浅谈正六边形的向量应用

2022-09-22杨伟达

数理化解题研究 2022年25期

关键词：六边形直角矩形

杨伟达

(广东省广州市花都区第二中学 510800)

1 展示正六边形的向量模型，感受数学味道

例1 (新人教版高中数学必修第二册第一章例2)设O为正六边形ABCDEF的中心．(如图1)

图1

(1)写出图中的共线向量；

分析本题关键是在正六边形ABCDEF中找出平行四边形．而ABCO的向量数式：借用向量表示对边平行且相等，它起到简洁、优美的效果，同时也代表一个简单图形．

图2

分析本题考查了不共起点的向量基底．借用前面例题结果，利用向量的平行四边形法则和三角形法则即可．

方法1选用不同的基底，列方程组即可表示其它向量；

方法2特殊图形，可建立坐标系，用坐标法；

方法3转化为有交点的基向量，利用三角形法则即可．

解法1由图3可知，四边形ABCO,BCDO分别为菱形,其中AC，OB，BD，OC分别为对角线.

图3

图4

以下同解法1.

图5

以下同解法1.

2 紧扣正六边形的向量内涵，突显核心素养

2.1 正六边形藴含的基本图形不简单

正六边形藴含的基本图形(1)有6个等腰三角形(如图6)；(2)有8个等边三角形(如图6,9)；(3)有6个直角三角形(如图7)；(4)有6个菱形(如图8)；(5)有3个矩形(如图10);(6)有6个等腰梯形(如图11)；(7)正六边形的每一个角都蕴含着4个30°角；(8)正六边形的面积是6个等边三角形的面积之和．

图6 图7 图8

图9 图10 图11

2.2 向量工具不简单

向量工具神通广大,它作为解决长度、距离、角度、平行、垂直等问题的重要工具，有较好的融合度，与其他知识结合的试题累见不鲜．具体如下：

(1)利用其形的特点，通过向量运算的几何意义转化为平面几何的有关知识进行运算.形如：利用向量的数式表示直线、三角形、平行四边形、梯形、圆等．

(2)利用其数的特点，通过建立坐标系，将向量的有关问题转化为代数中的有关问题解决．形如：向量在坐标系中推导出距离、角度、平行、垂直等公式，同时推导出三角形的正余弦定理、勾股定理、射影定理等．

3 链接正六边形的高考试题，提升应用能力

A．(-2，6) B．(-6，2)

C．(-2，4) D．(-4，6)

分析本题考查了以正六边形为背景的向量数量积运用．(1)关键在于动点P所在位置．结合数量积的射影公式及正六边形的特点，确定数量积分别取得最大值、最小值时点P所在位置即可；(2)坐标法略．

图12 图13

例4(2018年上海)《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图13，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( ).

A．4 B．8 C．12 D．16

解析如图13，以AA1为底面矩形的另一边分别是AB,AC,AD,AE,AF，依题可知，在正六边形ABCDEF内分别找以AB为直角边的矩形、以AC为直角边的矩形、AE为直角边的矩形、AF为直角边的矩形，不难发现，AD为直角边的矩形是不能找到．所以下底面的阳马数是8，同理，上底面的阳马数也一样，所以阳马总数为16．故选D．