杨云，张小强*,b,c，徐新昊

（西南交通大学，a.交通运输与物流学院；b.综合交通大数据应用技术国家工程实验室；c.综合交通运输智能化国家地方联合工程实验室，成都 611756）

0 引言

我国高铁快速发展的同时，负债也在持续增加。根据国家统计局数据，2021年中国铁路总公司总负债增至5.76 万亿元，较2019年同期增加4900亿元。提升运营管理与盈利水平，已成为我国高铁亟待解决的问题。由于客流具有较为明显的高峰和低谷特征，而固定票价不能反映列车之间服务的差异性，无法有效改变客流分布特征。造成高峰时段出行需求大于供给，客流流失，从而影响铁路企业收益。2015年12月国家发改委出台文件允许高铁票价实行市场调节，铁路企业可以依据相关法律法规自主定价，部分铁路企业已经开始根据客流出行规律，对不同时段车次实施差别定价。结果表明，差别定价可以调节高峰时段、非高峰时段客流分布。在非高峰时段采用折扣票价，能够吸引更多的旅客选择高铁出行。但当前差别定价主要以经验为主，理论方法欠缺，差别定价不尽合理。

目前在确定交通方式或高铁各车次对旅客的出行价值时，以效用理论最为常用。通过计算效用值大小确定旅客偏好程度，进而采用MNL（Multinomial Logit）、NL（Nested Logit）模型或均衡配流方法，计算各交通方式或车次的客流量。赵翔等[1]以旅行时间、票价和舒适度为效用函数影响因素，采用MNL 模型研究在随机客流需求和多交通方式竞争条件下的旅客选择偏好。赵鹏等[2]认为旅客对平行车次选择具有明显差异性，出发时段是影响旅客选择的关键要素，在效用函数里加入了时段价值。赵鹏等[3]以票价、运行时间和时段价值为效用函数影响因素，采用均衡配流方法研究旅客对平行车次的选择偏好。蔡鉴明等[4]考虑运行时间、发车时段和舒适性这3个因素，进行市场细分确定不同类别旅客的效用函数。这些研究在计算出行效用时，假定旅客是完全理性的，得到的都是绝对效用值。Tversky[5]通过大量行为心理学实验提出前景理论，认为决策者在决策过程中是有限理性个体，其效用值跟自身的认知水平和风险态度等相关，并以前景值替代效用值。景云等[6]基于前景理论计算前景值，研究旅客在有限理性下对高铁列车类型的定价情况。后来两位学者[7]又在研究中发现，前景理论存在不能满足随机占优的局限，将其改进为累积前景理论，被广泛应用在经济学、社会心理学等领域。在差别定价方面，江文辉等[8]认为固定票价不能反映车次间的差异和旅客需求状况，造成平行车次间客座率失衡和收入损失，并提出3种差别定价方案。李博等[9]针对平行车次客座率不均衡的情况，以两列车整体收益最大为目标，确定最优定价与预售时间和剩余席位之间的关系。景云等[10]考虑公路竞争条件下，对京津城际铁路进行分时定价，均衡不同时段客流和提升铁路部门收益。

上述高铁差别定价研究较少考虑时段价值因素和旅客的有限理性特征，且未对时段价值进行量化。本文针对以上不足，首先对旅客进行分类，再计算时段价值，然后基于累积前景理论建立各类旅客感知效用函数。以铁路企业为上层决策者，旅客为下层决策者，构建以铁路企业收益最大化，旅客广义出行费用最小为目标的分时差别定价双层规划模型，采用基于灵敏度分析的启发式方法求解。最后以中短途城际线路邕北线为例进行验证。

1 基于累积前景理论的异质旅客出行效用函数构建

为准确刻画旅客的出行效用，依据旅客自身属性和出行特征进行潜在类别划分。然后考虑旅客选择的有限理性，建立列车产品出行效用模型，以累积前景值作为异质旅客选择不同产品的效用值。

1.1 基于LCA潜在类别的旅客分类思路

由于旅客群体的异质性，其对不同列车产品会表现出差异化的乘车选择行为。对于同一客流OD，客流所选择的各备选列车间的差异主要体现在发车时段、运行时间、票价等方面有所差异。对于普遍小于300 km 的城际列车来说，影响旅客选择的主要因素为发车时段和票价。

划分旅客潜在类别时，假定旅客的外显变量E、F、H的水平组合为{e,f,h} ，旅客的潜在类别概率为

式中：X为潜在变量；t为潜在类别；为{e,f,h} 属性水平组合的类别概率与条件概率、、计算值的积；为各类别求和后联合概率的极大似然估计。这种潜在类别模型分类与传统聚类方法相比，优点在于可以处理分类数据，采用极大似然法进行参数估计，能更精确地计算类别数量[11]。

1.2 异质旅客累积前景值计算

累积前景理论的一个重要特征是参考点取值非常关键，异质旅客对同一影响因素的心理参考点不同，使得相同决策对不同旅客产生的感知效用也有差异。第n种出行决策影响因素的累积前景值计算如下。

假设因素n取值x（n）近似服从均值为μ，方差为σ的正太分布n（μn,σ2n）。将取值等分成r+s+1等份，r、s为整数。取每一等分段的中值作为决策方案结果，有为划分第r、s段的中值。每等分段上的概率分布值作为相应概率，第r、s等分段对应的概率分别为。第m类旅客对该因素的心理参考点，计算各决策结果，确认为因素n对第m类旅客的收益（＞0）或损失（＜0）。

第n种影响因素对第m类旅客的价值函数为

式中：α，β为风险偏好系数；λ为损失规避系数。

由于风险偏好依赖于参考点，异质旅客的参考点不一样，风险偏好系数也不一样[12]，第m类旅客的风险偏好系数为

式中：ζ为规模参数，ζ≤1；M为旅客划分的类别总数；xm,o，xM,o分别为第m和M类参考点。参考点越小，个体对相同大小的变化越敏感。各类旅客价值函数如图1所示。

图1 异质旅客的价值函数Fig.1 Value function of heterogeneous passengers

价值函数需结合决策概率权重函数对累积前景值进行测度。

式中：g为车次j选择概率；w-、w+为决策概率权重函数；η、θ为概率感知参数，Tversky 等[7]给出其取值为η=0.61，θ=0.69。累积决策权重克服了前景理论决策权重函数不满足一阶随机占优的局限性，即

式中：R、S为价值函数为负值和正值的个数；gm,R、gm,S分别为价值最小、最大方案的概率；、为累积权重函数。则第n种决策影响因素对第m类旅客的累积前景值为

1.3 各时段价值量化

参照文献[2]的方法，以某线路基准票价p为基础。当其他影响因素不变时，通过问卷调查获得旅客的偏好出行时段，以及旅客愿意从偏好出行时段转到其他票价打折时段出行的票价折扣率（取值分别为0.6、0.7、0.8 和0.9 折）。则愿意为偏好出发时段ψ转移到其他时段所支付的折扣票价为该时段的价值dψ。

式中：ψ为划分的时段数；n1、n2、n3和n4为折扣下的转移旅客数，对应票价折扣为0.9，0.8，0.7和0.6。

1.4 基于累积前景理论的异质旅客出行效用计算

根据第m类旅客第j列车的发车时段和票价两个影响因素分别计算累积前景值dj,m和pj,m为

综合上述两个因素的累积前景值，第j列车第m类旅客的综合感知效用为

式中：为某段的时段价值；为某段的票价价值；εj,m为不可观测费用随机项。

2 城际列车分时定价双层规划模型

城际列车分时定价即根据列车发车时段的价值差异制定不同的票价，具体表现为不同时段开行具有相同方案特征的列车车次票价不一样。由于异质旅客对不同票价需求不同，结合不同时段旅客出行需求差异和有限理性选择，利用票价调节各时段异质旅客分布，兼顾双方利益。因此，可构建铁路企业收益最大，旅客出行感知广义费用最小的双层规划模型来确定各时段的最优票价。

2.1 模型假设

由于分时定价最终体现在不同时段的车次定价与客流关系上，对分时定价做出以下假设：

（1）以2 h 为一个时段对列车发车时间进行划分，同一时段内开行的所有车次时段价值相同，具有统一的时段定价。

（2）旅客为有限理性，选择感知费用最小的客运列车产品。

（3）城际列车客流需求与出行感知广义费用相关，客流量随着价格变化而变化。

2.2 上层规划模型

高铁各时段车次定价双层规划模型的上层决策者为铁路运营企业，下层决策者为旅客。上层模型以铁路企业在各OD 对获得的客票收入最大化为目标。

式中：W为OD 对总数；N为列车总数；M为旅客总类别数；p（w）j为OD 对w间第j趟列车的票价为票价为p时第m类旅客选择j趟列车OD 对w间的客流量，随票价而变化；、分别为OD 对w间第j趟列车票价的上、下限，设票价浮动范围为基准价的上、下20%。

2.3 下层规划模型

下层模型根据上层模型决策出的价格进行客流量分配，目标是以旅客出行感知广义费用最小。

式中：（x）为旅客在第j趟列车OD 对w的广义费用；Q（w）为OD 对w间客流量之和。考虑高铁旅客需求量会随高铁广义出行费用的变化而变化，构建弹性需求模型[13]，不同OD 对w间的弹性需求函数为

式中：A、B分别为OD 对w两城市的相关系数；h（u（w））为最小广义出行费用u（w）的函数，为单调递减函数。下层模型改进为

式中：（x）为需求函数的反函数，随着需求总量Q（w）单调递减。引入需求函数后，模型转化为弹性需求问题，由于弹性需求问题求解相对困难，增加一个虚拟列车次将弹性问题转换为固定需求问题求解。该虚拟车次的加载需求e（w）和阻抗函数Lw（e（w））分别为

则弹性需求问题可转换为固定需求问题，式（18）可转换为

采用幂函数形式的广义费用函数，可观测广义出行费用采用异质旅客综合感知费用，构建客流分配模型为

式（26）为OD对w第m类旅客等于该类旅客的上限；式（27）为第j列车次所有类别旅客之和小于等于第j列车次容量；式（28）为第j列车次第m类旅客大于等于0。

3 算法设计

双层规划模型的求解方法有多种，本文采用基于灵敏度分析的粒子群算法进行求解。该方法主要是确定上、下层模型中，车次各类旅客量与票价间的反应公式，通过灵敏度分析法得到第m类旅客流量与车次j票价的导数，并在某个可行解处泰勒展开，将反应式线性近似为

式中：为车次j的第m类旅客均衡配流下的最优解。

将线性近似函数代入上层模型求解得到新票价，采用粒子群算法反复迭代得到最优解。算法流程如图2所示，具体步骤如下。

图2 算法流程Fig.2 Algorithm flowchart

Step 1 初始化票价。确定粒子群规模U，每个粒子的位置和速度vi，设置最大迭代次数Gger，迭代步数i=0。

Step 2 确定反应函数。利用灵敏度分析法得到车次j第m类旅客流量对票价的导数，并最终确定反应函数的线性近似函数。

Step 3 将种群位置代入下层规划，得到车次各类旅客最优客流量，利用线性近似函数求出车次最优票价。

Step 4 迭代。xi=xi+1，更新粒子群位置和速度，求解新目标函数值。

Step 5 若i ＞Gger，则停止迭代，输出最优解和。

4 算例分析

以南宁-北海（邕北）城际线路为例，该线长197 km，属于城际中短途运输。由于同一时段内开行车次较多，任意选择日常运行的非高峰时段车次D8305和高峰时段车次D8309作为代表性列车，以二等座为例进行分时定价。

4.1 基本数据

南宁-北海基准票价为73元，两车次相关数据如表1 所示，假定每车次为南宁-北海预留250个席位，则两列车次该OD 对客流量上限为500人。参数取值分别为λ=2.25，ς=1 3[12]，a=2 ，b=0.4[13]，以票价参考点计算异质旅客风险偏好系数。

表1 车次运行参数Table 1 Train running parameters

为获取其他相关数据，组织人员于2021年12月23日和24日在南宁东站候车室对邕北线旅客开展RP（Revealed Preference）和SP（Stated Preference）调查，共发放400份问卷，收回有效问卷383份。采用Mplus 软件进行市场细分，得到各种旅客类型。通过问卷获取每类旅客对影响因素的心理期望支付值，确定参考点取值，详细情况如表2所示。

表2 异质旅客对各影响因素的心理参考点Table 2 Psychological reference points of heterogeneous travelers for each influencing factor

结合当前列车开行方案，假设列车运行时间为6:00-22:00，以2 h 为一个时段，通过支付意愿确定各时段的价值均值如表3所示。

表3 不同时段价值表Table 3 Value table for different time periods

考虑到其他交通方式的竞争情况，根据预留席位，假设两车次客流量上限为500，该OD定员人数需求线性函数为

新增虚拟车次j为D1，客流量为q0，阻抗函数为

4.2 分时差别定价方案

通过上文双层规划模型和粒子群算法，对两个时段的列车进行差别定价优化，在粒子群算法中，种群规模U=20，最大迭代次数Gger=50，粒子群维数z=2，学习因子c1=c2=0.5，惯性权重ω=0.9，粒子更新速度vmax=2，vmin=-2，利用Matlab 软件求解，得到收益函数的收敛情况如图3 所示，当函数迭代到20次时，基本保持稳定，票价和客流量具体结果如表4和表5所示。

图3 收益目标函数收敛图Fig.3 Revenue objective function convergence plot

表4 两车次分时定价客流量Table 4 Passenger flow after optimization of two trains

由表4 可知，分时定价均衡了车次间客流，该OD对高峰时段车次D8309总旅客数减少12人，客座率由100%降到95.2%；非高峰时段车次D8305总旅客数有增加19 人，客座率由83.6%提高至91.2%。两车次吸引了更多的旅客选择高铁出行，总客流增加7 人，增幅1.53%。调节了车次内各类旅客占比，在同一车次中，经济型旅客变化比例最大，高峰时段车次降低了50%，非高峰时段车次提升了近67%，高峰时段车次旅客占比最多由休闲型变为商务型。两种方案的最终取整票价和收益变化如表5所示。

表5 票价及收益对比Table 5 Fare and revenue comparison table

从表5可以看出，分时定价较基准定价方案收益增加了829元，提升了2.47%，验证了方法的有效性。铁路企业可以根据异质旅客对不同时段车次的感知效用不同，采用累积前景值，计算不同旅客对不同车次的灵敏度系数，做到更加精准化的分时定价。最终通过分时定价改变旅客出行时段，达到均衡客流和调节不同车次异质旅客构成比例的目的，实现把不同时段车票销售给有相应需求的旅客，提高收益。

5 结论

本文以城际中短途高铁为例，区分异质旅客出行效用差异，考虑列车的时段价值，基于累积前景理论对不同时段车次进行差别定价，为城际列车差别定价提供新的思路。结果表明，基于累积前景理论的分时差别定价相对于固定票价可以提高收益约2.5%，能改变不同时段车次客流量的大小，均衡车次间客流。差别定价可以调节不同时段车次中异质旅客占比，在相同差额票价调整下，商务型旅客转移率最小，经济型旅客转移率最大。

由于调查没有获取不同OD 对的数据，加之每个时段开行的车次较多，案例分析仅选取单个OD的两个时段的列车代表该时段进行分时定价，实例验证具有一定的局限性。邕北线基准票价不高，票价浮动范围有限，差别定价对收益影响不大，对商务型和休闲型旅客敏感性不是特别显著。本文也没有考虑运行时间因素的影响，后续研究中长途高铁差别定价将做更全面地考虑。