晏 莉， 杨海涛

(长沙理工大学 土木工程学院， 湖南 长沙 410114)

1 研究背景

盾构隧道施工往往会引起周边地层发生变形，进而导致周围建筑物或地下管线产生下沉、变形或开裂等一系列问题[1]。因此，针对盾构隧道施工所引起的地层变形问题进行研究分析有着十分重要的现实意义。

目前国内外学者针对浅埋盾构隧道施工引起的地层位移研究方法主要有数值分析法[2-3]、经验法[4-5]和理论分析法，其中在理论分析方法中，最为常见的有应力函数法[6-7]、镜像法[8]、随机介质理论[9]和复变函数法。复变函数可以利用保角变换将复杂的原平面转换为相对简单的映射平面(圆或者圆环)，从而被广泛运用于平面开孔问题。Verruijt[10]首先寻找到一个映射函数，将半无限平面内开孔的单个圆形洞室区域映射为一个圆环区域，最终求得隧道洞周受到均布荷载条件下的围岩应力和位移复变函数解。Lu等[11]和曾癸森等[12]利用复变函数分别考虑了浅埋隧道在上覆土层自重及构造应力作用下的围岩应力和位移解析解。然而，在实际盾构施工过程中，受多种因素的影响，洞周的应力条件一般难以准确获得，因此限制了该方法的广泛应用。

相比隧道洞周应力而言，其洞周变形更易于获取，且精度高、成本低。因此，不少学者开始利用位移边界条件来获得隧道开挖后的围岩位移解析解。Verruijt[13]假设隧道开挖后，洞周发生均匀径向收缩，利用复变函数获得了位移边界条件下的围岩位移解析解。王立忠等[14]通过数学推导获得了隧道洞周在4种不同位移边界条件下的复变函数解。童磊等[15]考虑了Park提出的4种洞周变形模式的线性叠加，最终给出了不同位移边界条件叠加后的复变函数解。Fu等[16]利用复变函数获得浅埋隧道在自重应力作用下且洞周发生非均匀变形的位移边界解析解，并讨论了隧道变形分量对位移场的影响。张治国等[17]基于洞周发生的椭圆化变形，提出了同时考虑衬砌与土体两种不同介质作用下的复变函数解。宋文杰等[18]通过引入椭变系数和下沉系数，利用复变函数理论获得了盾构施工引起的地层位移变化和应力大小。然而，上述研究分析中并未考虑衬砌滞后于开挖面的位移过程，这与实际情况也存在一定的差异。

综上所述，利用复变函数求解浅埋单孔隧道开挖问题已有不少成果，然而却鲜有考虑盾构隧道在施工过程中，衬砌滞后于开挖面这一施工因素，而衬砌滞后于开挖面可能会引起地层产生较大的变形和破坏，从而影响盾构开挖面的稳定性，给施工带来安全隐患。为此，在前人的研究基础上，本文引入位移释放系数η，考虑了衬砌滞后于隧道开挖的位移过程，并假设围岩与衬砌发生协调变形，利用接触面应力连续条件，结合地表边界条件求得围岩域内的复变函数，同时通过提出相对位移约束点，对位移理论解进行修正，位移释放系数η值根据围岩性质、施工方法以及掌子面与支护施作面的距离而确定[19]。选取4例实际盾构隧道工程实例，分别考虑4种典型洞室位移边界条件，将该理论计算得到的地表位移初始解和修正解与现场实测数据进行了对比分析。最后，为了研究位移释放系数、隧道埋深以及隧道半径分别对地表变形的影响，通过设置多种工况，计算并分析讨论了各种不同因素下单孔盾构隧道开挖后地表沉降的分布规律。

2 问题描述

2.1 基本假设

为了简化计算，浅埋单孔盾构隧道力学模型采用如下基本假设：

(1)隧道在z方向上的长度远大于x、y方向上的长度，符合平面应变问题；

(2)围岩和衬砌均为各向同性均质弹性体，且忽略衬砌的自重；

(3)衬砌和围岩均为小变形，对坐标的改变可以忽略不计；

(4)衬砌与围岩之间存在空隙，两者发生协调变形，接触面上两者应力相等；

(5)不考虑渗流对隧道施工的影响。

图1为直角坐标系下半无限平面单孔圆形隧道开挖问题的计算简图，其中h为隧道中心至地表的垂直距离，r0为衬砌内径，r1为衬砌外径，d为衬砌厚度，A为坐标原点，B为无穷远处，R区域为半无限平面中除隧道与衬砌以外的区域，γ为土体重度，E为土体弹性模量，μ为土体泊松比，Es为衬砌弹性模量，μs为衬砌泊松比。

图1 半无限平面盾构隧道施工计算简图

2.2 解析函数和边界条件

根据平面问题复变函数解法，土层任意点的位移和应力分量可以通过R区域内解析函数表示[20]。

应力组合表达式为：

σx+σy=4Re[φ′(z)]

(1)

(2)

位移表达式如下：

(3)

式中：G为剪切模量，由于本文属于平面应变问题，因而取κ=3-4μ。

在z平面上，地表边界y=0处按自由边界无应力、无变形考虑。孔洞周边|z+ih|=r1处视具体情况可施加不同的边界条件，本文考虑在洞周施加位移边界条件。

3 解析法基本理论和求解

3.1 共形映射

图1所示的z平面区域通过映射函数可转换为ζ平面中的圆环区域，如图2所示。映射函数ω(ζ)的表达式为[10]：

(4)

图2 z平面区保角映射后的区域

由于φ(z)、ψ(z)在R区域内为解析函数，保角映射不改变函数的解析性，即在Θ区域内φ(ζ)、ψ(ζ)也是解析函数，将φ(ζ)、ψ(ζ)展开为洛朗级数表达式：

(5)

(6)

式中：a0、ak、bk、c0、ck、dk为待定系数，根据地表和隧道洞周的边界条件确定。

3.2 根据边界条件确定洛朗级数系数

在ζ平面上，地表边界条件|ζ|=1可写为：

(7)

联立公式(4)～(6)代入公式(7)可得：

(8)

(k=1,2,…)

(9)

(k=1,2,…)

(10)

本文假定隧道支护施作完毕后，洞室周边总共产生的位移为ur，其中ur=u0+iv0，洞室边界条件|ζ|=α可写为：

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

3.3 盾构隧道施工引起的收敛变形

盾构隧道的洞周变形一般由径向收缩、椭圆化变形及整体下沉3种变形叠加而成，如图3所示。图3中uε、uδ和uv分别为径向收缩变形、椭圆化变形以及竖向下沉变形。

图3 盾构隧道洞周地层变形模式

在盾构隧道施工过程中，一般施作支护滞后于隧道开挖。本文通过引入位移释放系数η来体现衬砌滞后隧道开挖的位移过程，其中η与土层的性质、施工方法以及滞后时间有关。隧道开挖时假设释放位移为ηur，当衬砌施作完毕后，此时衬砌与围岩接触面的协调变形为(1-η)ur，最终二者叠加即为隧道洞周最终的变形ur。

3.4 位移边界条件的转换

图3所示的盾构隧道开挖最终叠加位移的边界条件采用如图4所示的边界条件极坐标(原点在o′)的表达式如下：

图4 边界条件的极坐标表示

ur(θ′)=-uε+uδcos(2θ′)-uvsinθ′

(16)

由公式(16)可知，浅埋条件下单孔圆形隧道开挖后的洞周变形可以通过3种基本变形的位移值uε、uδ、uv进行叠加来确定。Park[21]归纳总结了4种典型单洞开挖断面的变形模式，如图5所示。

图5 隧道单洞开挖断面的4种变形模式

同样采用图4所示的边界条件极坐标时可以发现，图5所示的4种变形模式的边界条件只是公式(16)反映出来的几种特殊情况，即：

(17)

由于复变函数建立的xoy坐标系与位移边界采用的极坐标系的圆心位置并不一致，需要进行坐标转换。如图4所示，假设点M在xoy坐标系为z，点M在x′o′y坐标系中为z′，则两者的关系如下：

z=z′-ih

(18)

(19)

(20)

联立公式(18)～(20)可以推导出：

(21)

将公式(16)转换到如图1所示的z平面隧道洞周上，其表达式如下：

(22)

将公式(22)转换到ζ平面上可得出：

(23)

故可得：

(24)

公式(24)中Ak的具体表达式如下：

(25)

根据前文3.3节中的假设可知，隧道开挖面释放的位移为ηur，当尚未施作衬砌时，洞室位移边界条件的级数展开各项系数记为A′k，则A′k=ηAk；当施作衬砌后，考虑到土体与衬砌的相互作用，根据文献[17]，将衬砌与土体接触面间的最终变形差统一为(1-η)ur，即：

uδcos(2θ′)-uvsinθ′)

(26)

依据Flüegge[22]提出的衬砌位移-应力关系可得(假设衬砌厚度小于隧道半径)：

(27)

(28)

(29)

(30)

式中：As为衬砌每延米的截面面积，m2；Is为衬砌每延米对圆心o′的极惯性矩。

不考虑衬砌与土体的摩擦作用，同时假设二者协调变形，即衬砌与土体接触面的应力关系如下：

(31)

(32)

当r=r1时，联立公式(26)～(28)及(31)～(32)求解微分方程并取其特解为：

(33)

Ur│r=r1=m(1-η)(-uε+uδcos(2θ′)-uvsinθ′)+nγ(h-r1sinθ′)

(34)

同理，将公式(34)所示洞周位移边界进行坐标转换，最终可以得到衬砌与围岩协调变形下的洞周位移条件的级数展开各项系数A″k的解析表达式：

(35)

3.5 位移约束点的确定

由文献[23]、[24]可知，在半无限平面中，荷载作用下的围岩只有相对位移而无绝对位移。隧道开挖后周边围岩的位移和应力变化仅为洞周的部分区域，当超过其影响区域后，隧道开挖引起的围岩位移变化几乎为零。因此，本文参照数值模拟和现场经验的方法，在隧道开挖周边一定的范围内设置位移约束边界，然后分别求得地层内各位移计算点相对应的位移约束点的位移，两者的位移差即为修正后的位移计算点的最终位移。

在求解位移的修正解时，考虑到竖向位移和水平位移的差异，需要分别采用不同的位移边界条件进行约束，如图6和7所示，图中r表示隧道的半径。在计算半无限平面任意一点位移(x,y)的竖向位移时，需要减去对应的位移约束点(x, -h-6r)的竖向位移，最后得到该点的竖向位移真实值。对于水平位移而言，当计算点(x,y)位于隧道中轴线左侧时，计算点(x,y)的水平位移减去左侧位移约束边界上对应点(-6r,y)的水平位移即得到该点的水平位移真实值；当计算点(x,y)位于隧道中轴线右侧时，计算点(x,y)的水平位移减去右侧位移约束边界上对应点(6r,y)的水平位移即得到该点的水平位移真实值；对于中轴线处围岩的水平位移，考虑到问题的对称性，可不做处理。

图6 半无限平面竖向位移约束布置图 图7 半无限平面水平位移约束布置图

3.6 程序编制过程

由于α<1，因此不难得出，随着k的增大，当k>N1时(N1为某一较大正整数)，则Ak、A-k趋于0。利用MATLAB编制以下计算程序，具体流程如图8所示。

图8 算法流程图

(1)取任意虚数为a0的初始值，代入公式(12)～(15)可得ak、bk。

(3)将上述计算得出的a0、ak、bk代入公式(8)～(10)中可求得c0、ck、dk，至此洛朗级数各项系数均已确定。

(4)求出土体各点的位移场，同时求得各点所对应的水平位移约束值和竖向位移约束值，分别将各点的计算值减去对应的竖向位移约束值和水平位移约束值，即可求得土体各点的真实位移。

由于本文考虑了盾构施工中洞周位移产生的两个阶段，一是隧道开挖且未支护时洞周产生的位移，二是考虑施作支护后围岩与衬砌的共同变形。因此，计算中在洞周分别施加两种不同的位移边界条件且均以展开的级数形式呈现，两种边界条件各项系数分别为A′k和A″k。最后，将两种情形下计算的位移场进行叠加。

4 算例分析

选取4个典型隧道工程案例进行计算与分析，隧道的几何和物理参数参考文献[25]取值，根据前文的假定，选取土体的弹性模量E=Eu(不排水弹性模量)，衬砌的弹性模量Es=25 000 MPa；土体的泊松比μ=0.5，衬砌的泊松比μs=0.2。

案例均采用了图5所示的4种洞室位移边界条件进行计算，分别求得不同位移边界条件下的地表沉降理论初始解和修正解，并与各隧道的现场地表沉降实测数据进行对比分析，具体如图9所示。

由图9可知，地表沉降的理论解在修正后，数值大小以及曲线形状均发生了较大的改变。整体变化规律大致为中心对称轴上的位移量变化相对较小，而距离隧道中心越远，则位移值的改变量越大，导致修正后的地表沉降槽影响范围越小，沉降值也越小。总体而言，4种洞室位移边界条件下的理论修正值与实测值的吻合度均高于理论初始值的吻合度，4种理论计算修正值的地表沉降槽宽度与实际值也基本保持一致，说明通过设置位移约束点，可以提高理论计算解的精确度。从4种洞室位移边界条件下的洞室变形来看， BC-4边界理论修正值与实测值的吻合度最高，表明盾构隧道开挖后洞室变形一般以BC-4边界变形为主。

图9 4个典型隧道工程在不同位移边界条件下的地表沉降计算值与实测值

5 地表沉降影响因素分析

由上一节的分析可知，采用BC-4边界条件计算得到的位移修正解与工程现场实测值吻合度最高，因此本节计算均以BC-4边界作为洞室位移边界条件。

浅埋盾构隧道开挖产生的地表位移大小受较多因素的影响，本节重点研究位移释放系数及隧道埋深、隧道半径对地表位移大小的影响，其余参数不变。共设置了16种计算工况，以工况1为基本工况，其余15种工况均在工况1的参数基础上仅改变一种参数，具体各工况参数如表1所示。

表1 16种计算工况的隧道参数取值

5.1 位移释放系数的影响

在隧道其他几何参数不变的条件下，通过改变位移释放系数η，得到不同位移释放系数的相对地表沉降曲线图，如图10所示，图10中相对地表沉降是指计算得到的实际地表沉降值与洞周位移一半(ur/2)的比值，后文中提到的相对地表沉降均为该比值。

由图10可知，地表相对沉降值随着位移释放系数的增大而减小。由此说明，隧道开挖后，围岩所承受的位移比例越大，地表相对沉降值就越小，随着围岩承担的位移减少，地表相对沉降值则逐渐增大。图10还表明，不同位移释放系数下的地表相对沉降槽宽度并不一致，位移释放系数越大，则地表沉降槽宽度越小，随着位移释放系数的减小，地表沉降槽的相对宽度也随之增加。

图10 不同位移释放系数相应的相对地表沉降曲线

提取不同位移释放系数计算工况下得到的地表最大沉降值，绘制两者的关系如图11所示。

由图11可见，在其他几何参数不变的条件下，地表相对沉降最大值与位移释放系数呈线性关系，其表达式如下：

vmax=0.52474η-1.02

(36)

通过图11和公式(36)可以看出，地表相对沉降最大值与位移释放系数呈正相关。当η=0时，即认为隧道开挖后引起的洞室变形主要是由衬砌承担，围岩力学性质相对较差，几乎不能承担隧道开挖引起的位移变化，此时隧道施工引起的相对地表沉降最大值为1.02，当位移释放系数η=1时，表明隧道开挖后的变形主要由围岩承担，此时围岩力学性质较好，相对地表沉降最小值为0.49，两者数值大小相差两倍左右，说明位移释放系数对地表沉降的影响较大。

图11 相对地表沉降最大值与位移释放系数的关系

5.2 隧道埋深的影响

在位移释放系数及其他几何参数不变的条件下，通过改变隧道埋深，得到不同埋深下的相对地表沉降曲线图，如图12所示。

图12 隧道不同埋深相应的相对地表沉降曲线

图12表明，不同埋深下的相对地表沉降曲线均以隧道中心线为对称轴沿隧道两侧对称分布，呈现出典型的“V”型分布，地表相对沉降值随着隧道埋深的减小而增大，隧道埋深越浅，在距离隧道中心对称轴10 m以内的相对地表沉降变化就越显著，其相对地表沉降槽的宽度越窄，表明此时隧道开挖的影响范围相对较小，反之，随着隧道埋深的增加，地表相对沉降值逐渐减少，然而其相对地表沉降槽的宽度却增大，说明隧道埋深越大，地表沉降的影响范围就越宽。综上可知，隧道埋深对地表变形有着重要影响。

提取不同隧道埋深计算工况下得到的地表最大沉降值，绘制两者的关系如图13所示。

图13 相对地表沉降最大值与隧道埋深的关系

由图13可以看出，相对地表沉降最大值可表达成关于隧道埋深的指数函数，函数式如下：

vmax=-4.496exp(-0.2375h)-

1.262exp(-0.0181h)

(37)

图13显示，隧道埋深在5～10 m变化时，其相对地表沉降最大值变化最为显著，近似呈线性变化。随着隧道埋深的增加，相对地表沉降最大值逐渐减小，且其变化速率也逐渐减缓。主要原因是：当隧道埋深达到一定深度时，隧道上方逐渐形成稳定的压力拱，围岩具有一定的自承能力，可以减小隧道开挖对地表变形的影响。

5.3 隧道半径的影响

在位移释放系数及其他几何参数不变的条件下，通过改变隧道的半径，得到不同半径下隧道开挖引起的相对地表沉降曲线图，如图14所示。

由图14可以看出，随着隧道半径的增大，隧道开挖引起的相对地表沉降值也逐渐增大，在距离隧道中心对称轴10 m以内的相对地表沉降变化幅度较大，地表较大幅度沉降会引起周围建筑物及地下管线出现开裂和下沉等问题，因此在实际工程中需要重点关注该区段。随着距隧道中心对称轴距离的增加，相对地表沉降变化幅值明显减小，说明距离隧道越远，则隧道开挖对地表变形的影响越小。同时，隧道开挖半径越大，地表沉降槽宽度也越大，随着半径的减小，地表沉降槽宽度逐渐减小，说明隧道开挖断面越大，则对地表变形的影响范围越大。

图14 隧道不同半径相应的相对地表沉降曲线

提取不同隧道半径计算工况下得到的地表最大沉降值，绘制两者的关系如图15所示。

图15 相对地表沉降最大值与隧道半径的关系

由图15可以看出，在隧道埋深相同的情况下，相对地表沉降最大值与隧道半径呈线性关系，其具体表达式如下：

vmax=-0.1758r1-0.3889

(38)

图15和公式(38)表明，相对地表沉降最大值与隧道半径呈正相关，即随着隧道半径的增加，相对地表沉降最大值也逐渐增大。说明隧道开挖半径越大，隧道上方的地表沉降量也越大。

6 结 论

(1)在盾构隧道施工过程时，由于支护施作滞后于开挖，因此本研究考虑了支护滞后于开挖的位移过程，提出位移释放系数η，并利用复变函数解析方法成功求解了浅埋盾构隧道开挖产生的地面位移解析解。同时提出相对位移约束点，对位移解析解进行了修正处理。经过对4个工程案例的地表位移理论计算初始值、修正值和现场实测值进行对比分析，发现修改后的地表沉降值与现场实测值吻合更好，并且采用第4种位移边界条件下的地表位移修正解与实测数据吻合度最高。

(2)随着位移释放系数的增加，地表沉降值逐渐减少，且地表沉降槽宽度也随之减小；隧道埋深越小，则地表沉降越大，而地表沉降槽宽度却越小；隧道半径越大，产生的地表沉降值越大，且地表沉降槽宽度也越大。

(3)地表沉降最大值与隧道埋深呈指数关系，当隧道埋深相对较小时，相对地表沉降最大值随埋深的变化显著，近似呈线性变化，随着埋深的进一步增加，相对地表沉降最大值变化逐渐变缓；地表沉降最大值与隧道半径呈正线性相关，随着半径的增加，地表沉降逐渐增大；地表沉降最大值与位移释放系数呈正线性相关，即围岩自身承担的位移越大，则地表沉降最大值越小。