杨 宏

(中铁二十局集团市政工程有限公司 甘肃兰州 730030)

1 引言

随着青藏高原与西北大区域交通基础设施建设需求持续增加，高海拔寒区隧道工程的建造规模也在逐年扩大[1－2]。其中，降低隧道冻害成为当前亟待解决的关键科学问题，也是高寒隧道工程界学者们研究的难点与重点。尤其当洞外处于极端环境温度，寒冷气流进入隧道洞内后与衬砌、路面及其下卧的仰拱发生反复热交换，致使隧道衬砌、仰拱以及排水结构等出现严重冻害，这些问题对高寒隧道的运营管理与安全行车造成严重困扰[3]。

冻结锋面作为高寒隧道保温板设计计算的重要参考，对高寒隧道工程保温建设具有重要指导价值。然而当前对高寒隧道冻结锋面的研究成果尚不深入，现有研究主要集中于单管冻结与少部分冻土冻结方面[4－6]，而公路隧道一般半径较大，且洞内纵向温度存在差异，断面温度差异不可忽略，所以获取冻结锋面的解析解较为困难。赖远明利用摄动技术，得到冻结锋面半径与时间控制方程，但未考虑风流场因素及纵向冻结锋面变化。冯强[7]建立了保温板条件下寒区隧道冻结锋面演化控制方程。赵玉报[8]利用FLAC3D技术，研究了冻土隧道围岩冻结锋面发展规律。刘鹤[9]依托太锡铁路太崇段崇礼隧道工程，通过数值计算对季冻性寒区隧道波纹钢排水沟的适应性进行研究。但目前针对风流场条件下高寒隧道冻结锋面数学模型计算参数的选取上，未能统一标准。本文依托大阪山隧道，推导出高寒隧道三区域冻结锋面计算模型近似理论解，与实测数据进行对比分析并修正锋面参数，理论值与实测值吻合效果良好，可为同类工程提供指导。

2 冻结锋面控制方程推导与工程应用

2.1 高寒隧道温度场计算控制方程

本问题涉及相变传热，其能量控制方程为:

式中:f、u分别代表冻、融状态；T、C、λ分别为围岩温度、体积比热与导热系数。

在移动边界s(t)上，需满足连续条件与守恒条件:

式中:Tm为相变温度；L为含水岩土的相变潜热；n为移动边界的方向矢量。

在固定边界上的边界条件为:

式中:α为岩土热扩散系数；Ta为环境温度；n固定边界的方向向量。

初始条件为:

赖远明考虑ΔT的影响构造了等价热容:

结合式(3)～式(8)，将式(1)～式(2)简化为:

2.2 高寒隧道温度场计算相关参数

2.2.1 容积热容

岩土体容积热容按下式计算:

式中:C为岩土体容积热容；Cs为岩土体比热；ρ为岩土体天然密度。

岩土体比热按下式计算:

式中:Cus、Cfs、Cdf、Cdu、Cω、Ci分别为未冻土比热、冻土比热、冻土骨架比热、融土骨架比热、水比热、冰比热；us与fs分别代表未冻结与冻结土体；ω与ωu分别为土体含水率与未冻结土体含水率。

2.2.2 导热系数

各组成物质的导热系数及相应体积比计算:

式中:λu、λf、λs、λw、λi分别为未冻土、冻结土、土骨架、水和冰的导热系数；θs、θw、θi分别为土骨架、水和冰的体积含量。

2.3 潜热与熵焓理论

常用的潜热处理方法包括温度回升法、等价比热容法和热焓法，焓定义为:

对温度求导可得:

代入热传导方程

焓值的变化为密度与比热的乘积对温度的积分，表示为:

2.4 通风条件下隧道洞内气温纵向分布特征计算模型

据统计数据分析可知，隧道洞内纵向气温分布规律[10－11]为:

式中:Tm为洞内年平均气温；Tv为洞内温度“振幅”；φ0为相位；ω＝2π/φ，φ为气温变化周期。

由于φ0沿隧道纵向变化程度较小，计算时认为φ0为定值，所以只要确定Tm与Tv即可。

图1为隧道纵向温度传热模型。

图1 隧道纵向温度传热模型

图中:T0(t)为洞口温度；Td(z，t)为洞壁温度；f(z，t)为洞内温度；qz为围岩与气体传递的热量；Vf为洞内气体流速；dz为距离微分单元。

隧道洞内气体能量守恒方程为:

式中:cp为洞内气体比热容；ρ洞内气体密度；A隧道断面截面积；p隧道环向弧长；hf为围岩与气体对流换热系数。

隧道洞内风速呈幂函数形式衰减，记为Vf＝V(l)，l为隧道进深。

整理可得:

将式(2)和式(4)代入式(5)得:

结合边界条件Tm＝Tm0，z＝0得:

将式(2)和式(4)代入式(5)还可得到:

式中:R1为隧址区冻结埋深[9]。

结合边界条件Tv＝Tv0，z＝0得到:

式中:T0为洞口温度；d为隧道等效半径；dl为隧道围岩温度场影响半径；p为隧道环向弧长；ks为围岩导热系数；α为岩石热扩散系数。

进而得到高寒隧道纵向温度场分布规律:

2.5 通风条件下高寒隧道冻结锋面计算模型

冻结区域温度为Tf，未冻结区域温度为Tu，冻结锋面半径为R(t)，冻结锋面处的温度Tj＝0℃，隧道半径为Rt，隧道洞内热流密度为q。图2为冻结锋面示意图。

图2 冻结锋面示意

其热传导微分方程为:

式中:αf、αu为热扩散系数，且有:

式中:λ、c与ρ分别为导热系数、比热与饱和密度。

热传导微分方程的初始条件为:当t＝0时，Tf＝Tu＝T0。

热传导微分方程边界条件为:

按照集中参数法[12]，其热流量表达式为:

式中:h为固体与流体的表面传热系数；A为物体表面积；V为物体体积；c为比热；ρ为密度；T00为初始温度，置于隧道洞内气温为T11的流体中，即:

在相变界面R(t)处的热方程为:

式中:L为单位容积岩体相变潜热，即:

式中:Lw为单位质量水的相变潜热；ρd为岩体的干密度；w0为岩体的初始含水率；wu为岩体中未冻结水含量。

对导热微分方程进行求解，得到温度场分布规律:

将式(2)与式(17)代入式(20)得:

将式(9)与式(7)相应的Tm与Tv代入式(22)可得到冻结区域温度场分布规律。

式中:E为指数积分函数，满足:

当r＝R(t)时，Tf＝Tu＝0，基于单管冻结理论及平板冻结理论，结合有关研究成果，鉴于隧道断面温度不同，将理论冻结锋面划分为三个区域，每个区域的断面初始温度不同，结合彭立敏[13]研究成果及蒋斌松[14]研究成果，得到冻结锋面半径与时间的平方根关系方程:

式中:t为时间，d；a、b、c为待定系数。

风流场条件下高寒隧道温度场可由单管冻结理论近似求解，当确定岩土体的热物理参数后，冻结锋面半径可采用式(38)进行计算。

2.6 冻结锋面理论解工程实例对比分析

以某高寒隧道实测温度数据为依据，对冻结锋面理论解与实测值进行对比分析，验证理论解的合理性。

取空气与围岩对流换热系数hf＝h＝12.0W/(m2˙K)，岩体的热扩散系数为αf＝0.114 m2/d、αu＝0.225 m2/d，冻结区围岩比热与导热系数分别为cf＝1.617×103J(kg˙K)、λf＝1.824 W/(m˙K)，未冻结区围岩比热与导热系数分别为cf＝1.929×103J(kg˙K)、λf＝1.434 W/(m˙K)，体积相变潜热为ρL＝46.44 ×106J˙m－3，围岩初始温度为1.5℃，密度为ρ＝2.5×103kg/m3。

根据物理模型试验结果[15]，图3为冻结锋面区域划分。由于实测数据只有区域二、三现场实测冻结深度，结合模型试验结果来获得区域一冻结深度现场数据。基于现场区域二、三冻结深度，通过建立模型试验三个区域冻结深度的关系可以得到区域一冻结深度数据，具体方法为:

图3 冻结锋面区域划分

将模型隧道冻结锋面区域一、二、三分别简化为平均冻深，三个区域平均冻结深度存在关系:

区域一平均冻深∶区域二平均冻深∶区域三平均冻深 ＝1∶1.17∶2.36。

通过对现场区域二与区域三冻结深度关系对比(区域三平均冻深/区域二平均冻深)，可以看出每个时期的冻结深度关系波动范围在1.85～2之间，与模型试验区域二与区域三平均冻深2.07较为接近，说明模型隧道三个区域冻结深度关系与现场三个区域实测冻结深度关系类似。

取隧道进深z＝20 m，由于现场测试数据有限，只有10～12月及次年1～3月数据，通过6个月的实测数据进行理论计算，结果与现场实测结果进行对比分析。将所有参数代入式(38)，三个区域待定系数b分别为0.15、0.18、033，表1～表3为理论解与实测值。

表1 冻结锋面计算值与实测值比较(区域一)

表2 冻结锋面计算值与实测值比较(区域二)

表3 冻结锋面计算值与实测值比较(区域三)

得到冻结锋面方程为:

将实测值与理论值进行相关性分析，见图4～图6。以区域二为例，当t<100 d，理论解与实测值相关性较低；当t>100 d，理论解与实测值接近程度增加，但计算值与实测值的相关系数属于低度相关，建议采用修正系数对理论解进行修正分析。

图4 冻结锋面区域一理论解与实测值对比

图5 冻结锋面区域二理论解与实测值对比

图6 冻结锋面区域三理论解与实测值对比

修正原理采用相关系数最大化法，采用不同函数形式拟合现场数据，函数类型应与推导的理论方程相同，通过SPSS软件进行不同拟合函数与现场数据的相关系数分析，得到相关系数最大拟合控制方程，然后再比较相关系数最大拟合控制方程与理论方程差异性，得到修正系数。

修正冻结锋面方程为:

式中:m、n为修正系数。

经计算，区域一修正系数m、n分别为1.87、－1.37，区域二修正系数m、n分别为1.83、－1.62，区域三修正系数m、n分别为1.97、－3.34，基于Perason相关系数计算法，修正理论计算值与实测值的相关性达到最大，结果较为可靠，见表4～表6。

表4 修正冻结锋面计算值与实测值比较(区域一)

表5 修正冻结锋面计算值与实测值比较(区域二)

表6 修正冻结锋面计算值与实测值比较(区域三)

可见，冻结锋面修正理论解能够反映实测锋面分布特征，通过确定隧道进深，可以得到整个风流场条件下高寒隧道不同进深处的冻结区域具体分布特征。

3 结束语

(1)基于风流场条件下的高寒隧道纵向气温计算模型，考虑单管冻结理论与瞬态热传导物体热流量，给出了通风条件下高寒隧道冻结锋面理论计算模型。

(2)对比分析了高寒隧道冻结锋面理论计算值与实测值，并对冻结锋面理论解进行修正，修正后的三个区域冻结锋面可以用于现场高寒隧道的近似估算以及温度场数值模拟的准确性检验。