市带来的威胁，目前InSAR技术对于沉降发生的预警作用已在各地广泛开展应用。

4 结论与讨论

地面沉降是多种外部因素和内部因素综合作用的结果，现有理论很难解释地面沉降的过程。而地面沉降量的统计、计算和预测在某种程度上是一种信息相对模糊，既存在部分已知信息又具备部分未知信息的一种系统。所以可利用灰色系统理论对地面沉降量进行短期预测以便应用于实际工程。本文为对四个监测点的沉降量进行灰色理论模型分析，推导出了研究区的地面沉降在短期内的预测公式，得到主要结论如下：

此次研究只是GM(1,1)模型的一种应用，对于类似问题也可以采用GM(1,n)模型来解决。模型在预测短期地基沉降方面具有较高的精确性，研究在区及其附近范围内适用性较强，对于今后区域内沉降的监测和指导工程施工具有积极的意义。

通过对比四个监测点的预测模型公式，可知该区域的预测模型相似度较高，可初步推测在监测点所围成研究区内发生的是一个整体上的均匀沉降，在该区域内各处的沉降趋势基本上是一致的。

从极限分析的角度来看，地面沉降在时间间隔发展到一定阶段后终会停止，甚至出现回升，而模型预测的沉降量是一个持续增加的数值，这造成模型在短期内的预测精度较高，而长期预测的地面沉降值精度有所下降。因此对于时间间隔较长的地面沉降，还需重新统计沉降发生的近期数据并开展新的预测。