张廷钧，石昕宇，王徐升

(南京大学 匡亚明学院，江苏 南京 210046)

盎格鲁-萨克逊人这一概念最早出现于公元5世纪[1]，届时西方缺乏计时器具，而萨克逊人发明了一种能够计时的碗[2]，萨克逊碗因而得名.萨克逊碗的底部中心处有一个孔，如果放在水面上，随着水从小孔流入，碗会逐渐下沉.碗的运动过程由流体力学原理决定，其沉没耗时与碗的质量、底部小孔孔径、高度、外径以及液体密度等参量有关[3].流体力学方程形式复杂，往往难以找到解析解，因此我们进行理论分析建模，并编写程序数值求解了萨克逊碗的沉没耗时，并与实验结果进行对比.

本文的研究内容来源于2020年中国大学生物理学术竞赛赛题[4]，主要工作如下：1) 分析萨克逊碗的运动过程，列出动力学方程，编写数值求解程序；2) 改变参量，研究碗沉没耗时的变化情况，并与实验结果进行对比；3) 对本文建立的模型进行评价.

作为一道竞赛赛题，一些已经发表的学术论文和论坛网站也对该问题进行了讨论[5-7].相比之下，本文的工作具有如下优点和创新：1) 较为系统地从理论计算和实验两方面，研究了孔径、质量和液体密度等多个参量对萨克逊碗沉没耗时的影响.先以实验数据检验理论模型的正确性，再通过数值计算探索更为普遍的情况；2) 讨论了本文理论模型的适用范围，在该范围内计算结果能精确地描述实验数据；3) 通过对连续性方程进行简单的修正，即取得较好的效果；4) 定量考虑了形状阻力和摩擦阻力的影响.

1 模型建立、条件设定以及说明

1.1 模型建立与条件设定

图1为圆柱形萨克逊碗在容器中下沉的剖面示意图.其中最外侧的黑色竖线表示容器壁，中部对称的两个L形部分为碗壁和碗底，颜色较浅的部分表示液体，实际情况下容器的尺寸比碗大得多.图中h0为碗的总高度，H表示碗沉入液体中的深度，h表示碗内液面高度，r为孔径，R为外径，T指碗的壁厚而T′指碗的底厚.设定x轴正方向向下.将碗和碗中的液体视为一个整体，整体的质心坐标为

(1)

其中mb是碗的质量，ρ是液体密度.xb为碗的质心坐标，它与H只相差一个常量(该常量可以由碗的形状计算得到).

图1 萨克逊碗下沉的剖面示意图与各符号含义

接下来对液体从碗底小孔涌入碗这一过程进行分析.在实际应用的情况下，萨克逊碗所在液体的表面积远大于碗的横截面积，因此可以认为液面高度不变，且除了碗下方的部分液体之外都是静止的.实验中，绝大多数碗下沉速度较慢，不超过3 mm/s，且没有运动状态突变，因此可认为流体定常流动，且沿流线流动.此外实际情况下显然可以认为液体不可压缩.因此对碗内与碗外液面处的液体列出伯努利方程，再考虑小孔处碗与液体之间的摩擦，对方程进行修正：

(2)

其中Patm为大气压强.v0应该理解如下：液体通过小孔流入碗、且在没有径向扩散的情况下到达碗内液面时的速度.或通过如下假想来理解：有一根直径与孔径相同的硬质管道连接了小孔和内液面，液体从该管道上端流出时的速度即为v0.考虑到液体近似静止，式(2)中已经忽略了液体初流速.

由于液体不可压缩，单位时间通过同一流管的液体体积恒定，通过连续性方程，可以将上述假想的管道上端处液体流速与内液面上升速度联系起来，有

(3)

联立式(2)和式(3)，得

(4)

(5)

其中CD是速度矫正项，它与碗的特征和液体黏滞性等因素有关，其物理意义将于下一小节讨论.

在下沉过程中，碗除了受到重力、浮力和表面张力之外，还会受到阻力，包括形状阻力和摩擦阻力.根据Blasius边界层理论，阻力的表达式为[8,9]

(6)

其中A为碗的横截面积，μ为黏度，经验参数cf可以取0.82.

综合考虑上述各类受力，对碗及碗中液体组成的整体列出动力学方程：

(7)

其中

mc=mb+ρπ(R-T)2h

(8)

指整体的质量.式(7)右边的最后一项为液体对碗的表面张力，γ为液体的表面张力系数，θ是液体与碗的接触角.化简式(7)得

(9)

对式(1)、式(5)、式(9)进行联合求解，即可得到萨克逊碗的运动情况.

本文使用的初始条件为碗的位置使重力与浮力平衡(碗内没有液体)，且速度为0.当碗的上沿到达水面(即H=h0)时，认为碗沉没.为了简单起见，设液体与碗的接触角为一定值(这其实是与实验事实不符的).

1.2 关于伯努利方程速度矫正项CD的说明

事实上，修正系数CD有明确物理意义，它衡量了液体流速沿径向不均匀分布的情况.由于碗底小孔的边缘会对向上涌入的水施加作用[3]，所以接近孔缘的液体流速低于中心处.而伯努利方程和连续性方程均默认液体流速沿径向均匀分布，因此需要将液体流速(或速度的平方)修改为平均速度或速度的方均值，有

(10)

以及

(11)

(12)

将上式与式(5)对比，只要令

(13)

2 碗沉没耗时的计算及其与实验对比

本章节研究了各参量变化时碗的沉没耗时，这些参量包括碗的孔径、质量和液体密度等.部分条件下还开展实验，将实验数据与计算结果进行对比.

实验部分采用了控制变量法，使用的所有萨克逊碗为同种塑料材质，密度相同且均匀，约为1 600 kgm3.对于相同外径的碗，高度、壁厚和内径等参量均相同，仅有孔径可能不同，这对质量造成的影响不超过1.5%，故本文近似认为它们的质量相同.内径为90 mm、75 mm和63 mm的空碗，质量可分别取为157.5 g、98.5 g和64.5 g(数值计算即采用这些数值)，实际情况下各种孔径的碗质量与此偏差小于1 g.探究沉没耗时与孔径和质量关系时，使用的液体为清水，密度恒定为997 kgm3.

2.1 沉没耗时与孔径的关系

对内径为90 mm和75 mm的碗，本小节研究了孔径从2 mm变化到8 mm过程中沉没耗时的变化情况，并与实验数据作了对比，结果如图2所示.

图2 沉没耗时与孔径的关系

对内径为90 mm的碗，固定CD=0.68；对内径为75 mm的碗，固定CD=0.645，在这一组参数下，数值计算的结果与实验数据符合得较好.但是对于内径为63 mm的碗，很难有一个固定的CD取值能很好地对各个小孔半径的实验结果进行描述.这可能是模型的一个缺陷，我们将在后文对此进行讨论.

2.2 沉没耗时与质量的关系

在实验过程中，可以在碗内均匀摆放砝码以增加碗的质量，同时不影响碗的平衡.对内径为90 mm和75 mm，孔径分别为2 mm、4 mm、6 mm和8 mm的8个碗，取CD=0.67，计算了沉没耗时随质量的变化情况.其中内径为90 mm、孔径为2 mm和4 mm的两组进行了实验，质量增量最高达到120 g.值得注意的是，实验中只能增加碗的质量，而数值计算也对碗质量减小的情形进行了研究.结果如图3所示.

图3 沉没耗时与质量的关系

在这组参数下，数值计算的结果与实验数据符合得很好.由图3可见，随着碗质量的减小，沉没耗时增加得很快；而随着碗质量的增加，沉没耗时逐渐减小并趋于0.这是符合预期的：当碗的质量足够小时，由于浮力和表面张力的作用，碗将会漂浮在水面上而不下沉.而当碗的质量很大时，即使碗内没有液体且碗的上沿与液面持平，浮力和表面张力也不足以平衡重力，初始条件无法满足，碗在释放后立即沉没.但是数值计算的结果却没有揭示实验中观察到的一种特殊现象，这将在后文中进行讨论.

2.3 沉没耗时与液体密度的关系

取若干种参量的碗，研究碗所处液体密度变化时沉没耗时的变化情况，其中内径为63 mm、孔径为2 mm(取CD=0.7)和内径为90 mm、孔径为4 mm(取CD=0.68)的碗还与实验数据进行了对比，结果如图4所示.

较小范围

较大范围图4 沉没耗时与液体密度的关系

数值计算的结果也能准确地反映实验数据.在图4(a)中，沉没耗时看似随着液体密度线性上升，其实不然，如果液体密度继续增加，沉没耗时会增加得更快.当液体密度大于1 600 kg/m3时，数值计算的结果出现异常.这是因为此时液体密度已经超过了碗的密度，碗将一直漂浮在液面上.而当液体密度减小到375 kg/m3以下时，液体密度不足以平衡碗的重力，碗被释放之后立即沉没，数值计算会得出负的结果.

3 对模型及结果的讨论

3.1 模型的精确性与局限性

从前文可见，适当地取参数CD，理论模型能精确地描述碗的沉没耗时随碗的质量和液体密度变化的情况.在研究沉没耗时随小孔半径变化时，从结果来看，若外径始终在孔径的10倍以上，数值计算结果较为精确；而对于外径较小的碗，很难找到一个合适的参数CD精确描述这一变化趋势，甚至会出现沉没时间小于0这样的非物理结果.我们认为这是模型内在局限性的结果：随着孔径的增加或外径的减小，液体的流动模式向湍流转变；而伯努利方程并不能用于描述湍流，即使作了式(2)的简单修正效果也不理想.此外，当孔径较大时，碗相对液体的运动速度较快，而模型没有考虑液体的初流速，这未必是合理的.即使在更大的范围内调整参数CD，计算结果依然与实验数据有偏差.

3.2 参数的普适性与不敏感性

如前文所述，在研究不同的碗、改变不同的物理量时，参数CD仅需要微调，就能使计算结果与实验数据相符.这说明参数CD具有普适性，在已知条件不足且对精度要求不高时，可以考虑取某个固定的CD值(如0.675)对实验结果做出大致的预测.

此外，模型还是对参数CD不敏感的，在微调参数CD时，数值计算的结果也仅有微小变化，且都能很好地拟合实验数据.为了对此进行验证，对内径为90 mm的碗，使CD从0.65以0.01为步长变化到0.7，计算沉没耗时随孔径的变化如图5所示.

图5 模型稳定性检验

3.2 模型对特殊现象的描述

特殊现象一方面指极端情况，即参量特别大或特别小的情况.如前文所述，当质量取极端值时，模型的表现良好：当碗的质量增大时，沉没耗时趋于0，质量减小时，沉没耗时快速地增长；而当液体密度超过碗的密度时，沉没耗时的异常值也反映了碗不下沉的情况.

然而当碗底小孔半径取极端值时，该模型无法给出合理的结果.若孔径很大，则由于出现湍流等原因，碗的运动规律完全不同，该模型失效；若孔径很小，则碗会由于表面张力作用不下沉，示意图及实验中拍摄的照片如图6所示.

图6 孔径很小时碗不下沉现象的图示

对这一现象可以作简单的理论解释如下：重力和浮力平衡，即

mg=ρghπR2

(14)

在小孔处，表面张力产生的力大于液体压力，有

ρghπr2≤2πrσ

(15)

由以上二式得

(16)

这表明，当r较小时，表面张力产生了堵塞小孔的作用，阻止液体流入，碗不会下沉，而模型并没有揭示这一机制.类似地，当m较小时也有同样的情况出现，模型虽然展示了碗质量减小时不会下沉的情况，但主要基于重力与浮力关系，与该机制不同.

4 总结

基于伯努利方程和边界层理论，本文对萨克逊碗的下沉过程进行了物理建模以及数值求解.将数值计算结果与实验数据进行对比，两者基本相符.在此基础上，本文扩展了参量的变化范围，从而对更广泛的情况进行探索，进而得到了一些有物理意义的结果.除此以外，本文还对模型及结果进行了讨论和评价，指出模型的优缺点.具体总结如下：

1) 该模型主要适用于外径与碗底孔径比值较大的萨克逊碗(10倍以上)，此时液体的流动模式为层流.在适用范围内，模型能精确描述碗的沉没耗时随孔径、碗的质量和液体密度的变化.在此范围之外，很难通过一个固定参数CD描述各种情况.

2) 模型正确地揭示了一些极端情况下的物理结果.一是随着碗的质量增大，碗的沉没耗时趋于0.二是若液体密度超过碗的密度，碗不下沉.

3) 在模型适用范围内，参数CD具有良好的不敏感性和普适性.一方面，对CD进行微调几乎不影响计算结果，且都与实验数据符合；另一方面，无论是改变孔径、质量还是液体密度，取值相近的CD都能对各种碗的沉没耗时变化做出拟合.

4) 模型对实验中的一类特殊情况未能做出描述：当碗质量或孔径较小时，表面张力阻止液体流入碗，进而使得碗不下沉.