基于NIPCE和MEM的交直流电网概率潮流算法

2022-09-28舒朝君张曼丽

计算机仿真 2022年8期

汪勃，舒朝君，彭穗，张曼丽

(1. 四川大学电气工程学院，四川成都 610065；2. 广东电网有限责任公司，广东广州510000；3. 国网宜宾供电公司，四川宜宾 644000)

1 引言

截止2019年底，全国风电新增容量2574万千瓦，全国风电累计装机2.1亿千瓦[1]。风电呈现迅猛发展态势。基于电压源型换流站的高压直流输电技术(Voltage Source Converter based High Voltage Direct Current，VSC-HVDC)将大型风电基地并网有诸多优势，例如VSC换流站能够灵活控制有功及无功功率输出，VSC-HVDC可以直接向无源系统供电以及其容易扩展成为可靠性更高的直流电网[2]。随着风电基地的建设和直流输电技术的发展，越来越多的风电场将通过直流电网并网。

众所周知，风电出力直接受风速影响，具有强烈的随机性[3]。随着风电在系统中渗透率进一步提高，其出力的不确定性、剧烈波动性将给交直流混联电网的安全运行带来新的挑战。交直流混联电网确定性潮流(Deterministic Load Flow，DLF)模型难以计及电网中随机变量的影响。因此，有必要研究交直流混联电网的概率潮流(Probabilistic Load Flow，PLF)计算。

通常，PLF算法可分为三种类型：蒙特卡洛仿真法(Monte Carlo Simulation，MCS)、解析法和近似法[4]。MCS在输入概率分布上大量抽样，并反复、大批量地输入DLF模型，以获取概率分析结果。然而，单次交直流混联电网DLF计算极其复杂且耗时。尽管MCS能获得准确的概率分析结果，但是基于MCS的PLF计算效率极低[5]。解析法虽然能够提高PLF计算速度，但是解析法需要将非线性的模型线性化处理。无疑，这将严重影响PLF计算结果的精度[4]。

近似法能平衡好交直流混联电网PLF计算中计算速度和精度之间的矛盾。点估计(Point Estimation Method，PEM)是近似法中的典型代表[6]。PEM算法利用在输入分布上所精选的样本点以近似输入概率分布的典型特性。但是，PEM算法难以准确估计PLF计算结果的高阶矩信息。显然，这将降低PLF计算结果的概率分布的展示精度，给全面准确分析随机源对电网的影响带来困扰[4，7]。

非侵入式混沌多项式扩展法(Non-Intrusive Polynomial Chaos Expansions，NIPCE)是一种经典的替代模型法，其不但具备概率分析速度快、精度高等优势，而且能够输出高精度的高阶矩信息，方便电网分析人员进一步剖析PLF关键指标的概率分布[8]。NIPCE的核心思想是将交直流混联电网的DLF模型当成一个黑箱，通过正交基函数的组合来模拟黑箱的输入输出响应关系，并基于替代模型求取PLF的输出响应[9]。

李怡宁等[10]首次将NIPCE法用于交流电网的PLF分析，大幅提升了PLF分析的速度和精度。孙明等[11]等在文献[10]的基础上考虑了多种常见概率分布的影响，拓展了NIPCE法的适用范围。然而，上述研究中均假设电力系统中随机变量服从常规的概率分布，如风速服从Weibull分布、负荷服从Gaussian分布。交直流混联电网中的随机变量(如风速)往往受到地理、气候、环境等多种复杂因素的影响，其不一定服从常规概率分布，而可能服从任意分布。若将随机变量人为设定为常规概率分布，将严重影响交直流混联电网PLF计算结果的可信度。

为此，本文提出了基于NIPCE和最大熵模型(Maximum Entropy Model，MEM)相结合的交直流混联电网概率潮流算法。该方法无需人为假定随机变量的概率分布，而是利用其数据统计矩信息通过MEM模型建立更符合实际的输入概率模型，并由NIPCE算法准确、快速获得PLF计算结果。利用经改进的IEEE118节点系统，验证所提算法的有效性及优越性。

2 交直流混联电网潮流计算模型

2.1 VSC稳态模型

图1 VSC的稳态模型示意图

(1)

由VSC换流站注入交流母线的潮流模型为

(2)

交流滤波器的无功损耗Qfi表示为

(3)

换流站的有功损耗Plossi为

(4)

(5)

其中，流经VSC换流站的电流为Ici。KA，KB、KC是常数，文献[12]给出了上述参数的取值。注意，文献[12]所给出的参数将应用于本文算例。

直流电网内部潮流计算模型为

(6)

其中，idi和udi表示直流电网电流和电压。Ydij表示直流电网节点导纳矩阵。

2.2 VSC换流站的控制策略

与传统的换流站相比，VSC具有独立控制其输出的有功及无功的能力。一般地，为了使得直流系统中有功功率平衡，必须选定一个VSC作为整个系统的有功平衡调节器。VSC的控制策略有：

1) 定直流电压udi、定无功功率Qsi控制(简称“udi-Qsi”控制)；

2) 定直流电压udi、定母线电压Usi控制(简称“udi-Usi”控制)；

3) 定有功功率Psi、定无功功率Qsi控制(简称“Psi-Qsi”控制)；

4) 定有功功率Psi、定母线电压Usi控制(简称“Psi-Usi”控制)。

当风电经过VSC并网时，因为风电出力具有剧烈的不确定性，因此风电场侧VSC显然不宜采用“Psi-Qsi”控制或“Psi-Usi”控制。针对该问题，文献[13]提出了风电场侧VSC的电压-功角控制策略(简称DMC控制)，该策略能够实现VSC对风电场出力的实时追踪，实现风电场出力的全部外送。

2.3 AC/DC混联电网潮流计算模型

文献[12]介绍了详细的含VSC换流器的AC/DC混联电网潮流计算模型，并给出了该模型的求解方法。其实，AC/DC混联电网概率潮流模型可以看成一个隐函数

Y=f(X)

(7)

其中，X表示输入变量，包括新能源出力、传统电源出力、负荷值和混联电网的拓扑参数等；Y表示输出变量，包括交直流混联电网的电压、潮流等信息。若将上述模型中新能源出力、负荷等参数视为随机变量，那么该问题就转化为概率潮流计算问题。

3 非侵入式混沌多项式扩展法

相对纯交流电网的潮流模型，交直流混联电网潮流计算模型通常需要通过交流电网和直流电网潮流模型交替迭代求解，其非线性程度更高、更为复杂。在概率潮流分析中，大批量样本点将在确定性的交直流混联电网潮流计算模型中多批次、反复传递概率信息。无疑，这将严重降低交直流混联电网概率分析的效率。NIPCE能够巧妙地解决上述问题。

3.1 非侵入式混沌多项式的确定

NIPCE是一种优秀的代理模型法，其不需要对复杂交直流混联电网潮流模型进行化简，而是将潮流模型看成一个黑箱，并利用解析的数学多项式来精确模拟黑箱特性，进而避免概率分析时交直流混联电网确定性潮流计算中的大规模迭代计算，大幅提升混联电网概率分析的效率。

NIPCE的核心思想是[9]：利用多项式混沌展开(代理模型)来模拟复杂的原模型，并通过大量样本点在代理模型传递概率信息以获取概率潮流计算的高阶统计矩。那么，具备多维输入和输入功能的混沌多项式展开式为[9]

(8)

式中：ψi1…iq(x)=φi1(x1)φi2(x2)…φiq(xq)，φik(xk)表示单变量xk所保留正交多项式的ik次项；βi1…iq表示多项式混沌展开系数；Nk表示单变量xk保留的正交多项式阶数。

在实际工程应用中，混沌多项式展开式达到一定阶数就能够满足概率分析精度需求，因此可以对多项式进行截断操作来进一步提升概率潮流计算的效率。一般地，对于具有d个随机源的交直流混联电网中，假定每个随机源的最高阶数为p，那么混沌多项式的待定系数个数为

(9)

进而可以推导出混沌多项式展开式的表达式

(10)

式中：βj表示多项式混沌展开模型系数；ψj(x)表示最高阶次为j的项。

3.2 非侵入式混沌多项式参数的求解

一旦确定混沌多项式的基本表达式，余下最重要的则是计算表达式的系数。本文基于最小二乘拟合法来估计多项式的系数[9，10]。假设系统输入输出利用多项式表示存在如下关系

yi=y(x)+ε

(11)

最小二乘拟合法的基本思想是：希望残差ε值无限接近于0。假定有n组交直流混联电网潮流计算的输入输出值，截断的K+1个混沌多项式展开的系数为β=(β0，β1，…，βK)T，那么系数可以通过如下公式进行求解。

(12)

上式的最优解为

=(HTH)-1HTy

(13)

式中

(14)

一旦获得混沌多项式展开式的系数，即可利用替代模型估计出概率潮流计算结果的统计矩。为了方便描述，混沌多项式展开式表示为

y(x)=β0+β1ψ1(x)+…+βKψK(x)

(15)

那么，概率潮流分析结果的k阶统计矩为

(16)

式中，f(x)表示概率密度函数；因为y(x)表示混沌多项式展开式，因此其k次方也是多项式形式。通常，式(15)可以转化为求解单变量统计矩问题，例如一阶统计矩可表示如下[10]

μ=β0+β1E(ψ1(x))+…+βKE(ψK(x))=β0

(17)

式中：E(·)表示求均值运算。

从上述推导可以看出，利用混沌多项式展开式能够利用少量输入输出样本点集建立起复杂交直流混联电网潮流计算模型的替代模型，然后利用替代模型参与后续的概率分析计算，进而大幅提高概率潮流计算速度，并能够快速准确地估计出计算结果的统计矩信息。该方法在解决复杂黑箱(如交直流混联电网潮流模型)的概率分析问题尤为有效。

4 最大熵模型

确定精确输入随机变量的概率分布是保证利用替代模型获取可靠概率分析结果的前提。众所周知，电力系统中的随机源(如风速)等受到气象因素、地理条件等多种复杂因素影响，其不可能都服从常见的概率分布。基于随机变量的历史数据估计其概率分布能更为准确地刻画随机变量的概率特征。MEM是利用变量历史数据推测其概率分布的经典方法。

信息熵于1948年由shannon[14]首次提出，用于刻画随机事件不确定度。1957年，Jaynes[15]提出最大熵准则，该准则认为在已知部分信息的情况下，在估计随机变量的概率分布过程中，应该在满足已知信息约束的同时达到熵值最大，即能够获取最优的概率分布。在概率潮流分析中，当获取随机变量的历史数据后，可基于MEM估计其最优的概率密度函数。对于连续型随机变量x的概率密度函数的估计可以转化为如下的优化问题[16]。

(18)

式中：H称为Shannon熵；f(x)为概率密度函数。式(17)的解必须满足如下条件

(19)

MEM可以采用牛顿法或最优算法迭代求解。最大熵对应的概率密度函数可表达为

(20)

式中：a0，a1，…，am表示待求系数。

将式(20)代入式(18)和(19)，可以获得m+1维非线性方程组

(21)

通过求解上述方程组，即能够获得系数a0，a1，…，am的具体数据，进而获取交直流混联电网中输入随机变量的最优概率密度函数。

交直流混联电网中随机变量可能服从任意概率分布，MEM能够直接基于随机变量的已知历史数据准确估计出其最优概率密度函数，保证了概率潮流计算输入模型的准确性，从而提高交直流混联电网概率潮流分析的精度。

5 概率潮流算法的计算步骤

基于NIPCE和MEM的交直流混联电网概率潮流计算步骤如下：

步骤1：收集交直流混联电网中随机源(如风电场风速、负荷等)的历史数据，并确定系统中随机源的数量d；

步骤2：收集交流电网系统的拓扑参数和直流电网的拓扑参数及控制方式，形成交直流混联电网潮流计算模型；

步骤3：利用收集的随便变量历史数据，基于式(21)确定输入随机变量的概率密度函数；

步骤4：利用拉丁超立方采样技术在输入随机变量的概率分布上选取N组样本点；

步骤5：将样本点逐组输入确定性的交直流混联电网潮流计算模型获得概率分析结果，形成N组输入输出样本点集；

步骤6：基于随机源的数量确定非侵入混沌多项式展开式的基本形式，并利用输入输出样本点集和式(12)计算多项式的系数，确定交直流混联电网潮流计算模型的代替模型；

步骤7：利用蒙特卡洛仿真法或拉丁超立方采样技术在输入概率分布上生成N＿input组样本点；

步骤8：将N＿input组样本点逐组输入代理模型进行计算；

步骤9：利用式(17)估计交直流混联电网概率潮流计算结果的统计矩信息；

步骤10：基于MEM，利用式(21)确定输出结果的概率密度函数。

将NIPCE和MEM结合处理交直流混联电网概率潮流分析问题的优势有：第一，运用MEM估计电力系统中随机变量的概率密度函数，以获取准确的输入概率模型，提升概率潮流分析结果的可信度；第二，基于替代模型模拟复杂交直流混联潮流模型，大幅提高概率分析的效率；第三，利用替代模型输出矩信息，基于MEM进一步估计概率潮流分析输出结果的概率密度函数，给电网运行人员提供充分全面的参考信息。

6 算例分析

6.1 测试系统介绍

利用经过修改的IEEE118节点系统测试本文所提算法的性能。如图2所示，风电场WF1、WF2和WF3经过含VSC的直流输电系统在交流母线24和母线35处并网；风电场WF3、WF4和WF6在交流母线45、54和115处直接并网。IEEE118节点系统参数见matpower6.0软件包[17]。参考文献[18]给出了直流系统参数。测试系统中，VSC换流站的控制方式见表1。注意，直流电网及交流电网的基准容量均设置为100MVA。

图2 经修改的IEEE118节点系统

参考文献[18]介绍了详细的风电场能源转换模型，该模型将用于本文测试系统中所有的风电场。在实际电力系统中，风电场风速可能不服从常规分布，如Weibull分布。本文收集了中国西北地区5个风电场的风速的历史记录，并将其应用于本文算例分析中。同时，不同区域的电力负荷也具备不同的概率特性，其并不一定服从Gaussian分布。假设测试系统中的负荷分为三类：居民负荷、商业负荷和工业负荷。本文将实际电网的居民负荷、商业负荷和工业负荷数据应用于测试系统。测试系统负荷分类见表2。

表1 VSC换流站的控制方式

表2 测试系统中负荷分类

6.2 算法有效性评估

1)概率分布建模有效性评估

利用MEM估计实际电力系统风电场风速及负荷的概率分布，同时利用Weibull分布、Gaussian分布直接拟合历史数据。为了对比三种概率模型拟合实际风速和负荷的效果，利用上述三种概率模型生成与历史数据相同数量的样本点，并基于频率直方图直观展示拟合效果。注意，样本点的数量为10000个。

图3和图4展示了基于历史数据、MEM、Weibull分布和Gaussian分布所生成的频率直方图。从风速和负荷的频率直方图可以发现，实际电力系统中的风速及负荷并不一定服从常规分布，运用常见的Weibull分布和Gaussian分布直接拟合实际数据效果并不理想。但是，基于本文所提的MEM能够获得较好的拟合效果。这是因为MEM能充分运用已知随机变量的信息推算出最优的概率密度函数，使得所获取的概率分布能更为全面反应随机源的概率特征。这也为交直流混联电网概率潮流计算奠定了坚实基础。

图3 风电场WF1的风速频率直方图

图4 交流母线75处有功负荷(商业负荷)的频率直方图

2)所提概率算法有效性评估

为了验证本文所提概率潮流算法的有效性，运用基于MEM的MCS仿真法作为参考结果，其在输入概率模型中选取50000个样本点。为了说明不准确的概率建模将影响交直流混联电网概率潮流计算结果，利用Weibull分布直接拟合风速数据、运用Gaussian分布拟合负荷数据，同时基于MSC法进行概率信息传递组成一种新的概率潮流算法。参与本小节概率潮流计算的方法有：

①参考算法：基于最大熵模型(Maximum Entropy Model)的MCS仿真法，简称MEM-MCS；

②本文算法：基于最大熵模型(Maximum Entropy Model)和非侵入混沌多项式展开(Non-IntrusivePolynomial Chaos Expansions)的概率潮流算法，简称MEM-NIPCE；

③对比方法：基于常规分布(CommonDistributions)和MCS仿真法组成的概率潮流算法，简称CD-MCS。

图5 直流母线5处电压幅值的频率直方图

图5和图6展示了直流母线5和交流母线73处的电压幅值的频率直方图。可以发现，CD-MCS法得出的频率直方图出现了明显的偏离，主要原因是CD-MCS法假设实际交直流混联电网中的随机变量(如风速、负荷)服从常规概率分布。而实际电网中随机数据受到多种复杂因素影响，其并不一定服从常规分布，直接利用常规分布拟合实际数据将可能概率建模精度下降(如图3和4所示)，并直接影响交直流混联电网概率潮流计算结果的精度。

图6 交流母线73处电压幅值的频率直方图

表3和表4给出了交流系统电压均值和标准差的相对误差。本文所提算法MEM-NIPCE直流电压均值的相对误差均小于0.7%，直流电压标准差的相对误差均小于2.5%，具有良好的计算精度。从图5和图6可以看出，本文所提算法MEM-NIPCE与参考算法的频率直方图贴合度良好，能够全面反应电力系统中不确定性源的随机性对交直流混联电网的影响。上述计算结果充分说明了本文所提算法的有效性。

表3 交流母线电压均值相对误差

表4 交流母线电压标准差相对误差

6.3 算法优越性

为了验证本文算法的优越性，本文算法MEM-NIPCE将与如下算法进行对比：

1) 基于最大熵模型(Maximum Entropy Model)与点估计算法(Point Estimation Method，PEM)[19]结合的概率潮流算法，简称MEM-PEM；

2) 将常规分布(CommonDistributions)和非侵入混沌多项式展开(Non-Intrusive Polynomial Chaos Expansions)结合起来[10]，简称CD-NIPCE。备注，估计常规分布参数的方法与本文6.2节相同。

图7和图8给出了直流母线电压的标准差和三阶矩误差百分数。MEM-PEM直流母线标准差和三阶矩误差的平均值依次为3.87%和13.15%，可以发现点估计算法难以准确估计交直流混联电网PLF分析中高阶矩信息。CD-NIPCE算法直流母线电压标准差及三阶矩误差平均值最大，其假定实际电网中随机变量服从常规概率分布，不准确的概率建模致使计算精度变差。本文算法MEM-NIPCE直流母线电压标准差及三阶矩误差平均值分别为3.63%和5.76%，将MEM与NIPCE结合既能对实际电网中随机变量进行准确建模，又可以高精度地获取PLF计算中的高阶矩信息。

图7 直流母线电压标准差误差(%)

图8 直流母线电压三阶矩误差(%)

表5 计算时间

MEM-MCS、MEM-NIPCE、MEM-PEM和CD-NIPCE算法的计算时间分别为3741.34s、33.46s、32.15s、33.23s。显然，MEM-NIPCE、MEM-PEM和CD-NIPCE算法的计算时间几乎相同。与参考算法MEM-MCS对比，本文算法MEM-NIPCE能够极大地降低交直流混联电网PLF分析的计算负担。因此，本文算法MEM-NIPCE能够在交直流混联电网概率潮流计算速度和计算精度中达到较好地平衡。