季页，杨洋，梁湘三

(1. 南京信息工程大学 海洋科学学院，江苏 南京 210044；2. 厦门大学 海洋与地球学院，福建 厦门 361102；3. 复旦大学 大气与海洋科学系，上海 200438；4. 复旦大学 IRDR极端天气气候与健康风险互联和治理国际卓越中心，上海 200438；5. 南方海洋科学与工程广东省实验室（珠海），广东 珠海 519000)

1 引言

孟加拉湾（Bay of Bengal，BOB）是位于印度洋东北部的半封闭海域（图1），也是全球受季风影响最强的海域。该海域具有复杂的多尺度海洋现象，如：西边界流、季风流、中尺度涡旋以及高频扰动等[1-4]。这些不同尺度的海洋过程对东北印度洋海域的生态系统、渔业[5-6]甚至当地的气候[7]都有着重要的影响。BOB海域的环流系统呈现出明显的季节变化特征。在夏季，受西南季风影响，向东北流的西边界流将南部海域的暖水向北部输送[8-10]。同时，在斯里兰卡岛东部，还存在一支西南季风流将阿拉伯海的高盐度水输送进BOB海域[11]。与之相对应的，在冬季整个BOB海域受东北季风控制，西边界流转变为向西南流的东印度洋沿岸流（East Indian Coastal Current，EICC）。此时BOB南部海域由东北季风流主导[12-13]。

图1 孟加拉湾及其周边海域海底地形Fig. 1 The bathymetry in the Bay of Bengal and its adjacent regions数据来自ETOPO1，区域1～4分别代表孟加拉湾西北部边界（EICC的流经区域）、孟加拉湾中部海域、斯里兰卡岛的东部海域和苏门答腊岛的西北部海域，详细的区域选取说明见2.3节The data from ETOPO1. The numbered boxes from 1 to 4 denote the northwestern boundary of Bay of Bengal (EICC region), the central Bay of Bengal , the east of Sri Lank and northwest of Sumatra, respectively.See Section 2.3 for detailed description of the region selection

BOB海域大尺度的海洋系统主要表现为西边界流和季风洋流，在季节内尺度则主要由中尺度涡旋表现出来。前人的研究表明BOB海域存在活跃的涡旋活动[14-15]。这些中尺度涡旋主要在东边界处生成，随后向西传播，主要活跃在BOB的西部海域[3,16]，其频率特征主要集中在30～60 d上[16-17]。涡旋活动对于BOB海域的生态环境有重要影响，其通过抽吸作用等方式改变了BOB海域叶绿素和营养盐的分布[18-19]。除了随季节转换的大尺度背景流和活跃的中尺度涡旋外，BOB还存在着生命周期在3～7 d的高频扰动以及准两周周期的季节内信号。Subrahmanyam等[4]发现BOB南部海域上空天气尺度的风应力（尤其在西南季节盛行期间）可以通过海水辐合辐散在海表的温盐场上产生对应频率段的扰动。在本研究中，我们将这些周期在24 d以内的海洋过程统称为高频扰动。

正是由于上述复杂的多尺度海洋系统的存在，BOB海域表现出强烈的多尺度相互作用现象[20-22]。研究多尺度相互作用对于了解该海域的能量循环以及环流动力机制有着重要的意义[23]。在BOB海域，前人研究发现BOB的西边界是涡流相互作用的关键区域，且主要通过EICC的斜压不稳定向中尺度涡旋传输能量[16]。Babu等[24]利用水文观测资料在BOB海域的西边界发现了一个直径约为200 km的次表层冷涡，他们认为斜压不稳定导致了该涡旋的产生。Arunraj等[20]通过涡旋追踪发现BOB海域涡旋的数量以及涡动能呈现出显著的季节变化特征，且与EICC流向的变化周期相一致。Chen等[22]将卫星观测数据以及海洋环流模式实验相结合，指出斯里兰卡岛附近以及BOB西部海域中涡动能的主要能量来源为EICC和季风流造成的海洋内部的不稳定过程。

除了涡流之间的相互作用外，高频扰动对于中尺度涡旋和洋流的变化也存在着影响。前人已经在黑潮流域和墨西哥湾海域发现高频扰动与中尺度涡旋和洋流之间存在相互作用，甚至存在显著的逆尺度的能量传输[25-26]。但在BOB海域，这些高频扰动与较低频的中尺度涡旋以及大尺度背景环流存在怎么样的相互作用，这个问题至今还不清楚。

基于上述研究，BOB海域的环流系统至少可以分离为随季节转向的背景流、中尺度涡旋以及高频扰动3个子系统。此三系统之间是如何相互作用的？这些相互作用在BOB海域具有什么样的空间结构？背景流-中尺度涡之间的相互作用，以及高频扰动过程与中尺度涡之间的相互作用对BOB不同区域中尺度涡能量的贡献如何？这些问题迄今还没有详尽的解释。本文将利用一种新的泛函工具，即多尺度子空间 变 换（Multiscale Window Transform，MWT）[27]，以及基于MWT的正则传输理论[28-29]对上述问题展开研究。

2 资料和方法

2.1 资料

本文选用由日本海洋地球科技研究所提供的高分辨率OFES（OGCM for the Earth Simulator）数据对BOB海域多尺度过程进行研究。OFES数据的覆盖范围为75°S～75°N，不包括南北极区域，其水平分辨率为0.1°×0.1°，垂直方向上分为54层，垂向分辨率由表层的5 m逐渐扩大到最大深度（约6065 m）处的330 m[30]，时间分辨率为3 d一次。目前OFES有两套数据，其中一套模式采用NCEP/NCAR气候预报中心的再分析风场作为强迫场，另一套由QuikSCAT卫星观测风场强迫[31]。针对BOB海域，Cheng等[15]将分别由QuikSCAT与NCEP风场驱动得到的OFES海表高度数据与观测资料进行了对比，发现前者的模拟结果与卫星观测值更为接近。因此，本文选择用QuikSCAT风场驱动的OFES模拟资料对BOB海域进行研究，所使用数据的空间范围为BOB海域（0°～23°N，77°～100°E）的上层海洋（5～300 m），时间区间为1999年7月至2007年12月。除了OFES模式数据，我们还使用卫星高度计观测数据（Archiving Validation and Interpretation of Satellite Data in Oceanography，AVISO）与OFES的模拟结果进行了对比和验证，详见2.3节。总的来说，OFES对BOB海域的动力过程有较好的模拟效果，很多学者基于OFES模式数据对BOB海域能量以及热盐输运等过程进行研究[13,15,17,32]。比如，Masumoto等[30]指出OFES模式数据可以很好地表征出沿岸西边界流以及洋流附近产生的中尺度涡旋，这与BOB海域复杂的海洋系统相吻合。Cheng等[17]比较了用OFES和卫星观测两套数据计算得到的不同时间尺度内海表面高度（SSH）的变化，结果表明OFES具有很好的模拟效果。

2.2 多尺度子空间变换和正则传输理论

本文首先使用一种新的泛函工具—多尺度子空间变换（MWT）[27]将相关变量分解到3个尺度子空间，即背景流子空间、中尺度子空间和高频尺度子空间，然后利用正则能量传输理论[29]从能量学的角度讨论这3个尺度子空间之间的相互作用。

MWT将一个函数空间分解为一组正交子空间的直和，每个子空间都包含了一个指定的时间尺度，这样的子空间被定义为尺度子空间[27]。对一条时间序列u(t)进行MWT，可以得到其变换系数和对应的重构场（滤波场）u～ϖ(t)。 其中n表示时次， ϖ表示某一具体子空间。针对本研究，我们定义了3个尺度子空间，用 ϖ=0，1，2表示，分别代表背景流、中尺度和高频尺度3个尺度子空间（详见2.3节关于尺度分离的讨论）。需要注意的是和(t)是两个完全不同的概念，前者是相空间（频率空间）的概念，而后者则是物理空间的概念（注意重构场是时间t的函数，而变换系数不是），这个“变换-重构”对类似经典的傅里叶变换和逆变换。Liang和Anderson[27]证明了多尺度能量应表示为（再乘上一个常系数），即u(t)在ϖ子空间上的MWT变换系数的平方，注意很多研究把多尺度能量等同于重构场（滤波场）的平方，这种做法在概念上就是错误的，Liang[29]对此给出了严格的推导和澄清。读者也可参见Yang和Liang[33]关于此问题的一个相对直观、简洁的重述。

多尺度能量学中一个关键的物理过程是跨尺度能量传输，该过程的准确表达是研究多尺度相互作用过程的前提。从物理意义上来说，跨尺度能量传输过程只会使能量在不同尺度之间交换，而不会使得能量凭空产生或消失。但遗憾的是，传统的多尺度能量学方程都不满足这个简单的物理性质。比如传统基于雷诺平均-扰动分解的两个尺度的能量方程中，平均能量方程和扰动能量方程中的跨尺度能量传输项无法互相抵消[33]。为了解决这个问题，Liang[29]基于MWT提出了正则传输理论并导出了多尺度动能和有效位能方程：

式（1）中， ϖ子空间的动能Kϖ的变率受动能空间输运、压 强 做功、跨 尺 度 动 能 传 输、浮力转换（bϖ）和其他过程（包含外强迫、耗散等，这里不加区分地记为控制。式（2）中， ϖ子空间的有效位能Aϖ的变率受有效位能空间输运、跨尺度有效位能传输、浮力转换（ -bϖ）和其他过程（包含外强迫、耗散等，这里不加区分地记为控制。关于式（1）和式（2）方程的详细推导请参见文献[29]。

式（1）和式（2）这两个方程构成了3个尺度下的洛伦兹能量循环，如图2所示。前人关于此类研究大多是基于平均流和扰动两个尺度，而本文基于BOB环流特征采用了3个尺度的洛伦兹能量循环，这是本研究的一个创新点。在本文中，我们仅关注跨尺度能量传输（和）和浮力转换（）过程，即图2中红色箭头所表示的过程，这些过程涉及3个尺度的动能和有效位能之间的能量交换，能用来定量表征BOB区域背景流、中尺度涡、高频扰动之间内在的非线性相互作用。

图2 3个尺度子空间框架下的能量循环Fig. 2 The energy cycle for a three-window decomposition

2.3 尺度划分

为了检验OFES模式数据对于BOB海域中多尺度海洋系统的模拟效果，我们对比了基于AVISO观测数据和OFES模式数据计算得到的表层动能谱，结果如图3所示。总的来说，两者的动能谱结构相似，峰值频率基本重合（包括年周期、半年周期、季节内周期的信号），这表明OFES模式数据可以很好地模拟出BOB海域复杂的多尺度海洋系统。由于AVISO数据的空间分辨率较低以及对于非地转信号的缺失，其计算结果的量级相对OFES较小。另外一个导致OFES动能偏大的原因可能是OFES不包含海气耦合过程。很多模式研究表明海气耦合过程会削弱海洋EKE（如 Renault等[34]）。另外，从周期小于24 d的动能谱可见OFES在这个高频段的振幅要远大于AVISO，这是因为AVISO数据在时空上进行了插值导致高频扰动无法很好地分辨出来[35]。如图3a所示，BOB海域具有显著的多尺度海洋信号，如年循环信号、24～96 d的中尺度信号和更高频的信号（30 d以下）等，其中周期为6个月左右的半年信号最为显著。为了探讨BOB海域多尺度过程的区域差异性，本文参考Cheng等[17]的研究，选取了BOB海域4个典型的子区域进行比较与分析：自北向南依次为BOB的西北部边界海域（区域1）、BOB中部海域（区域2）、斯里兰卡岛的东部海域（区域3）以及苏门答腊岛的西北部海域（区域4），具体分区情况参见图1。BOB的西北部边界海域（区域1）因有很强的背景急流（EICC），EICC通过不稳定过程使得该区域为整个BOB海域涡流相互作用最为强烈的区域[15-16]。BOB中部海域（区域2）内涡旋的生成较其他区域有所不同，Cheng等[36]针对该区域涡旋独特的生成机制进行了讨论，故此我们将其作为一个子区域来研究。选取斯里兰卡岛的东部海域（区域3）和苏门答腊岛的西北部海域（区域4）的依据是EKE的空间分布特征（图4），这两个区域存在活跃的涡旋活动。从图3中可见，4个区域内都存在着显著的年循环和半年循环信号，这主要是由于这些区域随季节转向的EICC和季风流的影响。此外，不同区域的中尺度信号呈现出显著的差异。区域1的中尺度信号周期主要集中在3～4个月；区域2动能谱强度相对较弱，中尺度信号集中在3个月左右；而区域3和4两个区域的动能在1～3个月内很强。对于1个月以下的高频信号，区域4处该周期内的信号最为显著。

图3 孟加拉湾（BOB）海域不同区域平均的表层流场动能（KE）谱Fig. 3 The area-mean kinetic energy (KE) spectra of the surface currents in various domains in Bay of Bengal (BOB) sea area动能谱采用了方差保持的形式。蓝色实线表示OFES数据，红色实线表示AVISO数据。绿色垂直虚线从左到右表示周期为96 d和24 dThe spectra are in variance-preserving form. The blue and red curves are estimated from the velocity fields from OFES and AVISO, respectively. The green dashed vertical lines from left to right denote the periods of 96 d and 24 d, respectively

图4 基于AVISO和OFES数据计算得到的1999-2007年表层海洋多尺度动能的气候态空间分布Fig. 4 Temporally averaged surface multiscale kinetic energy components based on AVISO and OFES of 1999-2007

基于上述对BOB海域表层流场动能谱的分析，我们利用MWT对式（1）和式（2）中涉及到的物理量进行多尺度子空间变换和重构，得到96 d以上、24～96 d以及24 d以下3个尺度子空间的信号，分别用ϖ=0,1,2表示。注意选择24（=3×23）d和96（=3×25）d 作为截断周期的原因是OFES数据的时间步长为3 d，且MWT对子空间的时间尺度分离必须是2的指数幂，具体可参见文献[29]。这种尺度分离方案既保证了以年周期和半年周期主导的季节循环信号保留在背景流子空间里，同时中尺度子空间包含了该海域活跃的中尺度涡旋信号，剩余的高频信号归为高频扰动（包含了10 d以下的天气尺度扰动和准两周的季节内尺度扰动等过程），与前人的研究相符[15]。我们还对24（=3×23） d和192（=3×26）d作为截断周期的分离方案做了敏感性实验，两种方案下的多尺度能量以及多尺度相互作用空间分布基本一致（图略）。考虑到用192 d作为中尺度子空间的上界会将半年周期的季节信号归入中尺度，缺乏合理性，因此本文的中尺度子空间包含了周期在24～96 d的过程。此外需要注意的是，前人的一些研究表明在BOB海域西部90～120 d周期的季节内信号很强[17]，本文的中尺度子空间不包含这些信号。

3 多尺度能量

根据上文对尺度分离的介绍，下面我们对3个子空间上的动能（背景流尺度动能（MKE）、中尺度涡动能（EKE）、高频扰动动能（HKE））和有效位能（背景流尺度有效位能（MAPE）、中尺度涡有效位能（EAPE）和高频扰动有效位能（HAPE））的三维空间分布特征进行分析。图4展示了基于AVISO卫星观测数据和OFES模式模拟数据计算得到的BOB海域表层动能的水平分布。总的来说，两者在背景流子空间和中尺度子空间上的动能分布大体一致，但量值上AVISO小于OFES结果。在背景流尺度（图4a，图4d），由于受到EICC和季风流的影响，MKE的大值区主要位于BOB西边界，尤其是在区域1和区域3处，与之前表层流场动能谱的周期分布特征相对应。EKE大值区（图4b，图4e）主要集中在BOB的西部海域，表明BOB海域中尺度涡旋主要活跃在这些区域，这与前人的结果相一致[16,22]。由于AVISO数据中非地转信号的缺失及其时空平滑处理，在高频尺度，基于两套数据计算的HKE的分布呈现出很大差异：基于OFES模式数据的HKE的极大值位于BOB南部海域和赤道区域，而AVISO数据的计算结果没有明显的大值区域（图4c，图4f）。

图5展示了基于OFES模式数据得到的3个不同尺度子空间内0～300 m的上层海洋垂直积分的动能和有效位能的气候态分布。从图中可见，3个尺度的动能大值区均集中在BOB的西部海域和赤道区域，但也呈现出显著的区域差异（图5a至图5c）。相比其他两个尺度的动能，MKE量级最大；受EICC和季风流的影响，其极值主要位于区域1和区域3处，其他区域相对较弱。EKE的空间分布特征反映了中尺度涡旋在BOB不同海域的活动频率，其大值区位于BOB的西部和南部海域，在区域3和区域4处均呈现出明显的大值。在区域1和区域2处的EKE相对较弱，且这两个区域的南部EKE明显强于北部区域。HKE量级明显小于MKE与EKE，其大值区域集中在BOB的南部海域。在本文所关注的4个子区域中，苏门答腊岛的西北部海域（区域4）的HKE最强。

图5 经过时间平均（1997-2017年）和垂向积分（上300 m）的多尺度动能和有效位能水平分布Fig. 5 Horizontal distributions of the temporally averaged (1999-2017) and vertically (upper 300 m) integrated multiscale kinetic energy and available potential energy components

3个尺度有效位能的水平分布与动能有所不同（图5d至图5f）。MAPE的大值区位于BOB北部海域，这种结构与该海域因淡水输入而形成的较大的密度异常有关。EAPE的大值区主要分布在BOB西部海域，其部分海区（如区域1）的量值要大于EKE。在其他海区如斯里兰卡岛的东部海域（区域3）以及苏门答腊岛的西北部海域（区域4），EAPE的量值较EKE较小，说明中尺度涡旋的能量在这些区域主要以动能的形式存储。HAPE的空间分布也与HKE有明显差别，具体表现在BOB南部（如赤道区域、区域3和区域4等），高频扰动的能量主要以动能形式存储；而在BOB西部（如区域1），HAPE的量值大于HKE。

图6展示了不同海域区域平均的多尺度能量垂直分布特征。就整个BOB海域而言，3个尺度的动能均随深度迅速减小，其中MKE的量级最大，不同尺度之间动能由大到小依次为MKE、EKE、HKE（图6a）。区域1和区域2中3个尺度的动能之间的大小关系与整个BOB海域的情形一致（图6b和图6c）。在区域3水深150 m以上的表层MKE量级最大，而在150 m以下的次表层EKE与MKE相当，这表明该区域次表层中尺度信号非常显著（图6d）。不同于其他几个区域，区域4的3个不同尺度之间动能由大到小依次为EKE、MKE、HKE（图6e），说明在该海域中尺度的变率占主导地位。不同于动能随深度迅速衰减的垂向结构，有效位能除了在表层有极大值外，在次表层（100～200 m深度）也有大值中心。3个尺度的有效位能量级在各区域由大到小依次为MAPE、EAPE、HAPE。此外，有效位能与动能之间的大小关系在垂直方向上也表现出不均一性，比如对于中尺度子空间，70 m以浅的水柱EKE要大于EAPE，70～170 m间的水柱EKE小于EAPE，170 m以深EKE又大于EAPE。上述结果表明BOB不同尺度子空间的动能和有效位能不仅在水平方向上表现出区域差异，它们在垂向上也截然不同。下面，我们将利用正则传输理论探讨这些不同子空间的动能和有效位能之间的能量交换，揭示它们之间相互作用的三维空间结构。

图6 孟加拉湾（BOB）不同区域平均的多尺度动能和有效位能气候态垂直分布Fig. 6 The vertical distributions of the long-term mean multiscale kinetic energy and available potential energy components in various domains in Bay of Bengal (BOB)

4 多尺度相互作用

如2.2节所述，本文使用的正则传输理论[29]能信实地表征不同尺度子空间之间的能量交换，因而可以用来诊断流体不稳定、涡流、涡涡等相互作用过程。图7为3个不同尺度子空间内0～300 m上层海洋垂直积分的能量传输和转换项的气候态空间分布。就整个BOB海域来看，能量传输总体表现为正向能量级串，即动能和有效位能从低频尺度向高频尺度级串。能量传输的大值区主要集中在BOB海域的西边界（EICC的流经海域）、斯里兰卡岛的东部海域以及赤道地区。在一些局部海域，这些能量传输项呈现出了正负相间的复杂分布特征，这表明BOB海域不同尺度之间的能量传输区域存在差异性，需要分区域对多尺度之间相互作用进行讨论。

4.1 背景流与中尺度涡旋之间的相互作用

图7 经时间平均（1997-2017年）和垂向积分（上300 m）的正则传输和浮力转换的水平分布Fig. 7 Horizontal distributions of the temporally averaged (1999-2017) and vertically (upper 300 m) integrated canonical transfers and buoyancy conversions

图8 显示了各能量传输项在不同区域内的垂直结构特征。从整个BOB区域积分来看（图8a），和在各层次都为正值，说明正压和斜压不稳定是这个区域涡旋能量的两大来源，且在30 m以浅（深），斜压（正压）不稳定占主。针对各个子区域来看，区域1和区域3的情形与BOB全区域积分情形一致。对于区域2整层为负值且随深度衰减，说明中尺度涡旋在这个区域把动能还给了背景流。有意思的是，在50 m以浅的水柱上为正，再往深处为负，且在约80 m深度处达到负的极大值。这说明该区域表层发生斜压失稳，但次表层（50 m以下）是斜压稳定的。结合项的分布，我们的结果表明在区域2的次表层，背景流与中尺度涡旋之间的能量传输为逆尺度能量级串，中尺度涡旋向背景流传输动能和有效位能。区域4的正压和斜压正则传输都表现为整层正值，但两者之间的关系呈现出复杂的垂向结构。从图8e可见，20 m以浅斜压不稳定为主，20～100 m处正压不稳定的贡献稍大于斜压不稳定，而100 m以深又以斜压不稳定为主。

图8 孟加拉湾（BOB）不同区域平均的多尺度相互作用项的气候态垂直分布Fig. 8 The vertical distributions of the long-term mean multiscale interaction terms in various domains in Bay of Bengal (BOB)

4.2 背景流与高频扰动之间的相互作用

背景流发生不稳定既可以生成中尺度涡旋，也可以直接产生频率较高、空间尺度相对较小的高频扰动，后者可以用和这两个正则传输来刻画。从图7b可见，除了苏门答腊岛的西北部海域（区域4），项的水平分布特征与项相类似，即区域1、区域3以正向动能级串为主，区域2以逆向级串为主，但量级上相对较小。在区域4处项为负，说明该海域高频扰动对季风流的维持起着一定的作用。不同于在BOB的西北部海域（尤其是区域1）以负值为主（图7e），表明高频扰动通过逆尺度能量传输为EICC提供有效位能。在BOB南部海域项均为正值，大值区位于区域3，表明在BOB南部海域背景流的斜压失稳是高频扰动发生发展的重要能量来源。需要注意的是，海洋内部不稳定过程只是BOB海域高频扰动的其中一个因素，前人的研究发现该海域上空天气尺度的风应力（尤其在西南季节盛行期间）可以通过海水辐合辐散在海表产生对应频率段的扰动，并进一步向北传播[4]。我们的研究表明，这些通过不同机制产生的高频扰动会在BOB中部（区域2）、苏门答腊岛的西北部海域（区域4）等海域以逆向能量串级的形式向背景流提供动能，在BOB北部及西边界的部分区域以逆向能量串级的形式向背景流提供有效位能。

4.3 中尺度涡旋与高频扰动之间的相互作用

基于3个尺度子空间的能量方程使得我们还可以进一步定量诊断中尺度子空间和高频尺度子空间之间的能量传输。从图7c和图7f可见，中尺度涡旋和高频扰动之间的和大体以正值为主，这说明高频子空间是中尺度涡机械能的一个重要的汇。项在区域1、区域3和区域4呈现较强的正向动能级串，动能从中尺度涡旋向高频扰动传输。在区域2，项正负相间且强度较弱。项在整个BOB海域均表现为正值，最强的信号位于区域1，与图5f中HAPE的大值区相对应，表明在西边界流域中尺度涡旋通过正向级串为高频扰动提供有效位能。通过对比和的水平分布，我们可以看到对于BOB东边界以及中部广大海域，高频尺度子空间的有效位能主要来源于中尺度子空间，这说明在这些区域较低频的中尺度涡通过正向串级把有效位能耗散到高频扰动中去。在4.4节中我们将看到高频尺度子空间的有效位能进一步转换为扰动能，为这个尺度的扰动提供动能来源。

4.4 浮力转换

最后，我们分析3个尺度子空间内动能和有效位能之间的相互转换（浮力转换），即bϖ项，当bϖ为正则表示子空间 ϖ内有效位能向动能转换。从水平结构来看（图7g至图7i），b0（ MAPE→MKE）呈现出正负相间的分布特征，而b1（ EAPE→EKE ）和b2（ H APE→HKE）则主要以正值为主。在背景流子空间，b0在4个区域均以负值为主，且负的最大值出现在次表层（50～100 m）。根据von Storch等[37]对世界大洋洛伦兹循环的估算结果，他们发现风应力将大部分能量输入到MKE，通过埃克曼抽吸过程将MKE转换为MAPE，随后MAPE进一步通过斜压不稳定继续传输到EAPE并最终转换为EKE。我们的结果证实类似的能量路径在BOB海域也同样存在。比如4个子区域均有负的b0， 即 MKE→MAPE（图7g至图7i），说明局地风场对建立背景流有效位能的重要性。在中尺度子空间，除了区域1处有一些负的b1信号外，其他海域均以正值为主，即 EAPE→EKE。这种转换的大值区位于区域3和区域4处，与EKE和EAPE的水平空间分布特征相一致（图5b和图5e）。在高频尺度子空间，b2在整个BOB海域基本为正值，即 HAPE→HKE，其大值区位于区域1和区域3（图7i）。

图8展示了3个尺度内浮力转换的垂直分布。就整个BOB海域来看，b0（绿色实线）量级最大，在30 m以上表层为正，即MAPE转换为MKE，而在30 m以下的次表层MKE向MAPE转化（图8a）。b1和b2均为正值，表明在中尺度子空间和高频尺度子空间均为有效位能向动能转换。通过比较b1和 Γ0A→1，可以看到背景流有效位能通过斜压失稳传输到中尺度有效位能，这部分有效位能只有很少一部分转换成中尺度涡动能，这说明BOB海域的中尺度涡动能（EKE）来源主要来自正压能量传输路径（ MKE→EKE），这与全球大洋EKE来源以斜压能量路径（MAPE→EAPE→EKE ）为主的情形有所不同[37]。由于b0在区域1正负相间的特点，其区域平均值很小，不同深度处量级没有明显变化（图8b）。在区域2处，b0项始终为负值，MKE向MAPE转换，且极大值出现在深度约为100 m处的次表层。b1和b2在60 m以上的表层海域为正值，将来源于背景流子空间的有效位能转换为动能（图8c）。在区域3处，b0在0～100 m处为负值，MKE向MAPE转化，0～50 m的表层海域b0不断增大，随后逐渐减小，在约100 m深度处转变为正值。b1和b2项量级相对较小，主要集中在100 m以上，且均为正值，EAPE（HAPE）向EKE（HKE）转化（图8d）。在区域4处（图8e），3个尺度的浮力转换与对应的跨尺度能量传输项相比量级相近。b0在0～30 m的表层海域为正值，在30 m以下转变为负值，并随着深度的加深增大后减小。b1始终为正值，EAPE向EKE转换，且随着深度的加深，在0～30 m的表层先增大，随后在30～60 m的水柱减小。b2在50 m以上为正值，HAPE向HKE转换；50 m以下显示出弱的负值，HKE向HAPE转换。

5 结论

基于水平分辨率为0.1°的OFES海洋模式数据，本文利用多尺度子空间变换[27]（MWT）和基于MWT的正则传输理论[29]，对BOB海域背景流、中尺度涡旋和高频扰动之间内在的相互作用进行了定量分析。本文首先利用MWT将原始场分解到背景流（＞96 d）、中尺度涡旋（24～96 d）和高频尺度（＜24 d）3个子空间内，分析了3个尺度子空间的动能和有效位能的三维空间分布特征。结果表明背景流子空间的有效位能（MAPE）和动能（MKE）量级最大。中尺度子空间的有效位能（EAPE）和动能（EKE）量级相当，两者均在BOB西边界和南部海域较强。高频尺度子空间的有效位能（HAPE）和动能（HKE）是总能量中不可忽略的部分，尤其是在BOB西边界以及南部海域。结合Cheng等[17]对BOB海域的分区，本文选取了4个子区域，即BOB的西北部边界（区域1）、BOB的中部海域（区域2）、斯里兰卡岛的东部海域（区域3）以及苏门答腊岛的西北部海域（区域4），并利用正则传输理论重点对这4个子区域的多尺度相互作用做了探讨。下面我们用比较直观的洛伦兹能量循环图（图9）对本文得到的结果做一个总结：

就整个BOB海域而言（图9a），跨尺度能量传输均表现为正向能量级串，即动能和有效位能均从低频尺度向高频尺度传输。中尺度子空间相关的正压能量 路 径（ MKE→EKE） 和 斜 压 能 量 路 径（MAPE→EAPE→EKE）在BOB海域均有体现，但与全球平均的大洋能量循环不同的是BOB海域EKE来源以正压能量路径为主。基于3个尺度的能量方程进一步揭示了高频尺度子空间与背景流以及中尺度子空间之间的能量交换，结果表明斜压能量路径（MAPE→HAPE→HKE 和 EAPE→HAPE→HKE）对HKE的贡献要大于 正压能量 路径（ MKE→HKE和 EKE→HKE）。我们的结果表明中尺度与高频尺度子空间之间正向能量级串是耗散中尺度机械能的一个重要机制。

图9 孟加拉湾（BOB）不同区域的洛伦兹能量循环Fig. 9 Schematics of the Lorenz energy cycle in various domains in Bay of Bengal (BOB)箭头上的数字表示1999-2017年上层海洋（0～300 m）体积平均值，箭头的粗细刻画了能量传输的大小（单位：10-6 W/m3）The numbers above the arrows are obtained from temporally and volume-averaged energy terms of 1999-2017, with the arrow size indicating the strength of the energy terms (unit: 10-6 W/m3)

BOB西北部边界（图9b）和斯里兰卡岛东部（图9d）是整个BOB海域多尺度相互作用最显著的区域，这两个区域的能量路径与整个BOB区域平均情形基本一致。这两个区域的背景流发生强烈的正压不稳定和斜压不稳定，动能和有效位能从背景流子空间向中尺度级串，且两个区域的EKE来源均以正压能量路径为主。不同于上述两个强相互作用区，BOB中部（图9c）多尺度相互作用相对较弱，且以逆尺度动能级串为主。该海域EKE和HKE通过斜压能量路径获得，随后通过逆尺度动能传输（ EKE→MKE和 HKE→MKE）把动能还给背景流。苏门答腊岛的西北部海域（图9e）也是中尺度和高频尺度动能较强的海域，正压能量路径和斜压能量路径均是该海域EKE和HKE的来源，但不同于区域1和区域3，该区域以斜压能量路径为主。

本研究对BOB海域的多尺度能量学进行了初步的诊断和分析。需要注意的是，本文仅对3个尺度之间的正则传输和浮力转换过程做了分析，由于这些过程跟不稳定紧密相关，因此是洛伦兹循环中最核心的部分。本文使用的正则传输理论还克服了传统方法中的跨尺度传输不满足子尺度间能量交换守恒的缺点，得到了更为信实的多尺度能量串级空间分布特征。但要注意多尺度能量方程中还有其他的一些过程，比如空间输运和压强做功项，这些过程反映了各尺度能量在物理空间中的再分配，我们将在今后的研究中加以讨论。此外，上述结论是基于对各个能量过程做了多年平均的结果，本文没有讨论这些过程的时间演变（如季节变化）特征。最后，因为模式分辨率的限制，本文中的高频尺度子空间不包含亚中尺度过程。BOB海域亚中尺度过程与中尺度涡及背景流之间的相互作用也值得今后进一步探讨。