王俊岭，罗智荣，郭翠芳，刘 娟

(江西理工大学信息工程学院，江西 赣州 341000)

1 引言

计算机网络病毒，是指一种能够通过互联网进行传播的恶意程序。随着计算机网络的不断发展，网络病毒也随之不断进化，种类更加复杂、隐蔽性更强、传播更迅速、制造病毒的手段更加多元化[1]。随着移动互联网和物联网时代的来临，网络给人们日常工作、学习和生活带来极大便利的同时，也给病毒在互联网中的传播埋下隐患。病毒的不断发展不仅给社会造成巨大的经济损失，甚至于会危及到人类的生命安全。比如目前新兴的自动驾驶汽车，远程操控手术技术等，一旦被网络病毒感染，后果不堪设想。因此研究网络病毒的传播规律，掌握控制网络病毒的传播手段具有重大意义。目前，国内外对网络病毒传播研究的模型分为微观模型和宏观模型，微观模型指的是研究网络病毒的代码本身从而建立反病毒软件；而宏观模型，则是借鉴生物传染病的仓室[2]，结合网络特征建立网络病毒传播的仓室模型，以此来研究各种仓室中病毒在不同传播条件下的传播规律，从而找到控制病毒传播的方法。本文研究网络病毒传播的手段，借鉴生物传染病仓室模型，结合网络病毒传播特征，提出了病毒在不同传播条件下的SEIRS模型，从宏观角度研究网络病毒的传播和控制。

国内外学者对网络病毒传播规律进行了深入研究，Cohen等[2]提出可以运用传染病动力学领域的仓室建模技术来了解网络病毒的传播规律；Kephart[5]借鉴一类经典的传染病SIS仓室模型，成功建立了最早的计算机病毒传播仓室模型；Ren等[2]建立了一个具有饱和传染率的 SIR 模型；冯丽萍等建立了一个改进的SIR模型[7]；HAN等人引入时滞来反映病毒传播的潜伏期，建立了SIRS 模型[7]；Wang 等建立了SIQR病毒时滞扩散模型[9]；刘启明等建立了一类具有分布时滞的SIRS网络病毒传播模型[10]；王刚等建立的潜伏机制下的网络病毒传播SEIQRS模型[10]。然而，现有研究模型都存在不足之处。现实中，由于全球时间地域和用户习惯的不同，任何时刻都可能有新的节点接入和旧的节点下线，网络节点数量时刻处于动态变化之中；易感节点在受到网络病毒的攻击后，由于网络病毒应用背景和目的不同，潜伏的时间长短也不同，时延长短很难确定，因此以上模型存在较大限制因素。本文充分考虑现实中网络节点动态变化情况，基于网络病毒的潜伏性特点以及节点状态转移参数改变对病毒传播和系统稳定性的影响，建立了与此相对应的动态演化SEIRS网络病毒传播模型。

2 网络病毒传播模型

参照SEIR模型[11]进行改进得图1 DynSEIRS模型，为了方便后续的模型分析，本文重新定义一些符号如下：

S(t)：在t时刻未感染病毒且没有免疫力的节点，称为易感节点，简写为S(S≥0)

E(t)：在t时刻感染病毒但病毒处于潜伏期的节点，称为潜伏节点，简写为E(E≥0)。

I(t)：在t时刻感染了病毒且病毒发作的节点，称为感染节点，简写为I(I≥0)。

R(t)：在t时刻对病毒有免疫力的节点，称为免疫节点，简写为R(R≥0)。

最初，网络中的所有结点都是正常运行的，且只存在易感节点和感染节点，一旦受到网络病毒的袭击，各节点状态将会遵循以下规则的转换：(A1)由于全球时间地域和用户习惯的不同，不同的节点联入网络的时间也是不同的，因此不断有新节点以δ>0的恒定速率联入，且联入的新节点都是易感的。同理，有不断的节点以恒定速率δ>0断开下线。

(A2)对于易感状态节点S，由于病毒的入侵，每个易感节点因与感染节点通信而转换成潜伏节点，设每次信息发送接收，传染病毒的概率为β0，单位时间内一个易感节点与其它节点进行信息共享的次数U，则平均有效传染率为β0U，根据以上定义，t时刻所有已感染病毒的节点感染的新节点数为β0USI/N，其中N为网络节点总数。根据 Guan等[12]研究得知，接触次数U与节点度k成正比，即U=β1k，记β=β1β2为潜伏节点的感染系数，从而单位时间内被病毒感染的新节点数为βkSI/N。

(A3)对于易感状态节点S，每个易感节点因安装最新版本的杀毒软件而转化为免疫节点的单位时间概率为ω，ω>0。

(A4)对于潜伏节点E，每个潜伏的病毒被激活，而转化为感染节点的单位时间概率为γ，γ>0，因系统重装而转化为易感节点的单位时间概率为θ，θ>0，又因用杀毒软件及时查杀病毒而转化为免疫节点的单位时间概率为ε，ε>0。

(A5)对于感染节点I，每个感染节点在病毒攻击网络时被用户查杀而转化为免疫节点的单位时间概率为μ，μ>0。

(A6)对于免疫节点R，每个免疫节点因杀毒软件过期或因重装系统而转化为易感节点的单位时间概率为α，α>0。

图1 DynSEIRS模型的状态转移图

根据系统动力学原理及假设模型的状态转移图，可得DynSEIRS模型数学表达式如下

(1)

3 稳定性分析

由于R=N-S-E-I，式( 1) 可进一步简化成如下平面系统

(2)

其初始条件为：S(0)≥0，E(0)≥0，I(0)≥0，正向不变集为

Ω={(S，E，I)|S≥0，E≥0，I≥0，S+E+I≤N}

本小节通过求方程组( 2) 的平衡点并且研究系统在平衡点的稳定性来分析模型反映的病毒传播机理。令

(3)

借鉴文献[13]基本再生数的概念。根据式(2)中参数的物理意义，可得

(4)

S*=(δ+γ+ε+θ)(μ+δ)N/βγk

(5)

E*=(μ+δ)I*/γ

(6)

(7)

根据式(2)式可得任意平衡点P* 的 Jacobi 矩阵

J(P*)>

(8)

定理1：当R0≤1时，式(2)在D内仅有唯一的无毒平衡点P0局部渐近稳定。

证明：由式(8)可得平衡点P0处Jacobi 矩阵

J(P0)>

(9)

矩阵J(P0) 的特征多项式为

(λ+δ+ω+α)(λ+θ+δ+ε+γ)(λ+μ+δ)=0

(10)

其对应特征根λ1=-μ-δ，λ2=-ω-δ-α，λ3=-θ-δ-ε-γ显然，当R0≤1时，λ1，λ2和λ3根的实部均为负，无毒平衡点P0局部渐近稳定。

定理1表明，当R0≤1时，网络中最终只存在易感节点和免疫节点，感染节点和潜伏节点都随时间趋于0，网络病毒全部被消灭。

证明：由式(8)可得平衡点P1处Jacobi 矩阵

(11)

其对应的特征多项式为：λ3+b1λ2+b2λ+b3=0。其中：

当R0>1时，b1>0，b2>0，b3>0。根据Hurwitz定理，计算可得

由Hurwitz判据可得特征方程的根的实部均为负，即J(P1)的特征值实部全部为负。因此可得结论： 当R0>1 时，平衡点P1=(S*，E*，I*)是局部渐近稳定。

定理2表明，当R0>1 时，网络中潜伏节点和感染节点将以一定的比值持续稳定存在，网络病毒最终不能完全被消灭。根据定理1和定理2可知，可以调节参数使R0≤1，来控制和消除网络病毒的传播。

4 数值模拟与分析

为了观察微分方程(2)刻画的网络病毒的传播过程，研究各参数变量动态演化规律，本小节围绕系统基本再生数R0=βkγ(α+δ)/(δ+θ+γ+ε)(δ+μ)(ω+δ+α)，重点分析S-E状态传染率β、S-R状态转移概率ω和R-S状态转移概率α三个参数及新旧节点的上下线率δ对病毒传播的影响，进而验证模型的有效性及系统随时间的演进关系。仿真的目的主要是：①验证定理1，2理论分析的正确性；②在系统其它参数不变的情况下，改变状态转换参数来观察模型的网络病毒传播过程；③分析状态转换参数对网络病毒的传播影响，得出有利于控制网络病毒传播的结论。

图2 SEI相图

图3 SIR相图

分别设置系统变量的初值和相关参数，设置网络节点总数N=1，网络节点平均度k=30，最初，网络节点都是正常运行的，且只存在易感节点和感染节点，开始S和I为随机数量，其它参数的基本设置为：δ=0.0001，μ=0.08，θ=0.06，β=0.02，γ=0.2，ω=0.3，ε=0.06，α=0.02。计算得R0=0.293。由MATLAB仿真得到图2和图3。

由图2和图3相图可知，在R0=0.293<1情况下，无论易感节点S和感染节点I的初始值怎样分布，结果潜伏节点E和易感节点I都随着时间逐渐趋于0，病毒最终被完全消灭。而易感节点S和免疫节点R最终随时间趋于稳定，系统局部渐近稳定在无病毒平衡点P0处。这表明易感节点S和感染节点I的初始值，不会影响无病毒平衡点P0的位置。

4.1 S-R状态转移概率ω对病毒的传播影响

为了研究参数ω对网络病毒的传播影响，本文运用控制变量的方法，保持其它参数值不变，调整ω的值并分析其对病毒传播的影响。根据基本再生数R0，计算得S-R状态转移概率ω的阈值为ωlim=0.074。当ω>ωlim时R0<1，系统局部渐近稳定在无病毒平衡点P0；当ω<ωlim时R0>1，系统局部渐近稳定在有毒平衡点P1处。当ω=0.2时，R0=0.427<1，仿真结果如图7所示，从图4中可明显看出，感染节点随时间趋于0，病毒最终被完全消灭。当ω=0.04时，R0=1.565>1。仿真结果如图5所示，从图5中可明显看出，感染节点随时间趋于稳定，但网络病毒最终无法完全被消灭。

图4 ω=0.2时DynSEIRS随时间的数量变化

图5 ω=0.04时DynSEIRS随时间的数量变化

图6 在不同ω值下感染节点数随时间变化

图6是ω在不同值下，感染节点数随时间的变化曲线仿真图，其中，ω在区间[0.01，0.16]中取值，步长为0.5。当ω=0.01，0.06<ωlim时，系统局部渐近稳定在有毒平衡点P1处，感染节点无法完全被消灭；当ω=0.11，0.16>ωlim时，系统局部渐近稳定在无病毒P0处。病毒全部被消灭，仿真结果与理论分析一致。随着ω值不断增大，感染节点逐渐减少，这表明安装和更新最新的杀毒软件能有效的控制病毒的传播。当ω超过阈值ωlim即R0≤1时，病毒可以完全被消灭。所以，可以通过适当调控ω来有效控制和消除病毒的传播。

4.2 R-S状态转移概率α对病毒的传播影响

为研究参数α对网络病毒的传播影响，根据基本再生数R0，计算得R-S状态转移概率α的阈值为αlim=0.0814。当α<αlim时R0<1，系统局部渐近稳定在无毒平衡点P0处；当α>αlim时R0>1，系统局部渐近稳定在有毒平衡点P1处。当α=0.04时，R0=0.552<1，仿真结果如图7所示，从图7中可明显看出，感染节点随时间趋于0，网络病毒最终被完全消灭。当α=0.2时，R0=1.873>1。仿真结果如图8所示，从图8中可明显看出，感染节点随时间趋于稳定，但是网络病毒最终无法被完全消灭。

图7 α=0.04时DynSEIRS随时间的数量变化

图8 α=0.2时DynSEIRS随时间的数量变化

图9 在不同α值下感染节点数随时间的变化

图9表示的是，在α的不同值下，感染节点数随时间的变化曲线。其中，α在区间[0.01，0.13]中取值，步长为0.4，当α=0.01，0.05<αlim时，系统局部渐近稳定在无毒平衡点P0处；当α=0.09，0.13>αlim时，系统局部渐近稳定在有毒平衡点P1处，感染节点无法被完全消灭，仿真结果与理论分析一致。随着α值不断增大，感染节点逐渐变大，这证明节点在无杀毒软件或杀毒软件失效时，易感节点更容易被病毒传染。当α小于阈值αlim即R0≤1时，网络病毒可以完全被消灭。所以，可以通过适当调控α来有效控制病毒的传播。

4.3 新旧节点上下线率δ对病毒的传播影响

在全球中，由于时间地域的跨度不同，随时都有新节点的加入和旧节点的下线，整个系统都是动态演变的。为分析新旧节点上下线率δ对网络病毒传播的影响，通过调整新旧节点上下线率δ的大小，分别仿真当δ=0.01，0.1，0.2，0.3，0.5时，感染节点数随时间的变化曲线，仿真结果如图10所示。通过对比这五条曲线，可以明显的看出，随着δ的增大，感染节点趋于零的时间越来短。这表明：用户集中上下线有助于控制网络病毒的传播。所以，有效抑制病毒的传播可以通过合理的调控δ。

图10 在不同δ值下感染节点数随时间的变化

研究结果表明，S-R状态转移概率ω和R-S状态转移概率α影响着病毒在计算机网络中是长久存在还是趋于灭绝，新旧节点上下线率δ影响着网络病毒的治愈时长。通过增大转移概率ω和减小转移概率α，增大新旧节点上下线率δ可有效迅速的控制和消除网络病毒的传播。

5 结语

本文建立了动态演化SEIRS网络病毒模型DynSEIRS，该模型充分考虑了网络中各节点数量的动态变化及在计算机病毒的潜伏性特点下状态转移参数对病毒传播的影响，弥补了现有模型因忽略网络中节点上下线动态演化所带来的不足，使模型能更客观地反映现实中计算机网络病毒传播情况。系统的分析了模型的动力学行为，研究表明，S-R状态转移概率ω，R-S状态转移概率α和新旧节点的上下线率δ对网络病毒的传播有着很大影响，当α小于而ω大于各自对应的阈值时，系统稳定在无毒平衡点上，网络病毒最终完全被消灭，一旦α超过而ω小于各自对应的阈值时，系统将稳定在有毒平衡点，病毒最终不能被完全消灭；网络病毒被治愈的时间也随着δ的增大而变得越来越小。因此，在网络安全防御行动中，为了有效控制并消除病毒在网络中的传播，最有效且可行的办法就是通过增大转移概率 ω、减小转移概率α 和增大新旧节点上下线率δ。