包宇新，张雯雯，魏齐蕾，吴 楠

（中国矿业大学（北京），北京 100083）

主动反射面调节问题在太阳能发电领域、太空望远镜领域以及舞台设计领域有着十分广泛的应用，但由于主动反射面的调整任意性较强，往往很难运用数学方式计算出各个反射面的最优位置，本文旨在以FAST主动反射面调节问题为例，通过粒子群算法[1-2]与蒙特卡洛模拟[3-4]，建立一种解决主动反射面调节问题的一般性方案。

1 问题背景

FAST由主动反射面、馈源舱（信号接收系统）和相关的控制、测量、支承系统组成。其中，主动反射面系统是一个由主索网、下拉索、反射面板、促动器和支承结构等主要部件组成的可以调节的球面。主动反射面可分为基准态和工作态2个状态，处于基准态时的反射面是半径约300 m、口径为500 m的基准球面，处于工作态时反射面会调节为一个300 m口径的工作抛物面。馈源舱接收平面的中心不固定，在一个与基准球面同心的球面上移动，会移动到待观测天体S和基准球面球心C的连线与该球面的交点P处，且其接收信号的有效区域是一个直径为1 m的中心圆盘。此时基准球面上的一部分反射面板形成以直线SC为对称轴、以P为焦点的近似抛物面，促动器沿基准球面径向安装，顶端可沿基准球面径向伸缩，范围为-0.6～+0.6 m，起到调节反射面板的作用，最终形成工作抛物面，能将来自目标天体S的平行电磁波反射聚集到馈源舱的中心圆盘上[5-6]。FAST剖面图如图1所示。

图1 FAST剖面图

本文旨在探索当待观测天体S位于α=36.795°、β=78.169°（α为S的方位角，β为仰角）时，如何建立反射面板调节模型，调节相关促动器的伸缩量，使得馈源舱的接收比最高。

2 数据分析和模型假设

本研究是建立在已知2 226个主索节点的坐标和编号，促动器下端点（地锚点）坐标、基准态时上端点（顶端）坐标，4 300块反射面板对应的主索节点的编号的基础上进行研究的。

为方便处理问题，提出以下假设：（1）在基准态下，所有的主索节点都处于基准球面上；（2）因反射面板上的小圆孔直径很小，故不考虑其对电磁波的反射影响；（3）因被观测天体S距离极远，故认为电磁波信号和反射信号是沿直线传播的；（4）因反射面板很薄，故不考虑其厚度；（5）电磁波均匀分布。

3 模型的建立与求解

3.1 建立理想模型

在了解“FAST”主动反射面的三维模型[7]后开始建立调节前的理想模型。由于多反射面问题很难计算出最优解，可以先利用简单的理想数学模型确定各反射面所处的大致位置，此处很容易发现抛物面具有让所有光束汇集到一点的特性，从而计算能够满足条件的抛物面最优形状。

由于理想抛物面具有极强的旋转对称性，同时待观测天体发出的电磁波可近似认为与抛物面对称轴平行，抛物面在过其轴线不同平面内的反射性质相同，因此只考虑理想抛物面中的一个平面，即探究理想抛物线。根据抛物线的光学性质（光是一种电磁波）[8]，来自目标天体S的平行电磁波会反射聚集到位于工作抛物面焦点位置的馈源舱中心圆盘上。

3.1.1 理想模型的建立

以抛物线上的点与基准球面的距离之和应尽量小及为保证结论的正确性考虑抛物线的焦点无限靠近馈源舱为目标函数（两者权重一致），以主索节点的移动变位范围为-0.6～+0.6 m且工作抛物面口径为300 m和两相邻主索节点调节变化幅度不超过0.07%为2个约束条件，建立优化模型。

以点C为顶点建立空间坐标系

式中：r′为抛物线上的点到球心C的距离；r为基准球面的半径；yp为馈源舱的纵坐标；yf为焦点的纵坐标；a为主索节点移动变位的最大值，即0.6 m；s为抛物线上任一主索节点和与之相邻最近的主索节点调节后的距离；f为抛物线的焦距；l为抛物线顶点到原点的距离。

3.1.2 理想模型的求解

在随机取样，估计出l、f的范围为l∈[299.8，301.0]，f∈[135.0,145.0]后，运用粒子群算法得出较为精确的结果，根据l、f的大致范围确定各粒子的运动范围，由于本研究中的二元函数不存在多个峰值，为保证尽快找出最优解，计算时应尽量减小惯性系数与粒子速度。

最终得出抛物线方程为

进而得到理想抛物面方程为

将主动反射面上的节点与理想抛物面重合即可得出反射面的粗略位置。

下面计算当待观测天体S位于α=36.795°、β=78.169°的位置时的理想抛物面，可理解为旋转上述理想抛物面。旋转后的理想抛物面如图2所示，其单位法向量为n=(-cosαcosβ,-sinαcosβ,-sinβ)。

图2 旋转后理想抛物面的曲面图

以点C为顶点建立空间坐标系，令点H为抛物面的顶点。被测天体发射的电磁波的方向为A=(-cosα,-sinα，-tanβ)，有A=|A|·n。因为CH//A，故CH=k·n，且|CH|=r，可以求出旋转后的理想抛物面的顶点坐标为（-49.385 0，-36.938 0，-294.405 7），抛物面方程为

3.2 馈源舱接收比计算

3.2.1 从被测天体发射的电磁波落在各反射面板的概率

将300 m口径内所有反射面板在与电磁波传播方向垂直的平面上的投影面积按大小排列在坐标轴上，依次为S1、S2、S3、…、Sn，将其运用蒙特卡洛模拟随机取样，从被测天体发射的电磁波中随机挑选1条，其落在[Si-1，Si]的概率为，即落在第i块反射面板的概率为。因为可以在数轴上随机取1个数，所以可通过判断该数所在区间来判断所要选取的反射面板。

3.2.2 给定反射面板中任一点的坐标

根据线性子空间内仿射组合，三角形ABC中任一点Q可表示为AQ=γAB+μAC（0＜γ+μ＜1），可通过蒙特卡洛模拟随机生成γ、μ的值在给定反射面板中取点。

3.2.3 馈源舱的接收比

根据光学知识（光是一种电磁波），已知入射点O、入射光线向量A和法向量B，可以求得反射光线的向量。馈源舱的有效区域可以接收到反射信号即反射线与以馈源舱（点P）为圆心、0.5 m为半径的圆盘有交点，即

式中：m为馈源舱到反射光线的距离；θ为馈源舱到反射光线的垂线与圆盘的夹角。

馈源舱的接收比即为馈源舱有效区域可以接收到的反射信号与300 m口径内反射面板反射出来的信号之比。

3.3 在理想模型基础上的优化

在获取各主动反射面的大致位置后，可以进行通过调整促动器伸缩量以提高馈源舱接收比。为简化变量，选择用几个特征量来描述调整后各个节点所处的位置特性（特征越少越好），同时建立促动器伸缩量与特征量的函数关系，最后利用粒子群算法得出函数中参数的最优解。

由于抛物面具有很强的对称性，因此在同一高度下各节点的促动器二次调整量应大致相同，同时在同一高度由于抛物面上各点到抛物面轴线距离相等，所以将节点到抛物面轴线的距离d作为描述其位置特征的特征量。由于促动器二次调整量一般数值较小，其与d的函数关系可以运用泰勒展开来近似，即

式中：x为促动器二次调整量；a、b、c为要求的系数。

随机取样，估计出a、b、c的范围为a∈[-0.000 2，0.000 2]、b∈[-0.1，0.1]、c∈[-0.7，0.7]后，运用粒子群算法得出较为精确的结果，根据a、b、c的大致范围确定各粒子的运动范围。由于本研究中的二元函数不存在多个峰值，但是由于约束条件的存在往往会出现不符合条件的解，因此为保证尽快找出最优解，计算时惯性系数应随迭代次数不断减小。最终得出使馈源舱接收比达到最高的x-d的函数关系为

馈源舱接收比最高为37.15%。

4 结束语

随着球面射电望远镜“FAST”的正式落地启用，我国的科学研究取得进一步突破。截至目前，已有数以万计的专家学者对“FAST”做了各式研究，并且随着科学技术的不断进步，会有越来越多针对“FAST”的研究进行。相信在不久的将来，我国定能研究设计出比“FAST”更优更强的射电望远镜。