刘永波， 任江龙

(中水北方勘测设计研究有限责任公司，天津 300222)

0 引 言

近几年来我国超长输水隧洞工程越来越多，这些工程一般位于高海拔地区、空间跨度大，为工程选择合适的坐标系统、投影方法和投影高程面，成为影响隧洞投影变形的主要因素。减小高海波地区投影变形的常用方法有高斯二级逆向法和椭球膨胀法。本文对这两种投影方式进行对比并进行优化，根据不同工程特征，选用合适的高程面变换方法。

1 高斯二级逆向方法

高斯二级逆向法计算原理为，先计算投影起算点到各个控制点的方向和距离，该方向和距离计算都是在高斯平面上进行，而后经过方向改化和距离改化，化算到椭球面上，方向和距离改化方法按下面公式进行，再将距离按大地高比例放大到归算高程面上。

2 椭球膨胀法

椭球膨胀法是指沿地面上一点的法线方向将椭球面抬高到所需要的高度dh，膨胀后椭球的中心保持不变, 方向保持不变, 椭球扁率保持不变。由于椭球面具有各向异性, 所以膨胀后原法线不一定再与新的椭球面垂直, 这时可以求得新椭球的长半轴的变化。

由于高程投影面变换后的两个椭球面不是严格平行的，所以高程投影面高差H和椭球长半径的变换量da也不是严格相等，并且椭球变换后的同一点纬度值也会发生变化。如图1所示，椭球面的不平行性导致E2椭球面上P2点处的法线方向不再沿直线P1P2的方向。

图1 椭球膨胀法投影原理

经过公式推导，假设P2点在E2椭球上的大地纬度B2已知，则可椭球E2椭球的卯酉圈曲率半径N2及E2椭球的长半径a2：

借助地心纬度D2，可得

推得椭球膨胀后的纬度B2

根据a2、B2可计算出椭球膨胀后的高斯平面坐标。

3 椭球膨胀法和高斯二级逆向边长比较

本文针对两个隧洞工程，分别采用高斯二级逆向法和椭球膨胀法进行边长投影计算，对投影产生的边长变形进行比较分析，见表1。

表1 东北地区某隧洞工程椭球膨胀法与高斯二级逆向方法边长比较

在高斯分带宽度较小的情况下，椭球膨胀法和高斯二级逆向方法投影所得边长相差较小，见表2。

表2 某穿秦岭隧洞工程椭球膨胀法与高斯二级逆向方法边长比较

从表2分析得出，在东西跨度较大的隧洞工程中，椭球膨胀法比辐射投影变形边长要长，距离投影中央子午线越远，两种投影方式的边长差值越大。究其原因，是由于辐射投影法完全不仅消除了测区高出椭球面的边长投影变形，亦消除了高斯投影长度变形，因而理论上高斯二级逆向方法完全消除了两种长度变形。椭球膨胀法仅仅消除了投影面高出参考椭球面的长度变形，没有消除掉偏离中央子午线的投影变形。

4 某穿秦岭隧洞工程投影方案

通过对高斯二级逆向和椭球膨胀法两种投影方法进行比较，综合角度变形和边长变形两种因素，最终选择椭球膨胀法作为该工程的投影变形控制方法。

以某穿秦岭地区隧洞为例，该隧洞位于北纬34度至36度区间内，在偏离中央子午线40分情况下，偏离中央子午线距离为61.6 km。在按国家标准分带情况下，高斯投影两端变形为：+ 4.68 cm/km，中央子午线处变形为0，此时变形时超出规范要求的±2.5 cm/km。为使投影变化满足规范要求，在椭球膨胀提升时少比测区平均高程面少提升一定高度h，使得中央子午线处投影变形为一负值，分区两端变形为一正值。经过测算该h=150 m，该h值产生的变形值为-2.34 cm/km。最终每个分带中央子午线投影变形为-2.34 cm/km，分带两端变形为2.34 cm/km。达到了东西方向隧洞工程投影分带最少，又能满足工程测量规范中投影长度变形小于每公里2.5 cm/km的要求。

5 结 论

对于前期勘测设计阶段使用国家标准3度分带高斯投影，后期施工阶段把设计图纸转换高程面的情况，高斯二级逆向方法较为适合，这种方法不仅能够消除投影高程面高出参考椭球面的变形，同时能消除高斯投影变形，理论上完全能够消除边长投影变形。

如果前期勘测设计阶段和施工阶段为同一坐标系统，将前期地形图直接投影到施工高程面，这种情况宜采用椭球膨胀法进行高程面投影变换，因椭球膨胀法理论上仍是传统高斯投影，在地形图测量的各个工序，如RTK、机载Lidar激光点云处理等各种软件对椭球膨胀法数学模型支持较好。