孙 颖，杨小俊

（湖北工业大学 机械工程学院，武汉 430072）

0 引言

随着航空航天、医疗和半导体等行业的高速发展，精密仪器需求量日益增大，其防震设计成为一个重要课题。SCEDILAKARL［1］采用欧拉-伯努利梁假设法对悬臂梁的缓冲包装进行了研究，探讨弹簧质量系统的数量对系统固有频率的影响。陈建琪［2］研究了高铁激励环境振动对精密设备的影响。LI等［3］通过一种六步缓冲包装优化设计方法，大幅降低了冰箱的缓冲包装成本。杨宇军［4］使用有限元分析技术对航天计算机进行仿真，得出了包装件缓冲系统的动力学仿真分析［5］，对于运输过程产品的缓冲减震设计尤为重要。杨会民等［6］研究了不同振动特性参数对杏树振动响应的影响。现有的隔振设计多以质量均衡产品为研究对象，未对质量非均衡产品即质心与体心不重合存在偏移的情况进行系统研究。本文探讨质量非均衡产品缓冲包装系统的频率，设计隔振方案，建立缓冲包装系统的动力学模型［7］，通过仿真分析研究产品在质心偏移情况下系统振动频率的变化［8］，进行理论与试验的验证，为现实生活中运输包装设计提供理论依据。

1 质量非均衡产品模型的建立

将精密仪器等效为质量为M的铝合金物块，如图1所示。

图1 简化模型Fig.1 Simplified model

简化模型设定ABEF面为a，对面为b，BCFG面为c，其对面为d，EFHG面为e，对面为f。通过改变配重块安装位置面及个数的方法改变质心，M与体心G的偏心距离，其中配重块的厚、长、宽都为5 cm且面中心安装。实际工程应用中，产品的底面缓冲包装的主要作用是支撑、固定及隔振，其结构受产品底部的形状和尺寸的制约不能随意调整，且为保证产品底面相对水平，底面缓冲包装材料往往采用同种材料。因此在对缓冲包装系统进行简化时，系统底部采用相同刚度的弹簧且均布安装，弹簧隔振器受力为Fi，如图2所示。

图2 质心偏移示意简图Fig.2 Schematic diagram of centroid shift

受力分析可知：

通过变形量求出底面四角弹簧的受力情况，如图3所示。

图3 弹簧变形量示意图Fig.3 Schematic diagram of spring deformation

其中O为四边形对角线的交点，C1，C2，C3和C4为弹簧的长度，C0为重心到底边的距离，m是1和3的中点，n为2和4的中点，m、n到底面的距离为Cm、Cn。则：

联立式（1）、（2）、（3）即可求得：

为更加真实地反映运输过程中质心偏移精密仪器系统的振动响应，隔振器安装方式如图4所示。建立单自由度线性动力学模型，即被动隔振系统。其中m为负载质量，k为系统刚度，c为系统阻尼系数，u为基础振动位移，x为基础位移。根据牛顿第二定律，可得模型的微分方程：

图4 系统隔振器安装方式Fig.4 Installation method of system vibration isolator

对式（6）进行拉普拉斯变换：

通过理论分析可知，结构的共振频率与初始条件无关，仅与系统的质量、形状和材质等相关。

2 质量非均衡产品包装系统仿真分析

为研究质心偏移下精密仪器缓冲包装系统的共振频率变化，保持总质量不变，通过改变配重块的安装数量n及位置来使产品的质心发生变化。计算求得质心偏移后的空间坐标与原产品形心坐标的距离，即表1的偏心距离λ，并使用有限元仿真分析的方法讨论质偏系统频率的变化［9-10］。

表1 配重块粘贴位置Tab.1 Pasting position of counterweight

使用绘图软件SolidWorks建立不同方案的理论模型，将模型导入workbench并设置相应的材料参数、网格划分以及模态分析［11］，确定不同质心偏心距离下系统的振动特性，即系统的固有频率和振型。各材料属性如表2所示，提取分析结果的前6阶频率，振型如图5所示。

表2 材料属性Tab.2 Material properties

图5 配重块a+b安装时系统仿真振型Fig.5 System simulation vibration mode when counterweight a+b is installed

通过模态分析得出2块配重块、4块配重块、6块配重块在不同偏心距离下产品缓冲包装系统所对应的振动频率如表3，4，5所示。

表3 2块配重块各阶固有频率Tab.3 Natural frequencies of each order of two counterweight blocks （单位：Hz）

表4 4块配重块各阶固有频率Tab.4 Natural frequencies of each order of four counterweight blocks （单位：Hz）

表5 6块配重块各阶固有频率Tab.5 Natural frequencies of each order of six counterweight blocks （单位：Hz）

通过模态分析结果可知，虽存在多个频率，但只有第6阶频率的振动方向为y方向，即运输过程的激励方向。可以得出，第6阶的振动频率大小与激励频率大小一致时［12］，缓冲包装系统才有可能产生共振现象，从而使包装产品遭到损坏。同时通过观察分析相同配重块数量不同安装位置时，随着质心偏心距离的增大，固有频率也有增大的趋势。

3 试验分析与结果

将精密仪器产品等效为质量9 kg的铝合金物块（20×20×20 cm），采用隔振器底面四角安装的方式，其中底面四个角分布的弹簧为同一规格，隔振试验装置如图6所示［13-14］。

图6 隔振系统实物图Fig.6 Physical photo of vibration isolation system

试验平台包含精密仪器隔振系统、定位平台和测试与分析系统［15］。产品隔振与定位平台主要由模拟车辆、隔振器、产品和控制系统（包括硬件系统和软件系统）组成。测试与分析系统包括压电加速度传感器、激励源和数据采集与分析设备。具体试验设备及用途如表6所示。

将试验装置平稳放置在水平工作台上，按表1所示位置安装配重块；然后施加沿y方向的激励，根据仿真结果得出其频率多为4 Hz左右。所以试验频率间隔设置为3～21 Hz，采用正弦扫频的方式使配重块不同安装方案下的包装件发生振动，通过Coinv DAPS V10信号采集系统，采集物块的频率响应曲线，对精密仪器在不同质心偏移距离情况下的振动响应特性进行分析，并确定其发生共振时所对应的固有频率。用于探究非均质精密仪器包装系统相对于均质系统振动频率的变化，为非均质精密仪器包装系统在实际运输过程中的包装设计提供依据。

图7为安装2块配重块进行试验，弹簧刚度k=1.5，λ=0，2.917，4.251 cm时所对应的固有频率分别为 4.170，4.204，4.249 Hz。

图7 2块配重块不同刚度频响曲线Fig.7 Frequency response curve of two counterweight blocks with different stiffness

结果表明，随着偏心距离的增加，固有频率有向右移的趋势，与仿真结果一致。当k=2.0，λ=0，2.917，4.251 cm 时，固有频率分别为 4.979 3，4.998，5.007 8 Hz。同理可知随着偏心距离的增加，轴向加速度幅值变化不明显。当k=1.5时，所对应仿真与试验结果差值比分别为5.7%，6.7%，6.7%，均在条件允许范围内。从刚度角度看，当λ=0，k=1.5时，其一阶固有频率出现在4.170 Hz，k=2.0 时在 4.979 3 Hz；当λ=2.917 cm，k=1.5时在4.204 Hz，k=2.0 时在 4.998 Hz；当λ=4.251 cm保持不变时，k=1.5时所对应的一阶固有频率为4.249 Hz，k=2.0时为5.007 8 Hz。由此得出，偏心距保持一定时，增大弹簧刚度，精密仪器包装件固有频率也随之增大，并且弹簧刚度对精密仪器包装系统的固有频率的影响大于偏心距的影响。

弹簧刚度k=1.5，安装4块配重块进行试验，频响曲线如图8所示。结果表明，当λ=0，4.892，5.625，6.543，8.577 cm 时，固有频率分别为 4.122，4.154，4.162，4.169，4.173 Hz。随着偏心距离的增加，固有频率有向右移的趋势，且轴向加速度幅值有增加。当k=1.5时，仿真频率分别为3.847，3.887，3.894，3.909，3.930 Hz，可得试验与仿真频率差值比分别为7.1%，6.8%，6.6%，6.1%，均在允许条件范围内。观察图9，弹簧刚度k=2.0不变，λ=0时固有频率为4.876 Hz；λ=4.892 cm时为4.909 Hz；λ=5.625 cm 为 4.946 Hz；λ=6.543 cm时为5.003 Hz；λ=8.577 cm时为5.079 Hz；验证了随着偏心距的增大，系统固有频率也随之增大。物体在频率为0～20 Hz之间振动过程中出现3阶共振的情况，随着偏心距离的增大，第1阶和第3阶共振点的振动幅值也有增大的趋势，但第3阶共振幅值较小可忽略不计。由图8和图9可知，当保持偏心距离不变时，改变弹簧刚度，其所对应的第1阶固有频率随之右移，且相较于偏心距影响更大。

图8 4块配重块弹簧刚度1.5频响曲线Fig.8 Frequency response curve of springs of four counterweight blocks with stiffness of 1.5

图9 4块配重块弹簧刚度2.0频响曲线Fig.9 Frequency response curve of springs of four counterweight blocks with stiffness of 2.0

由图10安装6块配重块的频响曲线图可以看出，当系统质量和弹簧刚度保持一定时，偏心距的增大使得减震系统的固有频率增大，即呈正相关。

图10 6块质量块弹簧刚度1.5频响曲线Fig.10 Frequency response curve of springs of six counterweight blocks with stiffness of 1.5

综上可以得出，当弹簧刚度和减震系统质量保持一定时，随着偏心距离的增大，减震系统的固有频率也随着缓慢增大；当偏心距离一定时，改变弹簧刚度，减震系统的固有频率随之右移，弹簧刚度影响大于偏心距离。

对比分析上述弹簧刚度相同，不存在偏心距时，增大产品的质量，系统固有频率减小。这是因为在弹簧刚度不变的情况下，物体的质量m在增大，由ω=（K/m）1/2可知，频率会逐渐减小。由于一些产品的质量较大，偏心距离也较大，所以通过对偏心距离较大情况的仿真分析可得出图11所示，随着偏心距离的增大，其固有频率差值比也逐渐增大，即偏心距离越大对其固有频率增大趋势越明显。通过仿真与试验的对比可求得频率误差在4%～7%，这是由于振动试验台本身的性能以及噪声振动对信号的干扰使得出现偏差。

图11 固有频率差值比Fig.11 Natural frequency difference ratio

4 结语

通过试验仿真分析可知，共振频率与试验所得共振频率基本一致。对存在质心偏移的精密仪器缓冲包装系统振动特性进行理论与试验研究可得：（1）当缓冲包装系统的总质量和弹簧隔振器刚度等保持一定时，随着缓冲包装系统的偏心距离增大，系统的共振频率也随着增大。（2）随着偏心距离的增大，其固有频率差值比也逐渐增大，即偏心距离越大对其固有频率增大趋势越明显。

为避免质心偏移精密仪器缓冲包装系统在运输过程中的共振现象，可通过增大同等质量条件下质量均衡产品缓冲包装系统的固有频率进行包装设计。为质心偏移产品的运输包装缓冲系统设计提供一定的理论基础和指导。