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“双减”背景下《线段中点》的教学实践与思考

2022-09-29龙艳君

新教育时代电子杂志(教师版) 2022年29期
关键词:符号语言逻辑推理中点

龙艳君

(北京市通州区运河中学东校区 北京 101100)

一、文献综述

“几何学的本质是研究空间的图形,研究图形的性质以及图形之间的关系。”在这样一个大观念的引领下,对于线段的研究有两个内容:一是对线段自身进行研究;二是对图形之间的关系进行研究。而对线段中点的研究是对线段自身的进一步研究。因此,线段的研究路径为:从现实生活中抽象出线段→给线段描述性定义→用符号语言表示线段→研究线段的性质→研究线段的组成元素:点,其特例为线段中点→研究线段与线段之间的关系[1]。

有研究表明:7年级有25%的学生几何思维达到了水平3,也就是说有能力进行非形式化的证明;仅有1%的学生几何思维水平达到了水平4,即可以从已知条件出发,采用逻辑推理的方式证明命题。因此,作为初中几何推理的起始课,需注意对概念的应用要循序渐进、对推理的要求由易到难。

二、教学背景分析

1.数学教学价值的要求

对于线段中点的研究,实际是平面几何中对图形研究的第一步,本节课开始将比较系统地研究几何图形,培养逻辑推理能力。线段中点是几何中一个比较重要的概念,它是学生类比学习角平分线定义的一个基础,它将与线段的垂直平分线、三角形的中线等重要概念相联系,还与应用广泛的三角形中位线定理相联系,它是学生认识线段定比分点中的第一个特殊分点。因此,线段中点是一个具有发展性的概念,它对学生后续学习有重要的奠基作用。

2.课程标准的要求

《数学课程标准》指出:“推理能力的发展应贯穿在整个教学学习过程中。推理是数学的基本思维方式,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。”数学具有严谨逻辑性的特点,在初中阶段,逻辑推理能力是一种十分重要且特殊的能力,与学生的数学学习存在着十分密切的关联。培养学生的数学逻辑推理能力,对学生数学核心素养的形成也有着十分积极的影响[2]。本节课是学生进行推理计算的第一课时,通过线段中点定义的规范化书写,并在例题中注重分析思路,让学生学会思考、学会清楚地表达思考的过程,可以进一步培养学生的逻辑推理能力,这样的分析问题、解决问题的方法,对以后的学习是至关重要的。

3.本学段教学内容的要求

学生在小学时期就已经知道线段是轴对称图形,而且六年级刚学习了线段的和差、线段的中点等知识。同时学生在操作体验上也学会了用对折线段的方法找到线段的中点,会用度量的方法利用刻度尺画线段的中点。在学本节课之前,学生刚学过直线、射线、线段的概念。本节课首先通过小学的方法探究得出中点的定义,然后用文字语言、符号语言和图形语言三种语言来刻画线段中点,体现了数形结合思想及数学语言的准确表达。并在推理得到线段中点的不同表示方法和例题计算过程中,培养了学生严谨的思维过程,渗透了几何的推理过程,为以后学习几何的证明奠定了必要的基础。

三、学习者分析

虽然初一的学生已经有一定的学习经验和生活经验,能够根据具体的情境体会线段中点的定义,但是在本节课上,中点的定义会通过文字、图形和符号三种语言来表示,因此很多内容对于学生来说是生涩的。本节课首先通过小学的方法探究得出中点的定义,然后用文字语言、符号语言和图形语言三种语言来刻画线段中点。从旧知过渡到新知,让学生更容易接受和理解,达到减轻学生负担提高学习效率的作用。后续在推理得到线段中点的不同表示方法和例题计算的过程中,再培养学生严谨的思维过程和推理过程,为以后学习几何的证明奠定了必要的基础。

四、教学目标确定

1.掌握线段中点的定义及符号表示方法,能进行简单的有关线段中点的计算。

2.在探究、思考和分析的过程中,逐步学会运用数学语言进行表述,逐步培养解几何问题的严谨性和规范性。

3.培养自主探究,积极思考的学习能力,培养数形结合思想和逻辑推理能力。

教学重点:线段中点的定义是本节课的重要内容,本节课将利用中点的定义进行简单的推理计算,培养学生的逻辑推理能力,所以本节课的重点是中点的定义及符号表示方法。

教学难点:对于七年级的学生,本节课逻辑推理的要求有一定的难度,所以本节课的难点是运用线段中点的知识解决线段计算的有关问题。

五、教学过程

活动一:思考

问题1:有一根长10cm的绳子,你能把它平均分成相等的两段吗?如何操作?

问题2:如图,在线段AB上画一点C,使线段AC=BC。怎样确定点C的位置呢?

活动设计意图:问题1以生活事例为原型来启发学生学习,唤醒学生已有的经验,引发他们进一步思考。对于这个问题,学生可以用小学对折或度量的方法去找到绳子的中点。问题2从具体到抽象,类比于问题1,多数学生能想到用尺子量出AB的长,再除以2,找到中点;或通过折叠,把点A和点B折到一起,折出中点。活动一的目的主要是创设问题情境,让学生进行学习的迁移,引出中点定义。

活动二:定义

如果点C是线段AB上的一点,并且满足AC=BC,那么点C叫做线段AB的中点。

几何语言:

∵点C是线段AB中点,

∴AC=BC。

通过推理证明,得到中点定义的其他表示方法。

根据中点定义,

∵点C是线段AB中点,

∴BC=AC

在深圳特区创建30周年之际,温家宝视察深圳建设时又重申了政改的重要性,引发了海内外媒体的高度关注。法国的《欧洲时报》就曾刊发题为《中国政改在路上》的文章,美国《侨报》也刊登了《保障经改成果中国政改箭在弦上》的文章。温家宝在深圳讲话中指出,经济体制改革与政治体制改革存在着不可分割的内在关系。不仅要推进经济体制改革,还要推进政治体制改革。没有政治体制改革的保障,经济体制改革的成果就会得而复失,现代化建设的目标就不可能实现。

∴AB=AC+BC=2AC(或2BC)

推导得出中点定义的第二种表示方法:

∵点C是线段AB中点,

∴AB=2AC(或AB=2BC)

类似地,

∵点C是线段AB中点,

∴AB=2AC(或AB=2BC)

∴A C=A B(或B C=A B)

推导得出中点定义的第三种表示方法:

∵点C是线段AB中点,

∴A C=A B(或B C=A B)

活动设计意图:让学生理解线段中点文字、图形和符号三种语言的表达方式,并在此过程中体验三种表示方法的推导过程,培养学生严谨的思维过程和数形结合思想,渗透几何的推理过程。

活动三:练习

例1 已知:如图,点C为线段AB中点,线段AC=5,求线段AB的长。

例2 已知:如图,点C是线段AB上的点,AC=6,BC=4。

(1)点D为AC中点,求线段DB的长。

(2)点E为AB中点,求线段EC的长。

(3)点D为AC中点,点F为BC中点,求线段DF的长。

(4)点E为AB中点,点F为BC中点,求线段EF的长。

活动设计意图:例题设计从简到难循序渐进,符合学生的认知规律,让不同层次的学生都有所收获,学生在此过程中逐渐理解线段中点的相关计算。在计算过程中规范学生格式,培养学生数形结合思想。

活动四:小结

掌握线段中点的概念及其不同的符号语言表达方式;会运用线段中点知识解决相关计算问题。

活动意图:引导学生从知识、能力等方面做总结,完善知识体系,培养学生归纳总结能力。

六、教学反思

学生通过小学的学习已经了解了线段中点的简单定义,也学习了用度量的方法利用刻度尺画线段的中点,这为本节课做好了知识上的准备。本节课借助已有的知识和方法主动探索新知识,扩大认知结构,发展能力,从而使课堂教学真正落实到学生的发展上。

本节课教学设计整体化,循序渐进。首先,通过生活情景,即如何把绳子平均分成相等的两段引入,而后从具体到抽象,过渡到如何在线段AB上画一点C,使线段AC=BC。这个过程不仅让学生感受数学来源于生活而服务于生活,也是对学生小学学过的线段中点定义的回顾。学生在此思考、探究的过程中归纳得出初中关于线段中点的定义,让知识的形成过程流畅而不生涩,培养了学生的语言表达能力和归纳概括能力[3]。京教版课本上在给出线段中点定义的图形语言和文字语言之后,又给出了三种符号语言,但这三种符号语言是平行给出的,省略了一些推理过程。本节课把这三种符号语言的逻辑推理过程加上了,即首先根据线段中点的文字语言直接得出一种符号语言,然后推理得出另外两种符号语言,让学生更能知其然知其所以然,培养学生思维的严谨性。因为本节课的重难点是理解线段中点的定义并利用其进行推理计算,所以设计的例题由简到难,都是有关线段中点的定义和线段的和差展开推理计算,让学生逐步熟悉几何推理过程的书写过程,规范书写格式,培养逻辑推理能力。在教学过程中,主要体现了以教师为主导、学生为主体,以知识为载体、培养学生思维能力为重点的教学思想。

七、在教学实践中培养学生的逻辑推理能力

1.培养学生有效读题、识图的能力

本节课要求学生做到有效读题,即把已知条件与图形紧密联系,养成一边读题一边在图上标已知量或者由已知推出的间接已知量的良好读题习惯,要让学生能把图形与文字相结合,培养数形结合思想。还要让学生学会识图,即不仅能记住概念的简单图形,也能在复杂的图形中识别出表示概念的各种图形。如本节课的例题2中,不仅有线段的中点,也有线段的和差,学生如果能辨别出线段的和差关系,找准线段的中点再进行有关计算,题目往往就迎刃而解了。

2.加强学生数学语言的训练

数学语言分为文字语言、符合语言和图形语言三种。但学生在进行几何学习时,遇到的很多困难都是由于不能理解数学语言或者是不能正确使用数学语言而引起的。因此,在几何概念或者定理的教学过程中,教师要加强三种语言形式的互换。比如,刚学一个几何新定义,教师在给出示范之后,可以让学生模仿一道类似的题,巩固文字语言与符号语言、图形语言的相互转化训练。

3.注重例题、习题的讲解教学

在讲解例题时,可以留给学生充足的思考时间,不着急帮学生分析。当学生遇到困难时,再提醒学生从已知条件中寻找信息,即由已知条件可以推出哪些间接已知条件,体现以教师为主导学生为主体的作用。很多几何题的做法并不唯一,在教学过程中可以鼓励学生讲述自己的思路,尽量多给学生展示的机会,让学生积极分享、展示自己的想法,进而提高学生的数学语言表达能力,提升几何逻辑推理能力。

4.明确逻辑推理的书写格式

在几何的逻辑推理过程中,要求学生要做到推理步步有依据,知道上步的条件下应得的结论,条件和结论之间的推理过程应该连贯。刚学习几何推理时,要让学生尽量不要把好几个条件写到同一个“因为”上,避免出现逻辑混乱的现象。在教学过程中,教师也可以多让学生上黑板板书或者投影仪展示其书写过程,然后教师和同学们一起订正,规范学生的书写格式,养成良好的几何书写习惯。

几何对培养学生逻辑思维能力的有效性是其他学科无法替代的。在学生学习几何之前,数学的学习主要是研究数量关系,而几何的学习主要是研究几何图形及其性质,这就带来了学习方法的变化。在线段中点这节课中,学生会遇到一些陌生的名词术语、图形和符号等,这些内容虽然会让学生觉得与以往的数学学习不完全相同,但却是后续几何学习的基础知识,因此本节课是打好几何基础的第一课。

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