关淮桐， 田瑞兰， 张子文

(1.石家庄铁道大学 工程力学系，河北 石家庄 050043； 2.石家庄铁道大学 交通运输学院，河北 石家庄 050043)

近年来，人们设计出各种的超材料，如声学超材料，电磁超材料和机械超材料等[1-3]。其中机械超材料指的是一组具有反直觉力学性能的人造结构。随着增材制造技术的快速发展，负泊松比超材料因其巨大的应用潜力而受到广泛关注[4-6]。Shen等[7]采用电子束熔炼(EBM)方法设计并制造一种新型的Ti-6Al-4V三维可重入晶格负泊松比蜂窝结构，将二维结构构件组合成三维可重入的点阵生成结构，通过梁理论推导出几何设计参数与结构力学性能的关系，与经典的可重入点阵结构相比，发现新型三维可重入点阵结构具有更好的力学性能、更强的吸能能力和更大的设计范围。张子文等[8]在蝴蝶图案结构和星形蜂窝结构的基础上，构造了一种新型的仿蝴蝶蜂窝(BSH)结构，实现负泊松比与面内刚度的耦合改进，探讨泊松比与结构参数的关系，并采用Gamultiobj多目标遗传算法，选出最优解作为新型结构优化设计的解，发现BSH结构的相对弹性模量和仿形效应均有较大提高，同时在保持高仿形效应的同时，结构的刚度也有所提高。Bacigalupo等[9]提出适当的数值技术解决机器学习技术在声学超材料中的优化设计问题，研究低频带隙振幅的最大化，讨论径向基函数网络和Quasi-Monte Carlo方法插值这类优化问题目标函数的可行性和有效性，并给出了它们在具有四手性微观结构的特定声学超材料中的数值应用。Zhang等[10]设计并表征一种新型的二维(2D)轻型旋转排列仿形结构。通过理论计算、数值模拟和实验方法，对新型结构的弹性性能、塑性破坏应力和比能吸收(SEA)进行系统研究。旋转排列的形状和单元胞内稳定的三角形设计使其具有优异的能量吸收能力，显著高于传统的星形蜂窝和可重入六边形蜂窝结构。

寻找更高负泊松比蜂窝拓扑结构早已成为当前超材料领域的重要研究主题之一。在实际应用中，对负泊松比蜂窝夹层结构动力学行为的研究也具有现实意义。蜂窝夹层板是由上下蒙皮和蜂窝芯通过胶粘剂粘接而成的一种层状复合夹芯结构，在航空航天和建筑等领域具有广泛的应用[11-12]。Lai[13]通过实验和三维模型分析表明在弯曲振动分析中可以将蜂窝芯层等效为正交各向异性层。Reddy[14]提出板位移场和相关平衡方程理论，并建立层合各向异性复合材料板的理论。彭博等[15]利用有限元模型研究蜂窝夹层板结构中导波的传播特性，并进行蜂窝夹层板结构中蒙皮与蜂窝芯脱粘损伤检测的实验研究，建立基于实际蜂窝夹层板结构的有限元模型。利用COMSOL Multiphysics软件模拟导波在完好结构和含有脱粘损伤结构中的传播规律。结果表明，导波在蜂窝夹层板中传播时具有频散和多模态特性，可通过频散关系确定导波的各阶模态。齐佳旗等[16]通过有限元仿真软件ANSYS/LS-DYNA分析半球头圆柱低速冲击铝蜂窝夹层板的损伤变形，建立含蒙皮、蜂窝芯和胶层的铝蜂窝夹层板精细化仿真模型，并研究铝蜂窝芯单元尺寸、高度以及金属、碳纤维增强复合材料(CFRP)2种蒙皮材料对蜂窝夹层板冲击响应的影响。朱成雷等[17]以舰船的双层底板架单元为基础，在保证夹层板总质量和主尺寸与原板架相同的前提下，建立36种不同尺寸的四边形蜂窝夹层板模型，利用仿真算法进行声学性能分析。朱秀芳等[18]研究内凹六边形蜂窝夹层板几何参数变化对板振动频率的影响，并得到频率随泊松比的变化规律。董宝娟等[19]研究具有梯度的负泊松比蜂窝夹层板自由振动时的频率，及其随蜂窝芯层梯度和板几何参数的变化规律。朱绍涛等[20]发展高维Melnikov方法研究含参非线性动力系统的多周期解分岔问题，并应用于负泊松比蜂窝夹层板的多周期运动等复杂非线性动力学行为的研究。

目前，研究的焦点聚焦在内凹六边形蜂窝芯层夹板。本文研究仿蝴蝶形蜂窝夹层矩形板的自由振动问题。将BSH夹层板等效为正交各向异性层合板，对于有软芯的蜂窝夹层板来说，由于不能忽略其横向剪切变形的影响，导致一阶剪切板理论不再适用。采用Reddy高阶剪切变形理论和Hamilton原理推导四边简支边界条件下的BSH夹层矩形板的自由振动问题。利用Navier法假设模态函数，计算出系统的固有频率，在自由振动情况下，得出BSH夹层板蜂窝芯层各几何参数对BSH夹层板系统的固有频率ω的影响。

1 BSH夹层矩形板理论模型

图1为BSH胞元结构。图2(a)是1/4 BSH胞元结构的几何参数，蝴蝶形胞元的1/4结构是由3根长度分别为L1、L2和L3(厚度分别为t1、t2和t3)的胞壁与4个边长为t的正方形连接组成，正方形连接处之间的位置由角度α1、α2、β1和β2确定。考虑四边简支边界条件下的BSH夹层矩形板，其力学模型如图2(b)所示。以蜂窝夹芯层的中面为x-y平面建立坐标系，z轴垂直于x-y平面。夹层板x和y在方向的长度分别为l1和l2。板厚为h，蜂窝夹层芯厚度为hc，k=1，2和3分别表示上表层(上蒙皮)，蜂窝夹芯层和下表层(下蒙皮)。

图1 BSH结构的细胞和周期性排列Fig.1 Cellular and periodic arrangement of BSH structures

图2 BSH结构示意Fig.2 Structure diagram of BSH

基于Reddy高阶剪切变形理论，正交各向异性板或正交各向异性层合板，位移场可表示为[11]:

(1)

式中：u、v和w是中平面上的点位移；φx和φy是绕x轴和y轴的旋转角度；u1、v1和w1分别表示夹层板中任一点沿x、y和z方向上的位移。由Von-Karman大变形理论，与上述位移场相关的非零应变可表示为：

(2)

因BSH夹层板等效为3层层合各向异性板，其本构方程为:

(3)

式中:

(4)

根据式(1)代入式(2)，得BSH夹层板应变-位移关系为：

(5)

式中:

内力和弯矩可以分别表示为：

(6)

内力-应变之间的关系式为:

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

其中正交对称的BSH层合板的各刚度矩阵为:

根据计算有：A16=A26=0，D16=D26=0，F16=F26=0，H16=H26=0，Bij=0，Eij=0。

利用Hamilton原理:

(12)

系统广义位移运动方程为:

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

2 计算BSH夹层矩形板固有频率

考虑四边简支边界条件下BSH夹层板的自由振动：

(18)

利用Navier法求解系统的固有频率，将位移分量表示为双三角级数形式:

(19)

式中：λ=mπ/l1；β=nπ/l2；Umn(t)；Vmn(t)、Wmn(t)、φXmn(t)和φYmn(t)为一组关于时间t的函数。

设其解形式为：

(20)

式中ω为系统的固有频率，将式(19)和式(20)代入式(13)～(17)中，得到关于ω的代数方程为:

K-ω2M=0

(21)

式中M和K分别为相对应的系数矩阵。

表1 2种负泊松比蜂窝夹层板的固有频率

为了研究BSH夹层板固有频率ω和芯厚与板厚之比hc/h(芯层厚度系数)之间的变化关系，取板厚h=0.01，0.05，0.1和0.15 m。对4种不同厚度的夹层板进行研究，图3所示为BSH夹层板的固有频率随芯层厚度系数的变化曲线。

图3 BSH夹层板ω-hc/h变化曲线Fig.3 Variation curves ofω-hc/h of BSH sandwich panel

从图3可知，当hc/h<0.6时，系统固有频率ω随hc/h的增加而增大；而当hc/h>0.6时，系统固有频率ω随hc/h的增加而减小。不同板厚时，固有频率ω随夹层板总厚度h的增加而增大。对板厚h=0.1 m和h=0.15 m，m和n的改变对系统固有频率ω影响较大，而对板厚h=0.01 m和h=0.05 m的情况，m和n的改变对系统固有频率ω影响相对较小。进一步地，随着m和n的改变，曲线的波动区间基本不变，这种波动变化随夹层板厚度的增加而更加剧烈。现代工程上常见的铝蜂窝夹层板其芯层厚度系数通常在区间[0.7,0.9]内。对于负泊松比蜂窝夹层板的不同应用，在进行蜂窝夹层板的结构设计及应用时要充分考虑到图3所示的ω-hc/h的变化关系。

研究BSH夹层板的蜂窝芯层胞元结构角度参数β对固有频率ω的影响，角度β的取值范围应小于角度α的取值范围。如图4所示为固有频率ω与β的变化关系曲线。分别取板厚为h=0.01 m，0.1 m，0.2 m，0.3 m，选取一阶模态进行分析，即m=1，n=1。

总体上讲，BSH夹层板系统的固有频率ω随着芯层厚度系数hc/h的增加有所减小；随着角度β的增加，夹层板系统的固有频率ω增大，且不同芯层厚度系数hc/h的夹层板，固有频率差逐渐减小，这种情况对于低芯层厚度系数(hc/h=0.6，0.7)更为明显，由此可见，角度β的增加降低芯层厚度系数hc/h对BSH夹层板固有频率ω的影响；随着板总厚度h的增加，系统的固有频率ω也明显增大，且随芯层厚度系数hc/h的增加其变化趋势更加明显。对于板厚h=0.01 m的夹层板，芯层厚度系数hc/h增大，夹层板结构的固有频率ω的波动幅度逐渐增大。

为了研究蜂窝芯层结构胞元的长度参数L3与夹层板的固有频率ω之间的变化关系，考虑蝴蝶形内凹结构不出现胞壁交叉重叠的情况，L3的长度在区间[0.001 5,0.004 5]取均匀数值。夹层板的总厚度分别取h=0.01，0.1，0.2，0.3 m。如图5所示为固有频率ω与长度L3的变化关系曲线，取一阶模态进行分析。

对于板厚为h=0.1，0.2和0.3 m，BSH夹层结构的固有频率ω随L3的增加呈现抛物线形，先增加后下降，且这种走势随着芯层厚度系数hc/h减小而趋于平缓。对于板厚h=0.01 m时，夹层板的固有频率ω随长度L3的增加有略微的增加，且波动幅度随着芯层厚度系数hc/h的增加而剧烈。

图4 BSH夹层板ω-β变化曲线Fig.4 Variation curves ofω-β of BSH sandwich panel

图5 BSH夹层板ω-L3变化曲线Fig.5 Variation curves ofω-L3 of BSH sandwich panel

3 结论

2)当夹层板的总厚度h不变时，芯层厚度系数hc/h的增加，固有频率ω先增加后减小。当芯层厚度系数hc/h不变时，总厚度h的增加，BSH夹层板固有频率ω增大。随着m和n的改变，BSH夹层板ω-hc/h曲线的波动随着夹层板厚度的增加而变得更加剧烈。

3)角度β较大时，芯层厚度系数hc/h对蝴蝶形蜂窝夹层板固有频率ω的影响较小，角度β不变时，芯层厚度系数hc/h增加导致BSH蜂窝夹层结构固有频率降低。

4)BSH夹层结构的固有频率ω随L3的增加呈现抛物线形，当长度L3不变时，芯层厚度系数hc/h增大导致BSH夹层结构的固有频率降低。

通过深入研究各参数对BSH夹层板固有频率ω的影响，结果对负泊松比蜂窝夹层板的设计和应用具有指导意义。