王伟豪，刘树勇，谌 龙

(海军工程大学动力工程学院，湖北武汉 430033)

1 引言

混沌现象是一种看似无规则但是具有内在随机性的复杂现象，广泛存在于气象，物理，经济，通信等各个领域[1]。目前，国内外学者对混沌系统的控制提出了许多不同的方法，大致可分为反馈控制法和非反馈控制法[2]。1990年，Lima等[3]提出了基于参数共振微扰的非反馈控制方法，其应用于Duffing系统中达到混沌抑制。此后学者们对混沌系统的控制与应用进行了广泛的研究，并取得了一系列的研究成果[4-11]。由于混沌系统的反馈控制具有较为完善的理论分析，衍生出了一系列反馈控制的方法，如追踪控制[4，5]、自适应控制[6，7]、分岔控制[8，9]、微分控制[10，11]等。这些控制策略控制可以使系统稳定于平衡点或周期轨道，但在某些应用场合也存在一些不足。首先，反馈控制的实现前提必须对系统的状态变量进行物理测量，这在实际工程中较难实现。其次，混沌系统对初始条件极为敏感，测量过程中会不可避免的受到外界噪声的干扰，从而影响系统的精确控制。

利用非共振参数策动实现混沌控制[12]是近几年提出的一种针对自治混沌系统的非反馈混沌控制方法，该方法不仅避免了对混沌状态变量的测量，而且可以通过严格的理论分析求解控制参数，有利于推广应用。谌龙等[13]利用自治混沌系统的参数非共振激励混沌抑制原理实现Lorenz系统由混沌状态到大周期状态的转变，该控制方法可用于检测相同频率的方波信号。王梦蛟等[14]利用非共振参数策动在一定信噪比范围内实现对Chen系统的非反馈混沌控制。Lv系统作为连接Lorenz系统与Chen系统的桥梁的典型自治混沌系统，其丰富的动力学行为得到了广泛的研究[15，16]，在工程中具有可观的应用前景。而混沌控制是混沌应用的关键，因此如何实现对Lv系统的有效控制具有重要的意义。

本文首先对Lv系统进行线性状态反馈反馈控制，分析了Lv系统的平衡点稳定性，利用霍尔维茨判据确定负反馈控制参数，仿真表明所得参数可将吕系统控制到指定的平衡态和振荡周期轨道上。然后通过施加非共振激励实现非反馈混沌控制，采用平均法和Lyapunov方法得到控制参数应满足的条件，仿真研究表明此方法可将系统状态变量达到很好的控制，且具有较强的抗干扰性能。

2 吕系统及稳定性分析

2002年，吕金虎等人通过混沌反馈控制得到混沌吕系统，作为连接Chen系统和Lorenz系统的桥梁，它很快就引起了人们的关注，吸引子由如下三维系统产生

(1)

(2)

根据式(2) 可求得各平衡点所对应特征根有正实部，因此这些平衡点都是不稳定的，从相图1可以看出，它有着丰富的动力学行为。

图1 吕混沌吸引子

3 吕系统的负反馈控制

3.1 控制参数的确定

在吕系统的第二式中加入负反馈-kx，得到

(3)

(4)

则特征根均具有负实部，平衡点是渐近稳定的。如果满足条件

(5)

则特征值有一负的实根和一对零实部的共轭复根，系统出现稳定的极限环，振荡周期为2π(b2)-1/2。通过(4)、(5)式稳定条件，分别针对三个平衡点P1，P2，P3的负反馈控制条件进行求解，理论结果见表1．

表1 负反馈控制理论值

3.2 仿真研究结果

系统初值取为(0.5，0.8，1)，当k=30，特征根λ=-3.5±7.5993i和-3，均为负实部，零解渐进稳定，系统(3)最终被吸引到原点P1上，数值研究结果如图2所示，由图2(b)看出系统经过短暂时间后趋于原点P1(0，0，0)。

图2 混沌状态的控制k=30

图3 混沌状态的控制k=27

图4 系统控制到极限环上k=161/6

4 吕系统的非反馈控制

4.1 控制系统描述

在实际应用中，控制信号的输入往往会受到环境噪声的干扰，从而影响控制效果。为分析吕控制系统的抗干扰能力，当激励参数k=21时，将方差为5的高斯白噪声加入到激励信号中，得到信噪比为9.8dB的控制输入μ(t)，其波形如图所示。在激励控制信号中加入噪声的情况下，系统依然能够迅速得到控制，其中状态变量z(t)随时间的变化如图8所示，与图6(b)中无噪声的激励控制相比，两种情形下控制的时间基本相同，区别在于未加噪声时的控制效果为97.19%，输入含噪声时的控制效果达到96.35%，说明控制系统的抗干扰性能较好。

图7 噪声干扰下控制输入μ(t)的波形

图8 输入含噪声时状态变量z的控制效果

5 结论

本文对吕系统的混沌行为进行了研究分析，采用负反馈和非反馈控制的方法有效地控制Lv系统混沌并得出一下结论：

1)负反馈控制不需改变系统的参数和结构就可以使系统趋于指定的平衡态或振荡周期上，数值仿真与理论分析得到了一致的结果；

2)对Lv混沌方程组的第二项施加频率远大于系统特征频率的周期信号，用平均法对控制系统进行处理得到了慢变系统，根据Lyapunov稳定性定理得到控制参数应满足的条件，通过选取适当参数对混沌系统进行控制，控制效果可达97.8%，且具有较强的抗干扰性能，相比于参数共振微扰方法，此方法可给出严格的理论分析，对于微弱信号检测具有潜在的应用价值。